专题15“一线三等角”模型及其变形的应用（解析版）

专题15“一线三等角”模型及其变形的应用模型归纳模型归纳“全等型”一线三垂直模型如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。结论：Rt△BDC≌Rt△CEA图1应用：（1）通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；（2）平面直角坐标系中有直角求点的坐标，可以考虑作辅助线构造“三垂直”作辅助线的程序：过直角顶点再直角外部作水平线或竖直线，过另外两个顶点向上述直线作垂线段，即可得到“三垂直”模型。如下图所示【典例分析】【应用1“全等型”三垂直基本应用】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．【变式1-1】如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．【变式1-2】（2020秋•东川区期中）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，AC＝CE．（1）AC与CE有什么位置关系？（2）请证明你的结论．【答案】（1）AC⊥CE（2）略【解答】解：（1）AC⊥CE．（2）证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，在Rt△ABC和Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（HL），∴∠A＝∠ECD，∵∠A+∠ACB＝90°，∴∠ECD+∠ACB＝90°，∴∠ACE＝90°，∴AC⊥CE．【典例2】（2020春•历下区期中）CD是经过∠BCA定点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直线CD经过∠BCA内部，且E、F在射线CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如图1，则BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如图2，①中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【答案】（1）①＝，＝②①中两个结论仍然成立【解答】解：（1）①如图1，E点在F点的左侧，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案为＝，＝．②：①中两个结论仍然成立；证明：如图2，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，当E在F的右侧时，如图3，同理可证EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；（2）EF＝BE+AF．理由是：如图4，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，，∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF【应用2平面直角坐标系中构造“全等型”三垂直】【典例3】如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（）A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）【答案】D【解答】解：作BD⊥x轴于D，∵B（6，1），∴BD＝1，OD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCD＝90°，∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，∵∠AOC＝∠BDO，∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，∴A（0，5），故选：D．【变式3-1】如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）【答案】D【解答】解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，﹣2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO+∠DPN＝90°，又∵∠DPN+∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（﹣4，0），故选：D．【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点A（0，5），点C（﹣2，0），点B在第四象限．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，若AB交x轴于点D，BC交y轴于点M，N是BC上一点，且BN＝CM，连接DN，求证CD+DN＝AM；（3）如图3，若点A不动，点C在x轴的负半轴上运动时，分别以AC，OC为直角边在第二、第三象限作等腰直角△ACE与等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，连接EF交x轴于P点，问当点C在x轴的负半轴上移动时，CP的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其长度．【解答】（1）解：如图1，过B作BF⊥x轴于F，则∠BFC＝90°，∵点A（0，5），点C（﹣2，0），∴OA＝5，OC＝2，∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝45°，∠FCB+∠OCA＝90°，∵∠COA＝90°，∴∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OAC＝∠FCB，∵∠COA＝∠BFC＝90°，∴△CFB≌△AOC（AAS），∴FB＝OC＝2，FC＝OA＝5，∴OF＝FC﹣OC＝5﹣2＝3，∴点B的坐标为（3，﹣2）；（2）证明：如图2，过B作BE⊥BC交x轴于E，则∠CBE＝90°＝∠ACM，由（1）得：BC＝CA，∠ECB＝∠MAC，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴CE＝AM，BE＝CM，∵BN＝CM，∴BE＝BN，∵∠CBE＝90°，∠ABC＝45°，∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴∠DBE＝∠DBN＝45°，又∵BD＝BD，∴△BDE≌△BDN（SAS），∴DE＝DN，∵CD+DE＝CE，∴CD+DN＝CE，∴CD+DN＝AM；（3）解：CP的长度不变化，CP＝，理由如下：如图3，过E作EG⊥x轴于G，则∠EGC＝90°＝∠COA，∴∠GEC+∠GCE＝90°，∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE＝90°，∴CE＝AC，∠GCE+∠OCA＝90°，∴∠GEC＝∠OCA，∴△GEC≌△OCA（AAS），∴GC＝OA＝5，GE＝OC，∵△OCF是等腰直角三角形，∠OCF＝90°，∴OC＝CF，∠FCP＝90°，∴GE＝CF，∠EGP＝∠FCP，又∵∠EPG＝∠FPC，∴△EPG≌△FPC（AAS），∴GP＝CP＝GC＝．【夯实基础】1．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为．【解答】解：∵BE⊥AD，∴∠EBD＝∠CAD＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，∴∠E＝∠ADC，在△ACD和△BDE中，，∴△ACD≌△BDE（AAS），∴BE＝AD，∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，故答案为：3．2．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC＝12，则AB的长为．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠FEC+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF（AAS），∴AB＝CE，BE＝CF，∵点F是CD的中点，∴CF＝CD，∴BE＝CF＝AB，∵BE+CE＝BC＝12，∴AB+AB＝12，∴AB＝8，故答案为：8．3.李华同学用11块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD（∠ABC＝90°，AB＝BC），点B在EF上，点A和C分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离EF．【答案】EF＝11（cm)【解答】解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AE＝BF＝5cm，BE＝CF＝6cm，∴EF＝5+6＝11（cm）．4．已知，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，且AD＝CE．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．【答案】（1）略（2）△ODE等腰直角三角形【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°，在Rt△ACD和Rt△CBE中，，∴Rt△ACD≌Rt△CBE（HL），∴∠DCA＝∠EBC，∵∠E＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∴∠DCA+∠ECB＝90°，∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°；（2）解：△ODE等腰直角三角形，理由如下：如图2，连接OC，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，∴∠DCO＝∠EBO，由（1）知，Rt△ACD≌Rt△CBE，∴DC＝BE，在△DCO和△EBO中，，∴△DCO≌△EBO（SAS），∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，∵∠COE+∠EOB＝90°，∴∠DOC+∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°，且DO＝EO，∴△ODE是等腰直角三角形．5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝DC+CE＝BE+AD；（2）证明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）DE＝BE﹣AD．易证得△ADC≌△CEB，∴AD＝CE，DC＝BE，∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．6．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△BEC≌△CDA．（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，∴∠BCE+∠ACD＝180°，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，∵∠DBA＝∠DAB，∴AD＝BD，∴AF＝BF＝AB＝，∵∠CAD＝90°，∴∠DAF+∠CAE＝90°，∵∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠CAE＝∠ADF，在△CAE和△ADF中，，∴△CAE≌△ADF（AAS），∴CE＝AF＝，即点C到AB的距离为7.如图1，∠ABC＝