专题07导数与函数的单调性（课时训练）

专题07导数与函数的单调性1．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可.【详解】函数的定义域为，且，令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D2．（2324高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数求函数的单调递增区间.【详解】函数，定义域为，，，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B3．（2223高二下·河北沧州·阶段练习）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可.【详解】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减.故选：D.4．（2223高二下·福建宁德·期末）函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，令，求得，即可得到函数的单调递增区间.【详解】由函数，可得，令，即，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B.5．（2223高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围.【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立，所以，在上恒成立，设函数，则，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以，则实数的取值范围是.故选：D.6．（2021·河南新乡·一模）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】因为的定义域为，，由，得，解得，所以的递增区间为．由于在区间上单调递增，则，所以，解得.因此，实数的取值范围是．故选：A.【点睛】方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：（1）区间为函数单调递增区间的子集；（2）对任意的，恒成立.同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.7．（2022高三·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（

）A．为函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增【答案】D【分析】由导数符号与函数单调性的关系结合导函数图象逐一判断即可.【详解】对于A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，故A错误；对于B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，故B错误；对于C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，故C错误；对于D，当时，，所以函数在区间上单调递增，故D正确.故选：D.8．（2324高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案.【详解】由图象可得，当时，由得，在上单调递增，当时，由得，在上单调递减，当时，由得，在上单调递减，综上，函数的增区间为.故选：B.9．（2013·广东广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.当时，从左向右，是递增、递减、递增，对应导数的符号为，由此排除C选项，所以A选项正确.故选：A10．（2023·陕西西安·一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分、两种情况求解即可.【详解】若，则单调递减，图像可知，，若，则单调递增，由图像可知，故不等式的解集为．故选：C11．（2223高二下·河南平顶山·期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】关键函数在区间上单调递增，由在上恒成立求解.【详解】解：因为函数，所以，因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立；即在上恒成立；即在上恒成立；所以，故选：C12．（1718高二下·四川绵阳·期中）若函数在上是减函数，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】A【详解】分析：在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.详解：因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，，故选A.点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.13．（2223高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为在上不单调，故利用在上必有零点，利用，构造函数，通过的范围，由此求得的取值范围.【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令，则，由，得，单调递增，又由，得，故，所以，的取值范围故选：A14．（2324高三上·北京西城·阶段练习）函数在上的单调递减区间为.【答案】【分析】根据原函数单调递减，则导函数小于零，根据导函数小于零解不等式即可.【详解】由题意知，.即，，因为，所以，所以在中，，所以在上的单调递减区间为.故答案为：15．（2223高二下·湖北武汉·期末）函数的单调减区间为.【答案】【分析】求导后，令导数小于0，求解即可.【详解】的定义域为，，令，可得，可得，又，则或，所以的单调递减区间是.故答案为：16．（2023高三·全国·专题练习）若函数，则函数的单调递减区间为.【答案】【分析】求出函数的导函数，令，，利用导数说明的单调性，即可求出的取值情况，从而求出的取值情况，即可得到的单调性.【详解】因为的定义域为，则，令，，则，在上单调递减，且，∴当时，，即，当时，，即，∴在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递减区间为.故答案为：17．（2223高二下·全国·课时练习）函数在上的单调递增区间为.【答案】【分析】直接利用导数求递增区间即可.【详解】由题意得，则，又，解得，所以函数的单调递增区间为，故答案为：.18．（2122高二·全国·课时练习）若函数的单调递减区间为，实数．【答案】【分析】求出导函数，先排除，当时求出函数的单调区间，结合函数的单调递减区间为可得答案.【详解】的定义域为．．若，，所以的单调增区间为，无单调减区间，不合题意．若，令，得．当时，有；当时，有．所以的单调增区间为，单调减区间为．又因为函数的单调递减区间为，所以．故答案为：2.19．（1718高二下·安徽六安·期末）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是．【答案】【分析】首先对函数求导，之后令导数大于等于零在所给定的区间上恒成立，之后应用参数分离，应用函数的最值得到相应的结果.【详解】根据函数在上单调递增，则在上恒成立.即在上恒成立.所以在上恒成立.即在上恒成立，所以.故实数的取值范围是.故答案为：20．（2223高二下·全国·课时练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为．

【答案】【分析】根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案.【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，当时，；当时，；当时，；当时，.当时，由可得，此时；当时，由可得，此时.综上所述，解集为.故答案为：.21．（2223高二下·全国·课后作业）已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是．【答案】【分析】求导，根据是区间上的单调函数，可得导函数的零点不在区间上，从而可得出答案.【详解】，令，则或，因为是区间上的单调函数，所以或，解得或，所以的取值范围是.故答案为：.22．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围.【详解】，定义域为，，由题意可知，存在使得，即.当时，，所以，，因此，实数的取值范围是.故答案为：.23．（2023·云南昆明·一模）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)在单调递增，在单调递减(2)【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，分析导函数的符号即可；（2）利用导函数研究单调性，结合零点存在性定理求解即可.【详解】（1）当，，则，令解得，令解得，所以在单调递增，在单调递减.（2）由题意可得，，当时，恒成立，单调递增，故至多有一个零点，不符合题意，所以，由解得，由解得，所以在单调递增，在单调递减，所以由零点存在性定理可得若有两个零点，则，即，令，由（1）得在单调递增，在单调递减，又，所以由解得，当时，因为，所以由得在和之间存在一个零点，又，符合题意；当时，因为趋近于时，趋近于负无穷，所以函数在上有一个零点，又，符合题意；所以的取值范围为.24．（2122高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数.(1)求的单调区间；(2)证明：.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)证明见解析【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再导数的正负求出函数的单调区间，（2）由，所以构造函数，只要利用导数求出的最大值小于等于零即可【详解】（1）函数的定义域为，由，得，由，得，解得，由，得，解得所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）要证，只需证，因为，所以只需证即可，设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，所以，即，所以25．（2324高三上·河南南阳·期中）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数.【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)三条【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）设出切点，将切线方程表示为含有参数的直线方程，根据切线过点可得关于参数的方程，判断方程根的个数即可求解.【详解】（1）因为，所以.令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），则，设切点为，则，，所以切线方程为.将点代入得，整理得.因为方程有两个不相等正根，所以方程共有三个不相等正根.故过点可以作出三条直线与曲线相切.26．（2324高三下·江苏南通·开学考试）已知函数，其中．(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求；(2)求函数的单调区间．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）借助导数的几何意义及截距的定义计算即可得；（2）借助导数分类讨论即可得.【详解】（1），则，，故曲线在处的切线为，即，当时，令，有，令，有，故，即，此时，无切线，故不符合要求，故舍去；当时，此时切线为，符合要求，故（2），，则当时，在上恒成立，故在上单调递减；当时，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.

27．（2021·山东济南·一模）设，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，根据其单调性判断大小关系；再构造，根据其单调性即可判断，的大小关系.【详解】令，则，令，解得，故当时，单调递减，故，即，则.令，则，故当时，单调递增，时，单调递减，则，即.，故；，故；综上所述：.故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，且利用函数单调性比较大小，其中解决问题的关键是构函数，从而用作差法比较大小.28．（2022·河南·一模）已知，则这三个数的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解【详解】令，则，由，解得，由，解得，所以在上单调递增，在上单调递减；因为，所以，即，所以，所以，又递增，所以，即；，在同一坐标系中作出与的图象，如图：由图象可知在中恒有，又，所以，又在上单调递增，且所以，即；综上可知：，故选：A29．（2324高二下·湖北黄冈·阶段练习）（多选题）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（

）A．有三个单调区间B．C．D．在上单调递增，在上单调递减【答案】CD【分析】根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可．【详解】对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正，所以函数有四个单调区间，故A错误；对于B，当时，，函数单调递减，所以，故B错误；对于C，当时，，函数单调递增，所以，故C正确；对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确．故选：CD．30．（2023高三·全国·专题练习）（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据导数与函数单调性的关系及所给图像可得的单调性，由单调性即可得到答案．【详解】由题意得，当时，，所以函数在上单调递增，因为，所以，C选项正确.当时，，所以函数在上单调递减，因为，所以，D选项正确.故选：CD31．（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）已知，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小.【详解】令在内单调递增.时，，即A选项正确；令在内单调递增，，即，B选项正确；令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；当时，，D错误故选：AB32．（2021·广东汕头·一模）（多选题）函数，则下列说法正确的是（

）A． B．C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则【答案】BD【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D．【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，，A．，故A错B．，且在单调递增，故：B正确C．有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……①令，则当时，在单调递增，即：这与①矛盾，故C错D．设，且均为正数，则且，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．33．（2022·贵州遵义·三模）已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案详见解析(2)【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）由进行化简，通过分离常数法，结合导数来求得的取值范围.【详解】（1）的定义域为，，当时，恒成立，所以在上递增；当时，在区间递增；在区间递减.（2）依题意有且仅有两个不相等实根，即有两个不相等的实根，，构造函数，，所以在区间递增；在区间递减.所以.，当时，，，，所以的取值范围是.34．（2122高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数（）.(1)，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）代入，求导得切线的斜率，进而求得切线方程；（2）先求导，再分，，和讨论导数的正负，进而求得函数的单调性.【详解】（1）时，，，切线的斜率，则切线方程为；（2）函数的定义域为，且，①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.②当，即时，由，得或；由，得.则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为.④当，即时，由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为.综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.35．（2023·安徽蚌埠·一模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若有2个极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论导函数的正负，即可求解函数的单调性，（2）根据有两个极值点可得，有，将其代入要证明的不等式中将问题转化为，构造函数，通过求导即可解决.【详解】（1）的定义域是，，当时，在定义域上恒成立，在单调递增.当时，令得，当和时，，当时，，所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减（2）由（1）知的2个极值点是方程的两根，故得，设，有.因为在区间上单调递减，所以要证明，等价于证明而注意到，只要证明上式右边，等价于证明，令，证明即可设，则在上单调递减，所以，所以成立综上所述，有2个极值点时，成立【点睛】本题主要考查了函数单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数截距函数的单调性以及极值，等价转化法以及构造函数的思想也是解题的关键.37．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知，函数．(1)讨论的单调性；(2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据函数解析式，明确其定义域并求导，根据二次函数的性质，结合导数与函数单调性的关系，可得答案；（2）根据导数的几何意义，建立方程，将其等价于新函数求零点问题，利用导数研究新函数的单调性以及零点存在性定理，可得答案.【详解】（1）的定义域是，，当时，恒成立，在单调递增；当时，令，则，显然成立，解得：，，当时，；当时，，的增区间是和，减区间是．（2），则，设切点坐标为．由直线与函数的图象相切，则，解得：．显然直线过原点，则，所以．整理得，即：，得：．设，．当时，，递减，当时，，递增．又，．所以存在，使得．存在，使得直线与函数的图像相切．38．（2324高三上·山西临汾·期中）已知函数.(1)若单调递增，求的值；(2)设是方程的两个实数根，求证：.【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）由单调递增，转化为恒成立，分离参数法可求；（2）由是方程的两个实数根，化简得，，两式作和与差，消去参数，转化为证明，整体换元，转化变形为的证明，构造函数，利用导数证明即可．【详解】（1），，则，由单调递增，则，即，则有恒成立，当时，对任意都成立；当时，，则恒成立，设，则为减函数，当时，则，且，所以；当时，，则恒成立，由为减函数，当时，则，且，所以；综上所述，；（2）方程，所以，则有，且，由，得．要证，只要证明，即证，记，则，，因此只要证明，即．记，，令，则，当时，，所以函数在上递增，则，即，则在上单调递增，，即成立，．【点睛】多变量导数题的核心思想是不变的——消元，消元的方法有很多，在双变量问题中可以差值比值代换，主元法，构造函数等等.这些方法同样适用于多变量，在三变量消元时也可以考虑先忽略一个变量，将三变量转化成双变量问题.39．（2023·浙江杭州·模拟预测）设函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个零点，，求满足条件的最小正整数的值.【答案】(1)答案详见解析(2)【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间.（2）先求得，然后对进行分类讨论，由的极小值为负数以及零点存在性定理确定最小正整数的值.【详解】（1）的定义域是，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在区间上单调递减；在区间上单调递增.（2），，依题意，，所以在区间上单调递减；在区间上，单调递增.所以在时取得极小值也即是最小值.要使函数有两个零点，，则首先要满足，时，，不符合.时，，不符合.时，，，所以，此时在上单调递减，在上单调递增，，，，满足函数有两个零点，所以最小正整数的值为.【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.40．（2223高二下·广东江门·期中）已知函数．(1)当时，求函数的单调增区间．(2)当时，讨论函数的单调性．【答案】(1)单调递增区间有和(2)答案见解析【分析】（1）当时，对相应求导（此时不含参），即可研究的单调增区间；（2）直接对求导（此时含参），再结合即可进一步讨论的单调性．【详解】（1）当时，，对其求导得，令，注意到的定义域为，由此可以列出以下表格：因此由以上表格可知：函数的单调增区间为和.（2）对函数求导，得，令，接下来对分两种情形来讨论：情形一：当时，有，即在上单调递增.情形二：当时，有，结合以上分析可列出以下表格：由以上表格可知：在单调递增，在单调递减，在单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增.【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，而第二问的关键是要对进行分类讨论.

41．（2023·广东茂名·一模）设，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小.【详解】，，故可构造函数，，所以在上单调递增，所以，即.故选:B.42．（2223高三下·山东济南·开学考试）已知，，，则（

）A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．b＞c＞a D．c＞b＞a【答案】A【分析】对两边取对数，得到，，，构造，，求导后再令，研究其单调性，得到在上单调递增，从而得到，结合在上的单调性求出答案.【详解】，，两边取对数得：，，，令，，则，令，，则在上恒成立，所以在上为增函数，因为当时，恒成立，所以在上恒成立，故在上恒成立，故在上单调递增，所以，故，即，因为在上单调递增，所以.故选：A【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对，，两边取对数得：，，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的.43．（2223高二上·江苏南通·期末）（多选题）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析.【详解】因为，即．令，则有，则，令，则，令，可得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，所以总有，故单调递减；所以，即；对于A，，故A错误；对于B，设，则，故在上单调递增，所以，所以，因为，所以，故B正确；对于C，，即．设，则，则，所以单调递增．因为，所以，故C正确；对于D，，即，令，则，因为，所以为偶函数，