初中数+学+等腰（边）三角形的判定（课件）+冀教版数学八年级上册

17.1.2等腰（边）三角形的判定●

考点清单解读●

重难题型突破■考点一

等腰三角形的判定定理内容判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.其中，两个相等的角所对的边相等（简称“等角对等边”）符号语言如图，在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC

第二课时等腰（边）三角形的判定续表其他方法定义法：有两边相等的三角形叫做等腰三角形“三线合一”中的两线合一第二课时等腰（边）三角形的判定归纳总结未判定三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“腰”等名词.第二课时等腰（边）三角形的判定典例1

如图，在△AOB中，点C在

OA上，点E，D在OB上，且AB=AD，CD∥AB，CE∥AD，求证：△CDE是等腰三角形.对点典例剖析第二课时等腰（边）三角形的判定［答案］

证明：∵CD∥AB，∴∠CDE=∠B，又∵CE∥AD，∴∠CED=∠ADB，又∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∴∠CDE=∠CED，∴△CDE是等腰三角形．第二课时等腰（边）三角形的判定■考点二

等边三角形的判定定理内容符号语言图示判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形如图，在△ABC中，若∠A=∠B=∠C，则△ABC是等边三角形第二课时等腰（边）三角形的判定续表第二课时等腰（边）三角形的判定内容符号语言图示判定定理2有一个角等于

60°的等腰三角形是等边三角形如如图，在△ABC中，若AB=AC，∠A=60°（或∠B=60°或∠C=60°），则△ABC是等边三角形定义法三边都相等的三角形叫做等边三角形归纳总结第二课时等腰（边）三角形的判定典例2

如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO，BO的延长线于点C，D.求证：△OCD是等边三角形.对点典例剖析第二课时等腰（边）三角形的判定［解题思路］［答案］证明：∵△ABO是等边三角形，∴∠A=∠B=∠AOB=60°，∵AB∥CD，∴∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，又∵∠COD=∠AOB=60°，∴△OCD是等边三角形．第二课时等腰（边）三角形的判定■题型一

等腰三角形性质与判定的综合应用例1在△ABC中，AB≠AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC．（1）如图1，直接写出图中所有的等腰三角形；猜想：MN与BM，CN之间有怎样的数量关系；第二课时等腰（边）三角形的判定（2）如图2，△ABC中，∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过点O作OM∥BC交AB于点M，交AC于点N．图中有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，并直接写出MN与BM，CN之间的数量关系．第二课时等腰（边）三角形的判定［答案］

解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO=∠OBC，∠NCO=∠OCB，∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴BM=OM，CN=ON，∴△BMO，△CNO是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO，△CNO；∵MN=OM+ON，∴MN=BM+CN.即MN与BM，CN之间的数量关系是MN=BM+CN；第二课时等腰（边）三角形的判定（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACH，∴∠MBO=∠CBO，∠NCO=∠OCH，∵OM∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCH，∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，∴BM=OM，CN=ON，∴△BMO，△CNO是等腰三角形，即图中等腰三角形有△BMO，△CNO；MN与BM，CN之间的关系是MN=BM-CN．第二课时等腰（边）三角形的判定变式衍生1

如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=2，ED=5，则BE+DC的值为（

）A．5

B．6C．7

D．8C第二课时等腰（边）三角形的判定思路点拨

第二课时等腰（边）三角形的判定■题型二

等边三角形性质与判定的综合应用例2如图，C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，连接AN交MC于点E，连接BM交CN于点F，连接EF．（1）求证：AN=BM；（2）求证：△CEF为等边三角形.第二课时等腰（边）三角形的判定［答案］

证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=∠NCB=60°，∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵AC=MC，∠ACN=∠MCB，NC=BC∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN=BM；第二课时等腰（边）三角形的判定（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAN=∠CMB，又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，∴∠MCF=∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵∠CAE=∠CMF，CA=CM，∠ACE=∠MCF，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE=CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形．第二课时等腰（边）三角形的判定变式衍生2

如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，且AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形．第二课时等腰（边）三角形的判定第二课时等腰（边）三角形的判定证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，在△ADF和△BED中，AD=BE，∠A=∠B，AF=BD，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理DE=EF，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等边三角形.解题通法

等边三角形三边相等，三角相等的性质常与全等三角形结合证明边或角相等.第二课时等腰（边）三角形的判定■题型三

探究性问题例3如图1，A，D，B三点在同一条直线上，△ADC，△BDO为等腰直角三角形.第二课时等腰（边）三角形的判定

（1）在图1中，延长AO交BC于点E，AO与BC有何关系？证明你的结论.（2）当△BDO绕顶点D旋转任意角度到如图2所示的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由.第二课时等腰（边）三角形的判定［答案］

解：AO与BC相等且互相垂直.证明如下：∵△ADC，△BDO为等腰直角三角形，∴AD=DC，∠ADO=∠CDB=90°，DO=DB，∴△ADO≌△CDB（SAS），∴AO=BC，∠OAD=∠BCD.又∵∠BCD+∠CBD=90°，∴∠OAD+∠CBD=90°，∴在△ABE中，∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴AO与BC相等且互相垂直；第二课时等腰（边）三角形的判定（2）（1）中的结论仍然成立.理由如下：∵△ADC，△BDO为等腰直角三角形，∴AD=DC，DO=DB，∠ADC=∠ODB=90°，∴∠ADC+∠CDO=∠ODB+∠CDO，即∠ADO=∠CDB.在△ADO和△CDB中，∵AD=CD，∠ADO=∠CDB，DO=DB，∴△ADO≌△CDB（SAS），∴AO=CB，∠AOD=∠CBD，∵在△BDE中，∠DBE+∠BED=180°-∠ODB=90°，又∵∠GEO=∠BED，∴∠GEO+∠AOD=90°，∴∠OGB=180°-（∠GEO+∠AOD）=90°.∴AO与BC相等且互相垂直.第二课时等腰（边）三角形的判定变式衍生3如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且AD=BE=CF．（1）如图1，M为线段BC上一点，连接FM，在FM的右侧作等边三角形FMN，连接DM，EN．求证：DM=EN；（2）如图2，将上题中“M为线段

BC上一点”改为“M为CB延长线上一点”，其余条件不变，求证：DM=EN．第二课时等腰（边）三角形的判定第二课时等腰（边）三角形的判定第二课时等腰（边）三角形的判定证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，又∵AD=BE=CF，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DE=EF=DF，∴∠DFE=60°，∵△FMN为等边三角形,∴MF