2025高考物理步步高同步练习必修2第六章专题强化 竖直面内的圆周运动含答案

2025高考物理步步高同步练习必修2第六章2025高考物理步步高同步练习必修2第六章竖直面内的圆周运动[学习目标]掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法．一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”．图11．小球在竖直平面内的运动是匀速圆周运动吗？答案不是2．小球运动到最高点时向心力由什么力来提供？绳上拉力(或轨道弹力)与速度有何关系？答案由重力和绳的拉力(或轨道的弹力)的合力提供最高点：F＋mg＝meq\f(v2,r)所以F＝meq\f(v2,r)－mg3．分析求解小球通过最高点的最小速度．答案由于绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F＋mg＝meq\f(v2,r)可知，当F＝0时，v最小，最小速度为v＝eq\r(gr).4．分析小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系．答案(1)v＝eq\r(gr)时，mg＝meq\f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零．(2)v<eq\r(gr)时，mg>meq\f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点．(3)v>eq\r(gr)时，mg<meq\f(v2,r)，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝meq\f(v2,r).如图2所示，长度为L＝0.4m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5kg，小球半径不计，g取10m/s2，求：图2(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；(2)小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，绳的拉力大小；(3)若轻绳能承受的最大张力为45N，小球运动过程中速度的最大值．答案(1)2m/s(2)15N(3)4eq\r(2)m/s解析(1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝meq\f(v\o\al(12),L)，解得v1＝eq\r(gL)＝2m/s.(2)小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝meq\f(v\o\al(22),L)，解得FT＝15N.(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝eq\f(mv\o\al(32),L)，将FT′＝45N代入解得v3＝4eq\r(2)m/s，即小球的速度的最大值为4eq\r(2)m/s.针对训练1杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g取10m/s2)()图3A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N答案B解析“水流星”在最高点的临界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B.二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图4所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”．图41．分析求解小球通过最高点的最小速度．答案由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.2．分析小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化．答案(1)v＝eq\r(gr)时，mg＝meq\f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或圆管)与小球间无作用力．(2)v<eq\r(gr)时，mg>meq\f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝meq\f(v2,r)，即F＝mg－meq\f(v2,r)，v越大，F越小．(3)v>eq\r(gr)时，mg<meq\f(v2,r)，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F.重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝meq\f(v2,r)，F＝meq\f(v2,r)－mg，v越大，F越大．长L＝0.5m、质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A.A的质量为m＝2kg.当A通过最高点时，如图5所示，求在下列两种情况下小球对杆的作用力：(g取10m/s2)图5(1)A在最高点的速度为1m/s；(2)A在最高点的速度为4m/s.答案(1)16N，方向向下(2)44N，方向向上解析设小球A在最高点的速度为v0时，与杆之间恰好没有相互作用力，此时向心力完全由小球的重力提供，根据牛顿第二定律有mg＝meq\f(v\o\al(02),L)，代入数据解得v0＝eq\r(gL)＝eq\r(5)m/s.(1)当A在最高点的速度为v1＝1m/s时，因v1<v0，此时小球A受到杆向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg－F1＝meq\f(v\o\al(12),L)，代入数据解得F1＝16N，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为16N，方向向下．(2)当A在最高点的速度为v2＝4m/s时，因v2>v0，此时小球A受到杆向下的拉力作用，根据牛顿第二定律有mg＋F2＝meq\f(v\o\al(22),L)，代入数据解得F2＝44N，根据牛顿第三定律得，小球对杆的作用力大小为44N，方向向上．针对训练2如图6所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，已知重力加速度为g，设小球经过最高点P时的速度为v，则()图6A．v的最小值为eq\r(gL)B．v若增大，球所需的向心力也增大C．当v由eq\r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D．当v由eq\r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也减小答案B解析由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fn＝meq\f(v2,L)，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；小球经过最高点时，因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v＝eq\r(gL)时，圆管受力为零，故v由eq\r(gL)逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由eq\r(gL)逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D错误．1.如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g)()图1A．小球对圆环的压力大小等于mgB．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C．小球的线速度大小等于eq\r(gR)D．小球的向心加速度大小等于g答案A解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，选项B、C、D正确．2.如图2所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，小球通过最高点时的速率为v0，重力加速度为g，则下列说法中正确的是()图2A．若v0＝eq\r(gR)，则小球对管内上壁有压力B．若v0>eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力C．若0<v0<eq\r(gR)，则小球对管内下壁有压力D．不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案C解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝meq\f(v\o\al(02),R)，解得v0＝eq\r(gR)，此时小球对管内壁无压力，选项A错误；若v0＞eq\r(gR)，则有mg＋FN＝meq\f(v\o\al(02),R)，表明小球对管内上壁有压力，选项B错误；若0＜v0＜eq\r(gR)，则有mg－FN＝meq\f(v\o\al(02),R)，表明小球对管内下壁有压力，选项C正确；综上分析，选项D错误．3．(2021·济南市山东师范大学附中高一期中)游客乘坐过山车，在圆弧轨道上做匀速圆周运动，且在最低点处获得的向心加速度为10m/s2，g取10m/s2，那么运动到此位置时座椅对游客的作用力相当于游客重力的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案B解析根据牛顿第二定律得FN－mg＝ma解得FN＝mg＋ma＝2mg，B正确．4.在游乐园乘坐如图3所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是()图3A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B．人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定小于mgC．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等D．人在最低点时对座位的压力大于mg答案D解析过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图，在最高点，由mg＋FN＝meq\f(v\o\al(12),R)，可得：FN＝m(eq\f(v\o\al(12),R)－g)①在最低点，由FN′－mg＝meq\f(v\o\al(22),R)，可得：FN′＝m(eq\f(v\o\al(22),R)＋g)②当v1≥eq\r(gR)时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v1而定，A、B错误．最高点、最低点两处向心力大小不相等，向心加速度大小也不相等，C错误．由②式知，在最低点FN′＞mg，根据牛顿第三定律知，D正确．5.如图4所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是()图4A．小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零B．小球过最高点时，最小速度为eq\r(gR)C．小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反D．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力答案D解析小球在最高点时，如果速度恰好为eq\r(gR)，则此时恰好只有重力提供向心力，杆和球之间没有作用力，杆所受弹力为0，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，杆就要对球有支持力，方向与重力的方向相反，杆的作用力F＝mg－eq\f(mv2,R)，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力，故A、B错误，D正确；小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上，与重力方向一定相反，故C错误．6.如图5所示，长度相同的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离与绳长相等．已知重力加速度为g.现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为3v时，每根绳的拉力大小为()图5A.eq\f(2,3)eq\r(3)mg B.eq\f(4,3)eq\r(3)mgC.eq\f(8,3)eq\r(3)mg D．4eq\r(3)mg答案C解析小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则mg＝meq\f(v2,r)，小球在最高点速率为3v时，设每根绳的拉力大小为FT，则2FTcos30°＋mg＝meq\f(3v2,r)，联立解得FT＝eq\f(8,3)eq\r(3)mg，故选C.7．如图6甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图像如图乙所示，则()图6A．数据a与小球的质量无关B．当地的重力加速度为eq\f(m,a)C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为eq\f(ac,b)＋aD．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等答案D解析设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足FT＋mg＝meq\f(v2,R)，即FT＝eq\f(m,R)v2－mg，由题图乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝eq\f(a,m)，R＝eq\f(mb,a)，A、B错；当v2＝c时，有FT1＋mg＝meq\f(c,R)，将g和R的值代入得FT1＝eq\f(ac,b)－a，C错；当v2＝2b时，由FT2＋mg＝meq\f(2b,R)可得FT2＝a＝mg，故拉力与重力大小相等，D对．8.一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm.(g取10m/s2)图7(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小．答案(1)2.24m/s(2)4N解析(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg＝meq\f(v\o\al(02),l)，则桶的最小速率为：v0≈2.24m/s.(2)因v＞v0，故此时桶底对水有向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有：FN＋mg＝meq\f(v2,l)，代入数据可得：FN＝4N.由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小：FN′＝4N.9．(2021·江苏省响水中学高一期末)如图8所示，一个可以视为质点的小球质量为m，以某一初速度冲上光滑半圆形轨道，轨道半径为R＝0.9m，直径BC与水平面垂直，小球到达最高点C时对轨道的压力是其重力的3倍，重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力，求：图8(1)小球通过C点的速度大小；(2)小球离开C点后在空中的运动时间是多少；(3)小球落地点距B点的距离．答案(1)6m/s(2)0.6s(3)3.6m解析(1)小球通过最高点C，重力和轨道对小球的支持力的合力提供向心力，有F＋mg＝meq\f(v\o\al(C2),R)，F＝3mg解得vC＝6m/s(2)小球离开C点后在空中做平抛运动，竖直方向有2R＝eq\f(1,2)gt2解得t＝0.6s(3)水平方向有x＝vCt＝3.6m.10．(2021·江苏南通市高一期末)如图9甲所示，一长L＝1m的轻杆的一端固定在水平转轴O上，另一端固定一质量m＝1kg的小球，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做线速度v＝1m/s的匀速圆周运动，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力．图9(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力F1；(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力大小F2；(3)若将轻杆换成轻绳，再将小球提至转轴正上方的B点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度v＝1m/s抛出，如图乙所示．求从抛出小球到绳再次伸直的时间t.答案(1)9N，方向竖直向上(2)eq\r(101)N(3)0.6s解析(1)假设F1的方向竖直向下，对小球有mg＋F1＝meq\f(v2,L)解得F1＝－9N所以杆对球的作用力F1的大小为9N，方向竖直向上(2)小球运动到水平位置A时，杆对球的竖直方向分力Fy＝mg水平方向分力Fx＝meq\f(v2,L)故杆对球的作用力大小F2＝eq\r(F\o\al(x2)＋F\o\al(y2))代入数据解得F2＝eq\r(101)N(3)小球将做平抛运动，运动轨迹如图中实线所示，有L2＝(y－L)2＋x2又x＝vt，y＝eq\f(1,2)gt2代入数据解得：t＝0.6s11．如图10所示，轻杆长为3L，在杆的A、B两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距球A为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，外界给予系统一定的能量后，杆和球在竖直面内转动．在转动的过程中，忽略空气的阻力，重力加速度为g.若球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，则下列说法正确的是()图10A．球B在最高点时速度为零B．此时球A的速度也为零C．球B转到最高点时，杆对水平轴的作用力为1.5mgD．球B转到最高点时，杆对水平轴的作用力为3mg答案C解析球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，mg＝meq\f(v2,2L)，v＝eq\r(2gL)，A错；球A、B的角速度相等，由v＝ωr，得vA＝eq\f(\r(2gL),2)，B错；球B转到最高点时，对杆无作用力，对A球，由牛顿第二定律有FT－mg＝meq\f(v\o\al(A2),L)，解得FT＝1.5mg，C对，D错．水平面内的圆周运动的临界问题[学习目标]1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件.2.掌握圆周运动临界问题的分析方法．物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态．水平面内的圆周运动常见的临界问题：(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值．(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值．(4)物体所受支持力为0或绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0.如图1所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()图1A．A的向心加速度最大B．B和C所受摩擦力大小相等C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动答案C解析A、B、C三物体角速度相同，an＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝eq\r(\f(kg,r))，故滑动的临界角速度与质量无关，r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，选项C正确，D错误．针对训练(2021·江苏宿迁市高一期中)“魔盘”是一种神奇的游乐设施，它是一个能绕中心轴转动的带有竖直侧壁的大型转盘，随着“魔盘”转动角速度的增大，“魔盘”上的人可能滑向盘的边缘．如图2所示，质量为m的人(视为质点)坐在转盘上，与转盘中心O相距r，转盘的半径为R，人与盘面及侧壁间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.图2(1)当转盘的角速度大小为ω0时，人未滑动，求此时人受到的摩擦力大小和方向；(2)使转盘的转速缓慢增大，求人与转盘发生相对滑动时转盘的角速度大小ω；(3)当人滑至“魔盘”侧壁时，只要转盘的角速度不小于某一数值ωm，人就可以离开盘面，贴着侧壁一起转动，试求角速度ωm的大小．答案(1)mω02r指向转盘中心O点(2)eq\r(\f(μg,r))(3)eq\r(\f(g,μR))解析(1)人做圆周运动，摩擦力提供向心力，有Ff＝mω02r，方向指向转盘中心O点(2)静摩擦力提供圆周运动所需的向心力，当静摩擦力达到最大静摩擦力时，此时的角速度为最大角速度，则μmg＝mω2r解得ω＝eq\r(\f(μg,r))(3)人离开盘面贴着侧壁一起转动时，竖直方向受力平衡，水平方向侧壁对人的支持力提供向心力，则有FN＝mωm2RμFN＝mg解得ωm＝eq\r(\f(g,μR))如图3所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r.一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方eq\f(4,3)r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g.图3(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值．答案(1)eq\r(\f(μg,r))(2)eq\r(\f(3g,4r))解析(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω12，解得：ω1＝eq\r(\f(μg,r)).(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，mgtanθ＝mω22rtanθ＝eq\f(3,4)联立解得：ω2＝eq\r(\f(3g,4r)).如图4所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是()图4A．a绳与水平方向夹角θ随角速度ω的增大而一直减小B．a绳所受拉力随角速度的增大而增大C．当角速度ω>eq\r(\f(g,ltanθ))时，b绳将出现弹力D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化答案C解析对小球受力分析可得a绳与水平方向的夹角θ随ω增大而减小，当b绳达到水平时，θ不再变化．对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝eq\f(mg,sinθ)，故A、B错误．当FTacosθ＝mω2l，即ω＝eq\r(\f(g,ltanθ))时，b绳的弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C正确．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，D错误．1.如图1所示，在匀速转动的水平圆盘上离转轴某一距离处放一小木块，该木块恰能跟随圆盘做匀速圆周运动而不发生相对滑动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在改变下列哪种条件时，物体仍能与圆盘保持相对静止()图1A．增大圆盘转动的角速度B．增大木块到转轴的距离C．增大木块的质量D．改变上述的任一条件都不能使木块与圆盘继续保持相对静止答案C解析木块刚要发生相对滑动时，最大静摩擦力提供向心力，此时有：μmg＝mω2r，角速度ω增大，所需要的向心力Fn＝mω2r增大，mω2r将大于最大静摩擦力μmg而发生相对滑动，故A错误；木块到转轴的距离越大，需要的向心力Fn＝mω2r越大，则会发生滑动，故B错误；木块在圆盘上发生相对滑动的临界状态是μmg＝mω2r，由此可知与质量无关，所以增大木块的质量仍能保持相对静止，故C正确，D错误．2．(2021·浙江嘉兴市高一期中)如图2所示，a为置于距圆桌转盘中心r1处的杯子，装满水的总质量为2m，另有一空杯子b质量为m，置于距圆盘中心r2处，已知r2＝2r1，圆盘从静止开始缓慢地加速转动，两杯子与桌面间的动摩擦因数均为μ，且均未相对桌面滑动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法不正确的是()图2A．b比a先达到最大静摩擦力B．a、b所受的摩擦力始终相同C．ω＝eq\r(\f(μg,2r1))是b开始滑动的临界角速度D．当ω＝eq\r(\f(μg,2r1))时，a所受摩擦力的大小为μmg答案B解析杯子随着圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，a开始滑动时有μ2mg＝2mωa2r1，解得ωa＝eq\r(\f(μg,r1))，b开始滑动时有μmg＝mωb2r2，解得ωb＝eq\r(\f(μg,r2))＝eq\r(\f(μg,2r1))，因为b比a先达到最大静摩擦力，故b先开始滑动，故A、C正确；在杯子b的摩擦力没有达到最大前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律可知Ffa＝2mω2r1，Ffb＝mω2r2＝2mω2r1，所以a和b受到的摩擦力大小是相等的，方向不同，故B错误；当ω＝eq\r(\f(μg,2r1))时，a没有发生相对滑动，静摩擦力为Ff＝2mω2r1＝μmg，故D正确．3．如图3所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()图3A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB答案C解析把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块做匀速圆周运动，向心力F＝meq\f(v2,R)，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μBmg－μAmg＜μAmg，即μB＜μA，故D错误．4．如图4所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()图4A．此时绳子张力为FT＝4μmgB．此时圆盘的角速度为ω＝eq\r(\f(2μg,r))C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内D．若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动答案B解析A和B随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F＝mω2R，B的运动半径比A的半径大，所以B所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A、B，根据牛顿第二定律分别得：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，解得：FT＝3μmg，ω＝eq\r(\f(2μg,r))，此时A的向心力大小为FnA＝mω2r＝2μmg，B的向心力大小为FnB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断细线，A、B的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A、B均做离心运动，故B正确，A、C、D错误．5．(2021·南京外国语学校高一期中)如图5所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，把绳子拉直，绳子与竖直线夹角θ＝60°，此时小球静止于光滑的水平桌面上．求：(重力加速度为g)图5(1)当小球刚好离开水平桌面时，小球匀速转动的角速度ω0为多大；(2)当小球以ω1＝eq\r(\f(g,L))做圆锥摆运动时，绳子张力F1为多大？桌面对小球的支持力FN1为多大；(3)当小球以ω2＝eq\r(\f(3g,L))做圆锥摆运动时，绳子张力F2及桌面对小球的支持力FN2各为多大．答案(1)eq\r(\f(2g,L))(2)mgeq\f(1,2)mg(3)3mg0解析(1)当小球刚好离开水平桌面做匀速圆周运动时，由向心力公式可得mgtanθ＝m·Lsinθ·ω02解得小球的角速度为ω0＝eq\r(\f(2g,L))(2)当小球以ω1＝eq\r(\f(g,L))做圆锥摆运动时，由于ω1<ω0，桌面对小球存在支持力，竖直方向小球处于平衡，满足FN1＋F1cosθ＝mg水平方向由向心力公式可得F1sinθ＝m·Lsinθ·ω12联立解得F1＝mg，FN1＝eq\f(1,2)mg(3)当小球以ω2＝eq\r(\f(3g,L))做圆锥摆运动时，由于ω2>ω0，小球离开桌面，故桌面对小球的支持力FN2＝0设此时绳子与竖直方向夹角为α，由向心力公式可得F2sinα＝m·Lsinα·ω22解得F2＝3mg.圆周运动的传动问题和周期性问题[学习目标]1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系，掌握圆周运动中传动的特点.2.会分析圆周运动中多解的原因，掌握解决圆周运动中的多解问题的方法．一、圆周运动的传动问题同轴转动皮带传动齿轮传动装置A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点特点A、B两点的角速度、周期相同A、B两点的线速度大小相等A、B两点的线速度大小相等规律A、B两点的线速度大小与半径成正比：eq\f(vA,vB)＝eq\f(r,R)A、B两点的角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(r,R)A、B两点的角速度与半径成反比：eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(R,r)如图1所示，rA＝3rB＝3rC，则：图1(1)vA∶vB＝________，ωA∶ωB＝________.(2)ωA∶ωC＝________，vA∶vC＝________.答案(1)1∶11∶3(2)1∶13∶1(2021·定远县育才学校高一期中)两个大轮半径相等的皮带轮的结构如图2所示，A、B两点的半径之比为2∶1，C、D两点的半径之比也为2∶1，下列说法正确的是()图2A．A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB＝1∶2B．A、C两点的角速度之比为ωA∶ωC＝1∶2C．A、C两点的线速度大小之比为vA∶vC＝1∶1D．A、D两点的线速度大小之比为vA∶vD＝1∶2答案B解析A、B属于同轴转动，所以角速度相同，根据v＝ωr，线速度大小与半径成正比，则vA∶vB＝2∶1，A错误；A、D两点皮带传动，线速度大小相等，C、D两点角速度相同，所以ωArA＝ωDrD，所以ωA∶ωC＝1∶2，B正确；根据v＝ωr，且ωA∶ωC＝1∶2，所以vA∶vC＝1∶2，C错误；A、D两点皮带传动，线速度大小相等，则vA∶vD＝1∶1，D错误．1．线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝eq\f(1,r)；ω一定时，v∝r.2．在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系．二、圆周运动的周期性和多解问题1．问题特点(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体．(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动、匀速直线运动等)．(3)运动的关系：根据两物体运动的时间相等建立等式，求解待求物理量．2．分析技巧(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点——时间相等．(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律．(3)分析时注意两个运动是独立的，互不影响．如图3所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方高h处沿OB方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一次，且落点为B，B为圆盘边缘上的点，求小球的初速度v的大小及圆盘转动的角速度ω.图3答案Req\r(\f(g,2h))2nπeq\r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)解析设小球在空中运动时间为t，此时间内圆盘转过θ角，则R＝vt，h＝eq\f(1,2)gt2故初速度大小v＝Req\r(\f(g,2h))θ＝n·2π(n＝1,2,3…)又因为θ＝ωt则圆盘角速度ω＝eq\f(n·2π,t)＝2nπeq\r(\f(g,2h))(n＝1,2,3…)．(2021·江苏省淮安中学高一期末)如图4所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，半径为r，当球Q运动到与O在同一水平线上时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落．要使两球在圆周最高点相碰，Q球的角速度ω应满足什么条件？(不计空气阻力，重力加速度为g)图4答案Q球的角速度ω应满足ω＝π(4n＋1)eq\r(\f(g,8h))(n＝0,1,2，…)解析由自由落体的位移公式h＝eq\f(1,2)gt2，可得小球P自由下落运动至圆周最高点的时间为t＝eq\r(\f(2h,g)).设小球Q做匀速圆周运动的周期为T，则有T＝eq\f(2π,ω)，由题意知，球Q由题图所示位置运动至圆周最高点所用时间为t′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(1,4)))T，式中n＝0,1,2，…要使两球在圆周最高点相碰，需使t＝t′.以上四式联立解得球Q做匀速圆周运动的角速度为ω＝π(4n＋1)eq\r(\f(g,8h))，式中n＝0,1,2…1.(2021·浙江绍兴市高一月考)如图1所示是杭州G20演出过程中的一个场景——由全息技术产生的一把巨大的扇子正徐徐打开，则下列关于扇面上A、B两点(这两点跟着扇面打开转动，始终处于同一个圆的同一条半径上)说法正确的是()图1A．A、B两点在相同时间内的位移相同B．A、B两点在相同时间内的路程相同C．A点的角速度比B点大D．A点的线速度比B点大答案D解析由于A、B两点在扇面的同一半径上，所以两点的角速度相等，根据v＝ωr可知，A点的线速度比B点大，所以在相同时间内A点的路程比B点大；根据几何关系可知，相同时间内A点的位移比B点大，故A、B、C错误，D正确．2．(2021·江苏马坝高中月考)如图2为一链条传动装置的示意图．已知主动轮是逆时针转动的，转速为n，主动轮和从动轮的半径之比为k(k>1)，下列说法正确的是()图2A．从动轮是顺时针转动的B．主动轮和从动轮边缘的线速度大小之比为kC．从动轮的转速为nkD．从动轮的转速为eq\f(n,k)答案C解析主动轮逆时针转动，带动从动轮逆时针转动，因为用链条传动，所以两轮边缘线速度大小相等，A、B错误；由r主∶r从＝k,2πn·r主＝2πn从·r从，可得n从＝nk，C正确，D错误．3．如图3为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，O2上的轮半径为r′，A、B、C分别为三个轮边缘上的点，已知R＝2r，r′＝eq\f(2,3)R，若皮带不打滑，则()图3A．ωA∶ωB＝1∶1 B．vA∶vB＝1∶1C．ωB∶ωC＝1∶1 D．vB∶vC＝3∶1答案A解析A、B两点角速度相同，则ωA∶ωB＝1∶1，A正确；由v＝ωr知vA∶vB＝r∶R＝1∶2，B错误；B、C两点线速度大小相同，则vB∶vC＝1∶1，D错误；由ω＝eq\f(v,r)知ωB∶ωC＝r′∶R＝2∶3，C错误．4．(2021·江苏泰州市泰州中学高一期末)如图4所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为()图4A.eq\f(r1ω1,r3)B.eq\f(r3ω1,r1)C.eq\f(r3ω1,r2)D.eq\f(r1ω1,r2)答案A解析由甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑知三个轮子边缘的线速度大小相同，又甲、乙、丙轮的半径分别为r1、r2、r3，由v＝ωr得ω1r1＝ω2r2＝ω3r3，则丙轮的角速度为ω3＝eq\f(r1ω1,r3)，故A正确，B、C、D错误．5．如图5所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r1的牙盘(大齿轮)，Ⅱ是半径为r2的飞