2023年山东省菏泽市中考数学真题（附答案）

2023年山东省荷泽市中考数学真题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心

对称图形的是（）

aM«

2.下列运算正确的是（）

A.a6=a2B.a2a3=a5C.伽］=2/

D.(a+by=a2+b2

3.一把直尺和一个含30。角的直角三角板按如图方式放置，若/1=20。，则N2=（）

4.实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）

IIII»

a0bc

A.c（b-a）＜0B.b（c-a）＜0C.a（b-c）＞0D.a（c+b）＞0

5.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）

11

6.一兀二次方程/+3%-1=0的两根为冲W，则一+一的值为（）

XiX2

33

A.-B.—3C.3D.—

22

7."IBC的三边长a,b,c满足（a-力2+泣加一:一3+|。-3应|=0,则是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角

形

8.若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：

A(l,3),8(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点“，在-3<x<l的范围内，若二次函数

¥=-/一工+。的图象上至少存在一个，，三倍点，，，则°的取值范围是()

A.——<c<\B.-4<c<-3C.——<c<5D.-4<c<5

44

二、填空题

9.因式分解：nf-4m=.

10.计算：|G-2|+2sin600-2023°=.

11.用数字0,1,2,3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为

12.如图，正八边形ABCOEFGH的边长为4,以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，

则阴影部分的面积为(结果保留").

13.如图，点E是正方形A8C。内的一点，将绕点8按顺时针方向旋转90。得到

F

14.如图，在四边形A8CO中，NA8C=N8AO=90o,A8=5,AO=4,AO<8C,点E在

线段BC上运动，点尸在线段4E上，ZADF=ZBAE,则线段即的最小值为

试卷第2页，共6页

三、解答题

5x-2<3(x+l),

15.解不等式组：3x-2x-2.

----->x+----

32

16.先化简，再求值：f—+—其中x，丁满足2x+y-3=().

“yx+y)x-r

17.如图，在YA8CO中，AE平分NBA。，交8C于点£；CF平分NBCD,交4。于

18.无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC,

无人机在空中点P处，测得点户距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶C点处

的俯角为30。，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A,B,C,P在同一平面内)，

求大楼的高度3C(结果保留根号)

19.某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育，数学，生物学等知识，研窕体

育课的运动负荷，在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率

AB

(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；

(2)在花园面积最大的条件下，4B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，

知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多

可以购买多少株牡丹？

22.如图，AB为OO的宜径，C是圆上一点，。是3。的中点，弦DE/AB,垂足为点

(1)求证：BC=DE；

(2)尸是舛E上一点，AC=6,BF=2,求tanNBPC；

(3)在(2)的条件下，当CP是/AC8的平分线时，求CP的长.

23.(1)如图1,在矩形A8CD中，点E,尸分别在边OC,BC上，AEA.DF,垂足

为点G.求证：△ADEs/XDC尸.

图1图2图3

【问题解决】

(2)如图2,在正方形A8C。中，点七，厂分别在边DC,8c上，AE=DF,延长BC

到点“，使C〃=OE,连接求证：ZADF=ZH.

【类比迁移】

(3)如图3,在菱形A8CO中，点E,尸分别在边。C,8c上，AE=DF=\\,DE=8,

ZA£D=60°,求C尸的长.

24.已知抛物线y=r2+加+。与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,4),其对称

⑴求抛物线的表达式；

(2)如图1,点。是线段0C上的一动点，连接SBD,将△A3。沿直线AO翻折，得

到VAB7),当点£恰好落在抛物线的对称轴上时，求点。的坐标；

(3)如图2,动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线,分别交直线AC,

线段BC于点E,F,过点尸作尸G_Lx轴，垂足为G,求尸G+应尸P的最大值.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.A

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一人平面图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义:

把一个图形绕着某一个点旋转180,，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

2.B

【分析】利用同底数昂的乘除法、积的乘方与塞的乘方以及完全平方公式分别判断即可.

【详解】解：A、故选项错误；

B、故选项正确；

C、(2/f=4/,故选项错误；

D、(«+/?)2=a2+2ab+b2,故选项错误；

故选：B.

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数昂的乘除法、积的乘方、哥的乘方以及完

全平方公式，正确掌握相关乘法公式是解题关键.

3.B

【分析】根据平行线的性质，得出N3=Nl=20。，进而？260??340?.

【详解】由图知，Z3=Z1=2O°

・・・？260??360?20?40?

【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量

答案第1页，共18页

关系是解题的关键.

4.C

【分析】根据数轴可得，a<O<b<c,再根据avOvbvc逐项判定即可.

【详解】由数轴可知avOvbvc,

：.c(b-a)>0,故A选项错误；

/.b(c-a)>Of故B选项错误；

A«(b-c)>0,故C选项正确；

A«(c+b)<0,故D选项错误；

故选：C.

【点睛】本题考查实数与数轴，根据avOvbvc进行判断是解题关键.

5.A

【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图

所示：

故选：A.

【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键.

6.C

【分析】先求得不+占=-3,x,-x2=-l,再将'变形，代入％+W与％-2的值求解即

X]x2

可.

【详解】解：•・•一元二次方程/+3x7=0的两根为林再，

X]+42=-3,x}-x2=-I

II

/.一+一

N“2

二X+占

砧

=-3

=3.

答案第2页，共18页

故选c.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记为十勺二一土b，中毛=£c是解决

■aa

本题的关键.

7.D

【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由

°2+从=。2的关系，可推导得到为直角三角形.

【详解】解・・・（a—b）2+J2a—匕-3+|c-3四|=0

又•:

>0

a-b=0

2a-b-3=0

c-3x/2=0

a=3

解得•b=3,

c=3夜

c^+b2=c2»且a=。，

・•・JSC为等腰直角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为

0,每一个非负数均为0,和勾股定理逆定理.

8.D

【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x,根据二次函数y=-x+c的图象上至

少存在一个“三倍点”转化为丁=7：2一4+。和y=3x至少有一个交点，求△之0,再根据工=-3

和x=l时两个函数值大小即可求出.

【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x,

答案第3页，共18页

在-3Vx<1的范围内，二次函数)，=-/-4+。的图象上至少存在一个“三倍点，，，

即在-3<x<l的范围内，y=-x2-x+c^y=3x至少有一个交点，

令3x=-f_x+c，整理得：-X2-4X+C=0,

则△二从一4ac二(一4)2-4X(T)XC=16+4CN0,解得

当x=-3时，y=-(-3)2-(-3)+c=-12+c,%=-9,

/.-9>-12+c,解得：c<3,

当x=l时，yx=-l-I+c=-2+c,%=3,

/.3>-2+c,解得：c<5,

综上:c的取值范围是T<c<5,

故选：D.

【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键.

9.4)

【分析】直接提取公因式〃?，进而分解因式即可.

【详解】解：加2-4〃尸加(根-4).

故答案为：加加4).

【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

10.1

【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数累，再进行加减计算即可.

【详解】解・：|V3-2|+2sin60°-2023(>

=2-G+2x等-1

=1

故答案为：1.

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幕的运算是解

题的关键.

i

【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可.

【详解】解.：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，

答案第4页，共18页

列表如下:

123

0102030

12131

21232

31323

一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32,

・・・是偶数的概率为意

故答案为：.

【点睛】本题考查了列表法求概率，注意。不能在最高位.

12.6乃

【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：由题意，//MB=e二以竺=135。，

8

AH=AB=4

故答案为：6万.

2

【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积5=也二,

360

正多边形的每个内角度数为(“一2)480°

n

13.80

【分析】先求得々斯和NCBE的度数，再利用三角形外角的性质求解即可.

【详解】解：・・•四边形ABCD是正方形，

・•・ZABC=9O°,

9：ZABE=55°,

・••ZCBE=9()°-55°=35°,

丁绕点8按顺时针方向旋转90。得到VCM

答案第5页，共18页

/.ZEBF=90°,BE=BF,

...NBEF=45。,

，Z.EGC=NCBE+/BEF=350+45°=80°,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转图形的性质和三角形外角的性

质，利用旋转图形的性质求解是解题的关键.

14.V29-2/-2+V29

【分析】设AD的中点为。，以AD为直径画圆，连接。8,设OB与。。的交点为点尸、证

明NOE4=90。，可知点尸在以AO为直径的半圆上运动，当点尸运动到OB与OO的交点F

时，线段所有最小值，据此求解即可.

【详解】解：设A力的中点为。,以A力为百杼画圆，连接0。,设与。O的交点为点

VZABC=ZfiA£>=90°,

:.AD//BC,

:.ZDAE=ZAEB,

*：ZADF=ZBAE,

・•・ZDW=ZABE=90°,

，点尸在以AO为直径的半圆上运动，

・•・当点尸运动到08与0。的交点尸时，线段BF有最小值,

,:AO=4,

・•・AO=OP=-AD=2

2tt

-BO=V52+22=>/29»

斯的最小值为回一2，

答案第6页，共18页

故答案为：^29-2.

【点睛】木题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得

到点尸的运动轨迹是解题的关键.

15.xW—

3

【分析】分别求出各个不等式的解，再取各个解集的公共部分，即可.

【详解】解：解5x—2<3(x+l)得：x<«|，

解3X-^2Nx+一r-2得：x<2p

D/J

2

・•・不等式组的解集为

【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤，是解题的关

键.

16.4x+2y,6

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约

分得到最简结果，将2x+y-3=0变形整体代入计算即可求解.

【详解】解：原式=|"卢科+省2yq也3

(x-y)(x+>)(x-y)(x+>')Jx

3月+3孙+%2盯上一),)(工+1)

(%-y)(x+y)x

_4/+2Ay](x_y)(4+y)

(x-y)(x+y)x

=4x+2y；

由2x+y-3=0,得至lJ2x+y=3,

则原式=2(2x+y)=6.

【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法

求解.

17.证明见解析

【分析】由平行四边形的性质得ZB=NZ),AB=CD,AD//BC,日平行线的性质和角平

分线的性质得出/84石=/£9/，可证△84七2\"尸，即可得出AF=C尸.

【详解】证明：•・•四边形A5CD是平行四边形，

答案第7页，共18页

:,ZB=ZD,AB=CD,ZBAD=^DCB,AD//BC,

T4E平分N8U),Cb平分N2CD,

・•・/BAE=ADAE=NBC尸=ZDCF,

在二班E和JXF中,

ZB=ZD

AB=CD

ZBAE=ZDCF

:.BAE^DCF(ASA)

：.AE=CF.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质及全等三角形的判定与性质，根据

题目已知条件熟练运用平行四边形的性质，平行线的性质是解答本题的关键.

18.大楼的高度3C为30Gm.

【分析】如图，过P作尸于"，过C作于Q,而C8_LA8,则四边形

是矩形，可得QH=BC,BH=CQ,求解P"=AP・sin6()o=80x—=40^,

2

AH=AAcos600=40,可得CQ=8”=70-40=30,PQ=CQ・tan300=10百，可得

BC=QH=40石-1075=30百.

【详解】解：如图，过户作/W_LAB于”，过。作CQ_LP”于。，而CBJ_A8,

P

r

口

吕

吕

口

口

目

口

A/B

7tmmrm//////////////

则四边形CQ”B是矩形,

:・QH=BC,BH=CQ,

由题意可得：A尸=80,Z/W/=60°,ZPC0=3O°,AB=70,

答案第8页，共18页

PH=/AP.sin60°=80x—=40\^»AH=AP»cos600=40,

2

：,CQ=BH=10-40=301

:.Pe=CQ.tan300=10^,

，BC=QH=40^-1=30x/3,

，大楼的高度BC为30Gm.

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含

义是解本题的关键.

19.(1)69,74,54；

(2)见解析

(3)大约有1725名学牛达到适宜心率.

【分析】(1)根据中位数和众数的概念求解，先求出总人数，然后求出B组所占的百分比,

最后乘以360。即可求出在统计图中8组所对应的扇形圆心角；

(2)根据样本估计总体的方法求解即可.

【详解】(1)将4组数据从小到大排列为：56,65,66,68,70,73,74,74,

.・.中位数为哭了

=69；

•••74出现的次数最多,

・,・众数是74；

8・8%=100,

360°X—=54°

100

・•・在统计图中B组所对应的扇形圆心角是54。；

故答案为：69,74,54；

(2)100-8-15-45-2=30

・・・。组的人数为30,

.,•补全学生心率频数分布直方图如下：

答案第9页，共18页

，大约有1725名学生达到适宜心率.

【点睛】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图，扇形统计图的相关信

息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键.

41

20.⑴），=一，y=-x

x4

⑵（2,2）或18,-；）

【分析】（1）如图，过点。作CDLr轴于点。，证明aABOSfBC。，利用相似三角形的性

质得到班＞=2,求出点C的坐标，代入），=A可得反比例函数解析式，设OC的表达式为

x

尸如，将点C（4,1）代入即可得到直线OC的表达式；

（2）先求得直线/的解析式，联立反比例函数的解析式即可•求得交点坐标.

【详解】（1）如图，过点C作轴于点O,

*：BC1AB,

JZABC=9O°,

答案第10页，共18页

ZABO+NCBD=90P,

*/NC£>8=90°,

；・/BCD+NCBD=90。,

：.NBCD=ZA8O,

・•・二ABOs-BCD,

,OABD

,・砺二五’

•・•A（0,4）,8（2,0）,

••・04=4,08=2,

.4BD

..—=----，

21

BD=2,

・・・QD=2+2=4,

，点。（4,1）,

将点C代入y=2中，

X

可得左二4,

・・.1，

x

设oc的表达式为），=，加，

将点C（4,l）代入可得1=4〃?，

解得：帆="

4

••・。。的表达式为丁=：4

4

（2）直线/的解析式为y=

42

I34

当两函数相交时，可得m+i=-,

42A

解得%=2,x=—8,

代入反比例函数解析式，

fr-?卜2=-8

得；1

V.=2\\=——

答案第11页，共18页

・•・直线/与反比例函数图象的交点坐标为(2,2)或(-8,-g)

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与

一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识.

21.(I)长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米

(2)最多可以购买1400株牡丹

【分析】(1)设长为x米，面积为y平方米，则宽为六—米，可以得到y与x的函数关系

式，配成顶点式求出函数的最大值即可；

(2)设种植牡丹的面积为。平方米，则种植芍药的面积为(1200-平方米，由题意列出不

等式求得种植牡丹面积的最大值，即可解答.

【详解】(1)解：设长为x米，面积为y平方米，则宽为用三米，

.・・y=xx120-X=--x24-40%=--(x-60)2+1200,

333k7

，当x=60时，y有最大值是1200,

此时，宽为与二=20(米)

答：长为60米，宽为20米时，有最大面积，且最大面积为1200平方米.

(2)解：设种植牡丹的面积为。平方米，则种植芍药的面积为。200-a)平方米，

由题意可得25x2^+15x2(1200-4)450000

解得：«<700,

即牡丹最多种植700平方米，

700x2=1400(株)，

答：最多可以购买1400株牡丹.

【点睛】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，找出

所求问题需要的条件.

22.(I)证明见解析；

吒

⑶7&

答案第12页，共18页

【分析】(1)由。是8C的中点得。＞=80,由垂径定理得=得到中C=》E，根据

同圆中，等弧对等弦即可证明；

(2)连接。。，证明一ACBS.OFZ),设O的半径为「，利用相似三角形的性质得r=5,

nr844

AB=2r=10,由勾股定理求得BC,得到tanZ.CAB=,即可得到tanZ.BPC=—；

AC633

(3)过点8作BG_LCP交CQ于点G,证明jCBG是等腰直角三角形，解直角三角形得到

4RCi4

CG=8G=8C8s45。=4&，由血/研仁二彳得到不二彳，解得GP=3应，即可求解.

3Gr3

【详解】(1)解：:。是8C的中点，

CD=BD»

,：OEJ.43且A5为1O的直径，

,,BE=BD,

:,BC=»E，

:,BC=DE；

•CD=BD,

工/CAB=/DOB,

TAB为OO的直径,

・•・ZACB=90。，

VDELAB,

，ZD回0=90。,

・••△ACBSQFD,

.ACOF

••瓦一历’

设.。的半径为r,

答案第13页，共18页

衅q，

解得r=5,经检验，r=5是方程的根，

A4B=2r=10,

工BC7A百-AC?=8,

・,/38c84

..tanZ.CAB=,

AC63

NBPC=NCAB,

4

tanZ.BPC=—；

3

(3)解：如图，过点8作BG_LCP交CP于点G,

・•・4BGC=/BGP=9(r

VZACB=90°,CP是/AC8的平分线，

JZACP=ZBCP=45°

JNCBG=45。

,CG=BG=BCcos45°=40，

4

VtanZi?PC=-

3

.BG4

••---=—，

GP3

・・・GP=3夜，

工CP=4夜+3应=70.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角

形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键.

23.(1)见解析(2)见解析(3)3

【分析】(1)由矩形的性质可得ZADE=ADCF=90°,则ZCDF+ZDFC=90。，再由AEJ_。尸,

可得NQGE=90°,则NCDF+NAED=90。，根据等角的余角相等得乙4瓦)=NQR7,即可

得证；

答案第14页，共18页

(2)利用“HL”证明乙AOEaDCF，可得OE=CF,由CH=OE,可得CF=CH,利用“SAS”

证明-DCFdDCH,贝ljzz)〃r=""<?,由正方形的性质可得AD〃BC.根据平行级的性质，

即可得证；

(3)延长8C到点G,使CG=OE=8,连接OG,由菱形的性质可得40=DC,AD//BC,

则NAZ)E=NDCG,推出△ADE幺△DCG(SAS),由全等的性质可得NDGC=ZA£»=60°,

DG=AE,进而推出二。AG是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可.

【详解】(1)证明：四边形A8CD是矩形，

:.ZADE=/DCF=900,

.­.ZCDF+ZDFC=90°,

AELDF,

:.ZDGE=90°,

.\ZCDF+ZAED=90°,

,ZAED=NDFC,

..AADE^ADCF；

(2)证明：四边形ABCQ是正方形，

:.AD=DC,AD//BC,ZADE=ZDC尸=90°,

.AE=DF,

:.,ADE^.DCF(HL),

..DE=CF,

又.CH=DE,

5=CH,

点”在BC的延长线上，

NDCH=4DCF=琳,

-DC=DC,

-DCFaDCH(SAS),

:"H=/DFC,

AD//BC,

;.ZADF=NDFC=/H；

(3)解：如图，延长BC到点G,使CG=Z)E=8,连接。G,

答案第15页，共18页

:.AD=DC,AD//BC,

:.ZADE=/DCG,

1AOE，OCG(SAS),

ZDGC=ZAED=60°,DG=AEf

:AE=DF,

:.DG=DF,

.ZDFG是等边三角形,

:.FG=FC+CG=DF=\\,

..FC=ll-CG=ll-8=3.

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似

三角形的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点

并灵活运用是解题的关键.

24.(l)y=-x2-3x+4

2X以

/I

丝

/3K

\(?6

【分析】(1)由题易得c的值，再根据对称轴求出b的值，即可解答：

(2)过作x轴的垂