预习10讲椭圆2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）预习10讲椭圆（精讲+精练）①椭圆的定义及其应用②椭圆的几何性质③求椭圆的标准方程④椭圆的离心率一、椭圆的定义1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.说明：若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形2、定义的集合语言表述集合.二、椭圆的标准方程焦点位置焦点在轴上焦点在轴上标准方程（）（）图象焦点坐标，，的关系注：给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上⇔标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.三、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程（）（）范围，，顶点，，，轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距对称性对称轴：轴、轴对称中心：原点离心率，注：离心率常用变形：.（）当越接近1时，越接近，椭圆越扁；当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；当且仅当时，图形为圆，方程为四、直线与椭圆的位置关系1、直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．2、直线与椭圆的相交弦直线与椭圆问题（韦达定理的运用）（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：弦长弦长这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：；①椭圆的定义及其应用策略方法椭圆定义的应用类型及方法(1)探求轨迹：确认平面内与两定点有关的轨迹是不是椭圆．(2)应用定义转化：涉及焦半径的问题，常利用|PF1|＋|PF2|＝2a实现等量转换．(3)焦点三角形问题：常把正、余弦定理同椭圆定义相结合，求焦点、三角形的面积等问题．【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（

）A．6 B．3 C．4 D．2【答案】D【分析】根据椭圆的定义即可求出.【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2.故选:D.2．（2324高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知坐标平面上的两点和，动点P到A、B两点距离之和为常数3，则动点P的轨迹是（

）A．射线 B．线段 C．圆 D．椭圆【答案】D【分析】利用椭圆的定义，结合题意判断即可得解.【详解】因为，，所以，因为动点P到A、B两点距离之和为常数3，则，由椭圆的定义可知动点P的轨迹是椭圆.故选：D.3．（2324高二上·全国·课后作业）以下方程表示椭圆的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案.【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误.B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误.C选项，方程，即，表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确.D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误.故选：C4．（2024高二上·全国·专题练习）已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段【答案】D【分析】利用椭圆轨迹的相关定义即可得解.【详解】因为所以为线段上的点.故选：D.5．（2324高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可．【详解】方程表示椭圆，，得，得且．故选：D．6．（2324高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若过且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆定义即可由焦点三角形的周长公式求解.【详解】由题意可得，的周长为，故选：D7．（2324高二上·广东佛山·期末）已知平行四边形的顶点在椭圆上，顶点分别为的左、右焦点，则该平行四边形的周长为（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求解即得.【详解】椭圆的长半轴长，由点在椭圆上，分别为的左、右焦点，得，所以平行四边形的周长为.故选：D8．（2324高二上·吉林长春·期末）椭圆上的点到左焦点的距离为2，N为的中点，则（O为坐标原点）的值为（）A．8 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】先利用椭圆定义得到，再利用中位线定理求得，从而得解.【详解】依题意，设椭圆的右焦点为，由椭圆方程，得，由椭圆定义得，又，，又为的中点，为的中点，线段为中位线，∴.故选：C.9．（2324高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（

）A．3 B．4 C．6 D．10【答案】C【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆定义可得，故，又，则由余弦定理得，故，故.故选：C②椭圆的几何性质策略方法利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求解．【题型精练】一、解答题1．（2324高二上·上海·课后作业）已知下列椭圆的方程，分别求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标．(1)；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】根据椭圆方程求出，再根据长轴、短轴、焦点和顶点的定义可得结果.【详解】（1）由，得,，得，，，所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、.（2）由，得，得，，得，，，所以椭圆的长轴长为、短轴长为、焦点坐标为、、顶点坐标为、、、.2．（2324高三上·西藏林芝·阶段练习）已知椭圆的一个焦点为.(1)求出椭圆的方程；(2)求出椭圆的离心率及其长轴长.【答案】(1)(2)离心率，长轴长【分析】由椭圆方程和焦点坐标得b，c的值，求得椭圆方程和离心率，长轴长.【详解】（1）由焦点坐标为，所以椭圆焦点在x轴上，所以，椭圆方程为：.（2）由第一问，得，，所以椭圆的离心率为，长轴长.二、单选题3．（2324高二上·全国·课后作业）椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先将方程化为标准方程，然后根据椭圆的性质分析判断【详解】由，得，所以椭圆的标准方程为，则，因为点在椭圆上，所以．故选：C4．（2324高二上·广东广州·期中）已知椭圆的短轴长为，焦距为，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据椭圆的性质求出，即可得解.【详解】依题意，所以，则，则椭圆的上顶点到右焦点的距离为.故选：B5．（2324高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得到方程组，求出，结合焦点位置，得到椭圆方程.【详解】由题意得，，又，解得，故椭圆方程为.故选：D6．（2324高二上·河南焦作·阶段练习）椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由题意可得关于的方程，解方程即可得解.【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，，解得．故选：A．7．（2324高二下·广东广州·期中）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先得到，即可求出，再由离心率公式求出，最后再求出长轴长.【详解】因为，依题意可得，所以，则离心率，解得，则，所以椭圆的长轴长为.故选：B8．（2324高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（

）A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长【答案】C【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长、半焦距、离心率即可判断得解.【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，显然顶点坐标随的变化而变化，离心率随的变化而变化，长轴长随的变化而变化，ABD不是；焦距不随的变化而变化，C是.故选：C9．（2324高二上·河南南阳·阶段练习）已知A为椭圆的上顶点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值.【详解】由题意可知：，设，由可得，，则，因为，可知当时，最大为.故选：B③求椭圆的标准方程策略方法待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤【题型精练】一、解答题1．（2324高二上·四川成都·阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程(2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点；【答案】(1)(2)或.【分析】（1）设出椭圆方程，待定系数法求出，得到椭圆的标准方程；（2）分焦点位于x轴和轴两种情况，设出椭圆方程，求出，得到椭圆的标准方程.【详解】（1）由题意设椭圆的标准方程为，由解得：.所以椭圆的标准方程为；（2）由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为，故，故，此时椭圆的标准方程为，当椭圆的焦点位于轴上时，设椭圆的标准方程为，故，故，此时椭圆的标准方程为.综上所述：椭圆的标准方程为或.2．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点；(2)离心率，焦距为12.【答案】(1)或；(2)或.【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程.（2）根据给定条件，由离心率求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出椭圆方程.【详解】（1）当椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为，由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得，则所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上，设其标准方程为，由椭圆过点，得，由椭圆长轴长是短轴长的5倍，得，则所求椭圆的标准方程为，所以所求椭圆的标准方程为或.（2）令椭圆长半轴长为a，半焦距为c，由，得，由离心率，得，即，因此椭圆短半轴长，当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为，所以所求椭圆的标准方程为或.3．（2324高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；(3)经过和点．【答案】(1)1(2)(3)．【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程；（2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得；（3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得.【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，则，∴椭圆方程为1；（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，则，则椭圆的标准方程为；（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，设其方程为，则有，解可得，则所求椭圆的方程为．4．（2024高三·全国·专题练习）分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(2)离心率为，且经过点．【答案】(1)或．(2)或．【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接写出a，c的值，然后求出b的值即可写出椭圆的标准方程；（2）根据离心率可设，，对椭圆焦点的位置进行分类讨论写出其标准方程即可.【详解】（1）由题意知，，所以，又焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为或．（2）由题意可得，设，，，则．又椭圆经过的点为其顶点，故若点为长轴顶点，则，，椭圆的标准方程为；若点为短轴顶点，则，，椭圆的标准方程为．5．（2324高二上·福建福州·阶段练习）回答下面两个题(1)求经过点和点的椭圆的标准方程；(2)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，求水面的宽度

【答案】(1)；(2)【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，代入两个点，即可求解；（2）首先建立坐标系，求解椭圆方程，再根据水面上升后的值求的值，即可求解.【详解】（1）设椭圆方程为，将点和点代入可知，得，所以椭圆的标准方程为：；（2）

以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长.把代入椭圆方程可得：，所以当水位上升时，水面的宽度为.④椭圆的离心率策略方法求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e．【题型精练】一、单选题1．（2324高二上·四川眉山·期中）若椭圆的离心率为e，则e的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由椭圆的离心率公式直接求解.【详解】由题意得椭圆长半轴，短半轴，所以半焦距，所以离心率，故选：C.2．（2324高二上·广西·阶段练习）已知椭圆：的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，再根据离心率公式即可得解.【详解】由题意，，所以，则离心率.故选：B.3．（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距，所以该椭圆的焦距为或.故选：D4．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解.【详解】，解得.故选：C.5．（2324高二下·北京·开学考试）椭圆的左右焦点分别为，过与长轴垂直的直线与椭圆交于两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意求出，，，再根据椭圆的定义及离心率公式计算可得.【详解】依题意，，，又，即，所以离心率.故选：B6．