沪教版初三数学相似三角形教案

姓名王瑜上课时间2016年9月3日上午10：10-12：10

辅导科目数学年级九年级课时3

课题名称比例线段、相似三角形

1、理解放缩与相似形的概念，掌握相似形基本特征。

2、理解比与比例及比例中项等概念，掌握比例的基本性质、合比定理和更比定理，会用它们进行

教学目标

简单的比例变形；

3、理解比例线段及黄金分割的概念，理解平行线分线段成比例定理，会作第四比例项

教学重点相似三角形的判定与性质

教学难点比例的基本性质、相似三角形的判定与性及其应用

教学及辅导过程

♦考点聚焦

1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.

2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，□并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.

3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小.

4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，□会根据坐标描出点的位置或由点的位置写

出它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置.

♦备考兵法

1.证明三角形相似的方法常用的有三个，到底用哪个要根据具体情况而定，要注意基本图形的应用，如

“A型”“X型”“母子型”等.

2.用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题，关键是要先把实际问题转化为数学问题，识别或作出

相似三角形，再利用相似三角形的性质求解，并回答实际问题，注意题目的解一定要符合题意.

3.用直角坐标系中的点描述物体的位置，用坐标的方法来研究图形的运动变换，是较为常见的考法，要

注意训练.

♦考点链接

一、相似三角形的定义

三边对应成,三个角对应的两个三角形叫做相似三角形.

二、相似三角形的判定方法

1.若DE〃BC（A型和X型）则.

2.射影定理：若CD为Rt/^ABC斜边上的高（双直南图形）

则RtZXABCsRtZ\ACDsRt/\CBD且AC?=,CD2=,BC-.

3.两个角对应相等的两个三角彩

4.两边对应成且夹角相等的两个三角形相似.

5.三边对应成比例的两个三角形.

三、相似三角形的性质

1.相似三角膨的对应边,对应角.

2.相似三角形的对应边的比叫做,一般用k表示.

3.相似三角形的对应角平分线，对应边的线，对应边上的_____□线的比等于比，周长之

比也等于比，面积比等于.

【历年考点例析】

考点一、比例及有关概念，比例的基本性质

例1①在比例尺是1:38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,则它的实际长度约为Km。

办廿a2a+b

②若一:一则-----=

b3b

③某同学想利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在某一时刻他测得自己影子长为0.8m,立即去

测量旗杆的影子长为5m,已知他的身高为1.6m,则旗杆的高度为—m。

随堂练习

比例的基本性质、合比定理和更比定理的应用

（1）已知x：y：2=3：4：5,①求的值;②若x+yhz=6,求x、y、z.

(2)已知a、b、c是非零实数，且一--=---=---=—--=k,求力的值.

b+c+da+c+dh+a+da+b+c

（3）若a、b、c是非零实数，并满足a+6-c=T+c=-0+”+c,且.=（“+））（"+，）”'+"）,求*的值.

chaabc

考点二、判断四条线段是否成比例

例1一个钢筋三角架的三边长分别是20cm、60cm、50cm,现要作一个与其相似的钢筋三角形。因为只有长

为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几

种截法，并指出余料最少的截法截出的三边长各为多少？提示:分三种.有一种不成立，只有一种最少.

考点三比例中项与黄金分割

例1如图，已知线段AB,点C在AB上，且有AC：AB=BC:AC,则AC:AB的数值为；若AB的长度与中

央电视台的演播舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在位置最好。

A0B

考点四相似三角形的识别（判定）方法

例1如图，4ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件下，①ZACP=ZB；②ZAPC=ZACB；③AC=AP・AB：

④AB•CP=AP•CB。能得出△ABCs/\ACP的是（）

A.①②④B.①③④

C.②③④D.①②③

练习1:如图18-6,在3BCD中，E是AB延长线上一点，连结DE,交AC于点G,交BC于点F,那么图中相

似的三角形（不含全等三角形）共有（）

A.6对B.5对C.4对D.3对

练习2:如图18-8,点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，4ACD与AABC相似？试说明理由。

练习3:在直角梯形ABCD中.AD=7AB=2DC=3P为AD上一点，以P、A、B的顶点的三角形与P、D、C为顶

点的三角形相似，那么这样的点P有几个？为什么？

提示：分两种.

练习3

考点五相似三角形的特征（性质）的应用

例1如图，在aABC中，DE〃BC,CD、BE相交于F,且=2,则2^=,4^=若

BF5BCEC

DE=6,则BC=。

例2如图在AABC中，AB=ACAD是中线，P是AD上一点，过点C作CF〃AB,延长BP交AC于点E,交CF

与点F,试证明：BP2=PE•PF

练习1:如图，EF〃BC,FD/7AB,若AE=1.8,BE=1.2,CD=1.4,则BD=;若SASF=1,SAAEF=4,

贝ScWEF=

练习2如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1。线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM=

时，4AED与以M、N、C为顶点的三角形相似？

提示：分两种.

考点六利用相似三角形解决简单的实际问题。

例14ABC是一块直角三角形余料，NC=90°,AC=6cm,BC=8cm,现要把它加工成一个正方形形状，请你说

明用下图中的哪种剪裁方法的利用率高。

例2如图，Z\ABC中，Z0=90°,BC=8cm,5AC-3AB=0,点P从B点出发，沿BC方向以2m/s的速度移动，点

Q从C出发，沿CA方向以1m/s的速度移动。若P、Q同时分别从B、C出发，经过多少时间△CPQ与4CBA相

似？提示：分两种.

考点七相似与函数

Lx+2分别交x、y轴于点A、C,P是该直线上在第一象限内的一点，PB_Lx轴，B

例1如图18-16,直线y=

2

为垂足,SAABP=9

①求点P的坐标；

②设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧。作RT_Lx轴，T为垂足，当^

BRT与AAOC相似时，求点R的坐标。

课后作业

一、选择题

1.已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC),若AB=4cm,则AC的长为()

(A)(2-^5-2)cm(B)(6-2-^5)cm(C)(-^5-1)cm(D)(3-y[5)cm

2.若D、E分别是AABC的边AB、AC上的点，且7s=吞，那么下列各式中正确的是（）

ADAU

ADDE,ABAE,DBABADAE

z⑹记=XC①z)而

(A)5B=BC⑻无定不

b-2cc-2a

3.若k=a"b--------=--------，且尹卅cWO,则〃的值为（)

cab

1_

(A)-1(B)l(C)1(D)-

2

4.如图，已知AB〃CD〃石尸，那么下列结论正确的是（)

“ADBCDFCDBCCDAD

注B.—0—un.

DFCECE-ADsEF-BEEF~-AF

5.如图所示，给出下列条件：

①ZB=ZACD；②ZADC=ZACB:

③士=◊；@AC2^ADAB.

CDBC

其中单独能够判定八46cs4CD的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知△ABCs/\DEF,且AB：DE=1：2,则aABC的面积与ADEF的面积之比为（）

A.1：2B.1：4C.2：1D.4：1

7.如图，已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线，则下面四个结论：

（1）DE=1,（2）ACDE^-ACAB,（3）Z\CDE的面积与4CAB的面积之比为1：4.

其中正确的有：（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

8、如图，已知矩形Q4BC的面积为W2,它的对角线03与双曲线y=A相交于点。，且。3:00=5:3,则々=

3x

（）.

A.6B.12

C.24D.36

二、填空题

1、已知：x：(x+1)=(1—x):3,求x二o

一，5x+y1,xx+y

2、已知^~—=T,则一=______,---=________

3xzy2yxy

3、若x2-3xy+2y2=0,求:二

4、若a_c_e_2,求a-c—,2a+3c_4e=

'b^d'2b+34-47­

5、在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为（2,3）,若以原点0为位似中心，画△A6C的位似图形

△A'8'C',使△A6C与△A'8'C的相似比等于,，则点A的坐标为

2.

6、如图，RtAABC+,NAC8=90°,直线所〃8。,交A3于点E,交4c于点G,交AO于点尸，若

1CF

S/iAEG=§S四边形EBCG'则=----------

7、如图，点M是△/仇?内一点，过点的分别作直线平行于△?!宓的各边，所形成的三个小三角形△?、△

3（图中阴影部分）的面积分别是4,9和49.则△/8C的面积是.

li-

8、将三角形纸片(△/6C)按如图所示的方式折叠，使点6落在边4c上，记为点8',折痕为万；已知48

=4C=3,BC=4,若以.点夕，F,C为顶点的三角形与△力宓相似，那么斯的长=度是.

9、如图，A、3两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离,在A3外选一适当的点C,连接AC、BC,

并分别取线段AC、的中点£、F,测得EFuZOm,则AB=m.

10、如图，直线y=-3x交双曲线y=K(x<0)于点。，点A在直线上，且8=24),过A作AC〃y轴交

X

双曲线y=K(x<0)于C,且5%8=10，则.

X

4

三、简答题

1>已知线段x、y,如果(x+y)：(x-y)=a:b,求x：y.

2、已知：£.=£=刍=3（且有6+€1+£=0）,求证：a+c=c+e=3.

bdfb+dd+f

3、如图，在D/I8C中，已知DE〃BC,4庐4,DA8,g3,

(1)求一的值，,(2)求8c的长

AB

4、如图1,在Rt△ABC中，ZBAC=90°,AD1.8C于点。，点。是4c边上一点，连接8。交于

F,OE工OB丈BC边于袅E.

(1)求证：

AT