第01讲平面及其基本性质（9个知识点8种题型强化训练）原卷版

第01讲平面及其基本性质课程标准学习目标理解平面的特性三个基本公理水平放置的平面图形的直观图特征1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)4.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)5．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点）【知识点01平面的概念】生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分．【即学即练1】下列说法正确的是()A．平行四边形是一个平面B．任何一个平面图形都是一个平面C．平静的太平洋面就是一个平面D．一个平面可以将空间分成两部分【知识点02平面的画法】在立体几何中，我们通常用平行四边形来表示平面．（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍；当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．【即学即练2】（2223高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（）A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面【知识点03平面的表示】为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α，平面β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．【即学即练3】（2324高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为．【知识点04点、直线、平面之间位置关系】【即学即练4】如图所示，用符号语言可表达为A．，， B．，， C．，，， D．，，，【知识点05公理１】如果一条直线上有两点在一个平面上，那么这条直线上所有的点都在这个平面上．符号表示：Al，Bl，且Aα，Bα⇒l⊂α．如图所示：作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．【即学即练5】可以用集合语言将“公理1：如果直线上有两个点在平面上，那么直线在平面上．”表述为A．，且，，则 B．若，且，，则 C．若，且，，则 D．若，且，，则【知识点06公理２】不在同一直线上的三点确定一个平面符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使Aα，Bα，Cα．如图所示：作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．【即学即练6】下列命题正确的是A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面【知识点07根据公理２可以得到下面的三个推论】（1）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．符号语言：若点直线a，则A和a确定一个平面．如图所示：（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．符号语言：⇒有且只有一个平面，使，．如图所示：【即学即练7】下列命题错误的是A．直线及直线外一点，确定一个平面 B．两条平行直线，确定一个平面 C．两条相交直线，确定一个平面 D．三条相交直线两两相交，确定一个平面【知识点08公理３】如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号表示：Pα，且Pβ⇒α∩β＝l，且Pl．如图所示：作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．对三个公理的理解（1）对于公理1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．（3）公理3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．【即学即练8】如图，正方体中．、分别是、的中点．求证：、、三线共点．【知识点09空间图形的平面直观图的画法】我们知道，立体几何的研究对象是空间图形．要将空间图形在一个平面上体现出来，就需要在平面内画出具有立体感的空间图形的直观图．为了把空间图形画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，我们通常采用斜二测画法画空间图形的直观图．下面，我们通过两个例子来体会用斜二测画法画空间图形直观图的方法与步骤．【即学即练9】下列关于斜二测画法所得直观图的说法中正确的有①三角形的直观图是三角形．②平行四边形的直观图是平行四边形．③菱形的直观图是菱形．④正方形的直观图是正方形．A．① B．①② C．③④ D．①②③④题型01立体几何三种语言的相互转化【解题策略】三种语言的转换方法：(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．【变式11】．（2324高二上·上海金山·期中）“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为．【变式12】．对于结论“若，且，则”，用文字语言可以叙述为________________________.【变式13】用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.题型02确定平面的个数【例2】．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________．【变式21】．已知A、B、C为空间中的三个点，则经过这三个点的平面有______个．【变式22】三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．【变式23】．空间不共线的四个点最多能确定的平面个数是______．题型03平面把空间分割问题【例3】两个平面可以将空间分成个部分．【变式31】．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分．【变式32】空间不重合的三个平面可以把空间分成（

）A．4或6或7个部分 B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分 D．6或7或8个部分【变式33】．（2223高二上·上海浦东新·阶段练习）正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分题型04点、线共面问题【解题策略】证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．【例4】如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.【变式41】．如图，已知△ABC的三个顶点A､B､C在平面内，AD是BC边上的中线，求证：AD在平面上.【变式42】．如图，，与、分别交于、两点，与、分别交于、两点，．求证：、、、、五点共面．【变式43】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．题型05共线、共点问题【解题策略】反思感悟(1)证明三点共线的方法(2)证明三线共点的步骤【例5】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).【变式51】如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．【变式52】.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1，求证：AA1，BB1，CC1三线共点．【变式53】.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线．题型06水平放置的平面图形的直观图的画法【解题策略】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．【例6】(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为．(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．【变式61】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．【变式62】用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．【变式63】画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．题型07直观图的还原与计算【解题策略】由直观图还原为平面图形的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的eq\f(\r(2),4)倍．【例7】如图，矩形O′A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是______，其面积为________．【变式71】(1)如图，△A′B′C′是由斜二测画法得到的水平放置的△ABC的直观图，其中A′B′，A′C′所在直线分别与x′轴、y′轴平行，且A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形(2)已知等边三角形ABC的边长为a，那么由斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2【变式72】(1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq\r(2)，则这个平面图形的面积是()A．1B.eq\r(2)C．2eq\r(2)D．4eq\r(2)①②(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．题型08空间几何体的直观图的画法【解题策略】空间几何体的直观图的画法(1)对于一些常见几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出直观图．(2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)z轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．【例8】用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．【变式81】画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2cm)【变式82】用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)【变式83】用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm，3cm,2cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图．一、单选题1．（2223高二上·上海浦东新·期末）下列条件不能确定一个平面的是（

）A．不共线三点 B．直线和直线上一点C．两条平行直线 D．两条相交直线2．（2324高二上·上海黄浦·期末）已知直线l、平面，“l与相交”是“l与至多有一个公共点”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件3．（2223高二上·上海浦东新·阶段练习）三个平面不可能将空间分成（

）个部分A．5 B．6 C．7 D．84．（2223高二上·上海静安·期末）下列命题中真命题是（

）A．四边形一定是平面图形B．相交于一点的三条直线只能确定一个平面C．四边形四边上的中点可以确定一个平面D．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面二、填空题5．（2324高二上·上海浦东新·阶段练习）已知，，，，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为.6．（2324高二上·上海浦东新·期中）命题“空间中任意不同的三点确定一个平面”是命题.（填“真”或“假”）7．（2324高二上·上海浦东新·期中）两条相交直线确定个平面.8．（2324高二上·上海浦东新·期中）若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为.9．（2223高二上·上海静安·期中）点平面，点平面，平面平面直线l，则点直线l（用集合符号表示）．10．（2324高二上·上海黄浦·期末）请写出公理2及其三个推论中的一条：确定一个平面．11．（2324高二上·上