高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系学案-人教版高三全册数学学案

第1讲坐标系

考点回顾考纲解读考向预测

年份卷型考点题号分值

2019年高考定要考查极坐标与直

掌握平面坐标系中伸缩变换，了解

2017极坐标方程2210角坐标的转化，极坐标方程变为直角坐

II极坐标的基本概念，能进行极坐标与直

标方程.应用直线、圆的极坐标方程是

2016极坐标方程2310角坐标的转化，画出极坐标的图象.能

m重点，主要与参数方程相结合进行考查.

求简单曲线的极坐标方程.

2015I极坐标方程2310以解答题的形式出现，难度中档.

板块一知识梳理•自主学习

［必备知识］

考点1坐标变换

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

x'=4.*A>0）,

设点。（x,力是平面直角坐标系中的任意一点，在变换血，人的

,y=〃♦M〃>0）

作用下，点。（x,力对应到点〃（/,V）,称。为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，

简称伸缩变换.

考点2极坐标与直角坐标

1.极坐标系：在平面内取一个定点0,叫做极点,自极点。引一条射线。x,叫做极轴:

再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），就建立

了极坐标系.

2.点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点若设网=。（。20）,以极轴

念为始边，射线为终边的角为0,则点材可用有序数对（0,。）表示.

3.极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系*以中，以。为极点，射线Ox

的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系.设点尸的直角坐标为（x,y）,它

的极坐标为（o,。），则相互转化公式为

p2=i±±,

X—pcos0,

y

psin0,tan8=;(xW0).

考点3常用简单曲线的极坐标方程

1.判断下列结论的正误.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）点，在曲线。上，则点尸的极坐标一定满足曲线C的极坐标方程.（）

⑵tan8=1与■表示同一条曲线(夕20).()

(3)点尸的直角坐标为(一镜，镜)，那么它的极坐标可表示为(2,斗^.()

(4)过极点，作倾斜角为a的直线的极坐标方程可表示为6=。或。=JT+a(0G

R).()

(5)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点。的圆的极坐标方程为P=2asin0.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V(5)X

2.[2018•开封模拟]方程p=-2cos0和p+-1-=4-\/2sin0的曲线的位置关系为

()

A.相离B.外切C.相交D.内切

答案B

4L

解析方程P=-2cos。化为直角坐标方程为(才+1尸+/=1,p+—=4yj2sin。化

为直角坐标方程为x2+(y-2$)2=4,两圆圆心距为4(-1?+(2,)2=3=1+2,所以两圆

外切.

3.[2018•皖北协作区联考]在极坐标系中，直线o(mcos夕一sin。)=2与圆。=

4sin，的交点的极坐标为()

看)

答案A

解析0(mcos夕一sin=2可化为直角坐标方程y=2,即尸小了一2.

P=4sin0可化为f+/=4y,把y=/x—2代入f+/=4y,得4x‘一8"\/§x+12=0,

即夕―245X+3=0,所以X=，5,y=l.所以直线与圆的交点坐标为(水,1),化为极坐标

为(2,高.故选A.

4.[2018•株洲模拟]在极坐标系中，直线osin(。+2)=2被圆。=4截得的弦长为

)

A.2由B.2^3C.4mD.4^3

答案D

解析直线Psin(«+宁)=2可化为x+y—29=0,圆。=4可化为/+/=16,由

圆中的弦长公式得2，尸4?—(患)=4/.

5.[2017•北京高考]在极坐标系中，点力在圆M—Zocos0一4osin6+4=0上，

点〃的坐标为(1,0),则|/fP|的最小值为.

答案1

解析由浦一2ocos。-4Osin。+4=0,得

x+/—2x—4y+4=0,即(x—1尸+(y—2”=1,

圆心坐标为C(l,2),半径长为1.

•点P的坐标为(1,0),。点尸在圆C外.

又•.•点4在圆。上，二|明min=|闱-1=2-1=1.

6.[2017•天津高考]在极坐标系中，直线40cos一-1)+1=0与圆0=2sin。的

公共点的个数为.

答案2

解析由40cos|Pcos0+2Psin«+1=0,故直线的直角坐标

方程为2mx+2y+l=0.

由P=2sin0得p2=2psin0,

故圆的直角坐标方程为f+/=2y,

即f+(y-1尸=1.圆心为(0,1),半径为1.

2X1+13

•.•圆心到直线24x+2y+l=0的距离d=.,.直线与圆相交，有两

叱2啊+2?十

个公共点.

板块二典例探究•考向突破

考向平面直角坐标系下图形的变换

x'—lx,

例1在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换，.后

17=3y

的图形.

(l)2%+3y=0；(2)f+/=L

_1,

[x'=2x,

解由伸缩变换，c得到

[y=3y,1,

尸”­

(1)将(*)代入2x+3y=0,得到经过伸缩变换后的图形方程是/+/=0.

\xf=2x,

因此，经过伸缩变换，c后，

1/=3y

直线2x+3y=0变成直线V+/=0.

I2/2

(2)将(*)代入/+/=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是、一+『=L

3=2M父2yf2

因此，经过伸缩变换，、后，圆V+/=l变成椭圆一1+・=1.

y=3y4y

触类旁通

平面直角坐标系下图形的变换技巧

平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.在伸缩变换，、:

_y=口♦M“>°)

下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆,

椭圆也可以变成圆.

X,x'=\x,

【变式训练1]求椭圆了+/=1,经过伸缩变换J2后的曲线方程.

1/=y

,1

xx=2x'

解由J2得到①

y-y'

./=y，

JAy'2

将①代入彳+/=1,得一J-+/”=1,即x''=1.

2

因此椭圆?+/=1经伸缩变换后得到的曲线方程是/+/=1.

考向2极坐标与直角坐标的互化

例2[2017•全国卷II]在直角坐标系x片中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为0cos6=4.

（DM为曲线G上的动点，点P在线段OML,且满足|〃必•|8|=16,求点P的轨迹

C的直角坐标方程；

（2）设点力的极坐标为（2,鼻），点5在曲线G上，求△2B面积的最大值.

解⑴设尸的极坐标为（夕，。）（〃>0）,步的极坐标为（夕1,〃）（21>0）.

4

由题设知\0P\=P,\0M\=Pi=-F

由I0M\•如=16得C的极坐标方程为P=4cos。（夕>0）.

因此G的直角坐标方程为（x—2）2+/=4（xWO）.

⑵设点少的极坐标为（。6,。）（。/>0）.

由题设知1处1=2,P/?=4cosa,于是△刃〃的面积

S=-|0A\•PH9sinZJ6®=4cosa

乙

=2sin(2a一高一乎W2+”.

当。=一适时，S取得最大值2+4.

所以△的6面积的最大值为2+4.

触类旁通

直角坐标方程与极坐标方程互化的方法

直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x=PCOS，及y=osin。直接代入并化简

即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如0cos8,Psin9,脑的形

式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以（或同除以）。及方程两边平方是常用的变形方

法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.

【变式训练2】已知直线/的参数方程为j-2'（1为参数）.在以坐标原

）=小+小t

点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线。的方程为sin个一小0cos28=0.

（1）求曲线。的直角坐标方程；

（2）写出直线/与曲线C交点的一个极坐标.

解（1）；sin。一:0cos2夕=0,/.Psin0—yf3P'cos'^—0,

即y一小x?=0.

X=\+-t,L

⑵将12代入y-镉公。得,

尸小十小3

1+1)=0,即t=0,

从而，交点坐标为(1,小)

交点的一个极坐标为(2,yl

考向3极坐标方程及其应用

例3[2016•全国卷II]在直角坐标系x行中，圆。的方程为(X+6)2+/=25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求。的极坐标方程；

x=tcosa

(2)直线/的参数方程是(t为参数)，/与C交于4,6两点，

y=tsina

求/的斜率.

解(1)由X—0cos9,y—Psin0,可得圆C的极坐标方程为储+12ocos。+11=

0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线/的极坐标方程为仁a(pGR).

设46所对应的极径分别为P”0”将/的极坐标方程

代入C的极坐标方程，得浦+12ocos。+11=0.

于是。i+。2=-12cosa,Pip2=ll.

2-22

14冽=IP\~Pi\i+P2)4p।P2=A/144COSa—44.由|AB\—^10,得cosa

=*tana=±*5.所以/的斜率为或一书可

OOOO

触类旁通

极坐标方程及其应用的类型及解题策略

(1)求极坐标方程.可在平面直角坐标系中，求出曲线方程，然后再转化为极坐标方程.

(2)求点到直线的距离、线段的长度.先将极坐标系下点的坐标、直线、曲线方程转化

为平面直角坐标系下点的坐标、直线、曲线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离、

线段公式求解.

fx=2cosa,

【变式训练3】在直角坐标系x"中，曲线。的参数方程为一°.(。为

[y=2+2sma

参数)，直线/的参数方程为“为参数).在以坐标原点。为极点,

y=3+-t

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点。的射线与曲线。相交于不同于极点的点4且

点力的极坐标为(24，，)，其中9G

(1)求0的值；

(2)若射线力与直线/相交于点6,求|四|的值.

解(1)由题意知，曲线。的普通方程为f+(y-2)2=4,

Vx="cosy=psin。，：•曲线C的极坐标方程为(ocos0)2+(psin〃-2产=4,

即p=4sin0,

r

由P=2^/3,得sinJ=3-,

(2)由题易知直线1的普通方程为x+/y-4/=0,

，直线/的极坐标方程为夕cos夕+/osin0—4^3=0.

2n

又射线勿的极坐标方程为，=丁(020),

,Pcos，+小。sin。-4小=0,

点B的极坐标为(4，5,()，

|AB\=|PLP..,\=4小一2木=2©

IS幺师笃记•〃/纳领带I

(核心规律

如何解决极坐标问题

(1)解决极坐标系中的一些问题时，主要的思路是将极坐标化为直角坐标，在直角坐标

系下求解后，再转化为极坐标.

(2)极坐标方程与直角坐标方程互化的核心公式:

[x=0cos9,

[y=Psin9tan0=fx#0).

(3)由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程0=0(的图形的对称性：若O(夕)

=。(一《),则相应图形关于极轴对称；若。(。)=0(“一夕)，则图形关于射线所

在的直线对称；若。(6)=。(n+。)，则图形关于极点。对称.

满分策略

极坐标应用中的注意事项

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正方向重合;

③取相同的长度单位.

(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角0时，应注意判断点尸所在的象限(即角0的终

边的位置)，以便正确地求出角，.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉

的问题.

(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定。取正值，9G

[0,2"),平面上的点(除去极点)与极坐标(。，6)(oH0)建立一一对应关系.

板块三模拟演练•提能增分

[基础能力达标]

1.[2018•广东珠海模拟]在极坐标系中，圆C的极坐标方程为P2=4P(cos&+sin9)

-6.若以极点。为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

(1)求圆C的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点户(x,y)是圆C上一动点，试求x+y的最大值，并求出此时点

。的直角坐标.

解⑴因为脑=4o(cos，+sin0)—6,

所以/=4x+4y—6,

所以f+y—4x—4y+6=0,

整理得理-2)2+(y-2)z=2.

x=2+/cos0,

所以圆C的参数方程为<>(。为参数).

j=2+*\/2sine

(2)由(1)可得x+y=4+"^2(sin«+cos，)

JI

当0=—,即点尸的直角坐标为（3,3）时，x+y取得最大值，其值为6.

x=4+5cost,

2.[2018•宁波模拟]已知曲线G的参数方程为“为参数），以坐标

j=5+5sin£

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=2sin%

（1）把G的参数方程化为极坐标方程；

（2）求G与G交点的极坐标（Q20,0W—<2冗）.

x=4+5cosf,

解（1）将消去参数3

y=5+5sint

化为普通方程(才-4)?+(y—5尸=25,即G：x+y—8^r—10y+16=0.

x—Pcos0,

将代入x+y—8%—10y+16=0得P2—8Pcos—10Psin夕+16

y=Psin夕，

=0.

所以G的极坐标方程为P—8PCOSJ—100sinG+16=0.

(2)a的直角坐标方程为x+y-2y=0.

[x+/—8x—10y+16=0,

[x+y—2y=0,

[%=1,（x=0,

解得1或o

[y=l[y=2.

所以G与G交点的极坐标分别为母，（2,习.

x=2cos。，

3.[2018•南通模拟]在直角坐标系x0中，圆C的参数方程为,,（。为

j=2+2sin。

参数）.以。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的普通方程；

（2）直线1的极坐标方程是2osin[，+专）=5镉，射线0M-.”春与圆C的交点为0,

P,与直线/的交点为。，求线段图的长.

fx=2cos。，

解（1）因为圆C的参数方程为,（。为参数），所以圆心，的坐标为

Lr=2+2sin<p

(0,2),半径为2,圆。的普通方程为V+(p—2)2=4.

(2)将X—PCOS0,y=psin0代入x+(y—2)2=4,得圆。的极坐标方程为P=

4sin。.

P=4sin夕，

,,JT

设P(0i,01),则曲解得小=2,'尸百

2Psin

设。(。2,，2),则由<

JT

<9=—,

I6

解得02=5,%=右所以‘%=3.

4.[2018•昆明模拟]将圆f+/=l上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原

来的3倍，得曲线P.

(1)写出〃的参数方程：

(2)设直线/：3x+2y-6=0与厂的交点为凡P>,以坐标原点为极点，x轴正半轴为

极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与/垂直的直线的极坐标方程.

解(D设(为，/)为圆上的点，在已知变换下变为r上的点(x,力，依题意，得

x

刘=亍

x=2x”

y=3yi,y

由后+1=1,即曲线「的方程为今+]=1.

故r的参数方程为

y=3sint

解得

y=3.

3x+2y—6=0,

不妨设P\d0),8(0,3),则线段AR的中点坐标为(1,号，所求直线的斜率在=|.于

32

是所求直线方程为y—5=W(x—1),即4x—6y+5=0,化为极坐标方程，得40cos。一

4O

62sin夕+5=0.

X=\[3cosa,

5.[2016•全国卷m]在直角坐标系*如中，曲线G的参数方程为＜〜(Q

、y=sina

为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方

程为Osin(夕+宁)=2*.

(1)写出G的普通方程和C的直角坐标方程；

(2)设点夕在。上，点。在G上，求1/皆的最小值及此时P的直角坐标.

x

^=A/3COSa,~cosa,

解(1)由曲线G：<