2.3函数的单调性和最值（第2课时函数的最值）课件高一上学期数学北师大版

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函数的单调性和最值第2课时函数的最值第二章函数北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值或值域.3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

函数的最值1.定义名称前提条件图象函数的最大值M设函数y=f(x)的定义域是D.若存在实数M,对所有的x∈D都有

且存在x0∈D,使得f(x0)=M

函数的最大值对应其图象

点的纵坐标

函数的最小值M都有

函数的最小值对应其图象

点的纵坐标

注意M是一确定的实数x0也可理解为方程f(x)=M的根2.函数的最大值和最小值统称为最值.f(x)≤M

f(x)≥M最高

最低

名师点睛函数的最值和值域的联系与区别(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的基本性质,针对的是整个定义域.(2)区别:①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)f(x)=在其定义域内无最大值、最小值.(

)(2)f(x)=2x2+4x+1的值域为[-1,+∞).(

)(3)若函数f(x)在其定义域内有最大值和最小值,则最大值一定大于其最小值.(

)√√×2.函数y=-3x2+2在区间[-1,2]上的最大值为

.

2解析

函数y=-3x2+2的图象的对称轴为直线x=0,又0∈[-1,2],∴f(x)max=f(0)=2.3.[人教B版教材例题]判断函数f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的单调性,并求这个函数的最值.解

任取x1,x2∈[-1,6]且x1<x2,则x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0,所以这个函数是增函数.因此,当-1≤x≤6时,有f(-1)≤f(x)≤f(6),从而这个函数的最小值为f(-1)=2,最大值为f(6)=23.重难探究·能力素养速提升探究点一求函数的最值角度1利用函数的图象求最值【例1-1】

已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值.所以其值域为(-∞,2].规律方法

图象法求最值的基本步骤

(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.解

(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.角度2利用函数的单调性求最值【例1-2】

已知函数f(x)=x+.(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.解

(1)任取x1,x2∈[1,2],且x1<x2,则∵1≤x1<x2≤2,∴x1-x2<0,1<x1x2<4,x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间[1,2]上单调递减.(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)=2+=4,f(x)的最大值为f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5.变式探究本例已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值.规律方法

函数的最值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(或单调递减),在区间(b,c]上单调递减(或单调递增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的线,则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值.角度3利用数形结合思想与分类讨论思想求一元二次函数的最值【例1-3】

求函数y=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.解

y=(x-a)2-1-a2.当a<0时,函数在[0,2]上单调递增,如图①.故函数在x=0处取得最小值-1,在x=2处取得最大值3-4a.当0≤a≤1时,结合函数图象(如图②)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=2处取得最大值3-4a.当1<a≤2时,结合图象(如图③)知,函数在x=a处取得最小值-a2-1,在x=0处取得最大值-1.当a>2时,函数在区间[0,2]上单调递减,如图④.函数在x=0处取得最大值-1,在x=2处取得最小值3-4a.综上,当a<0时,函数在区间[0,2]上的最小值为-1,最大值为3-4a;当0≤a≤1时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为3-4a;当1<a≤2时,函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1,最大值为-1;当a>2时,函数在区间[0,2]上的最小值为3-4a,最大值为-1.规律方法

1.探求一元二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的图象,再根据函数的单调性进行研究.特别要注意一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解一元二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.一元二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.2.对于一元二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:h与m,n的关系f(x)的单调性最大值最小值h<m在[m,n]上单调递增f(n)f(m)h>n在[m,n]上单调递减f(m)f(n)m≤h≤nm≤h<在[m,h]上单调递减,在(h,n]上单调递增f(n)f(h)h=f(m)或f(n)f(h)<h≤nf(m)f(h)变式训练2函数f(x)=x2-2x+2(其中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求g(t)的表达式.解

由函数f(x)=x2-2x+2知其图象开口向上,对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论:当t+1≤1,即t≤0时,如图①所示,此时函数f(x)在[t,t+1]上单调递减,∴g(t)=f(t+1)=(t+1)2-2(t+1)+2=t2+1.当

即0<t<1时,如图②所示,此时,函数f(x)在[t,1]上单调递减,在[1,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(1)=1.当t≥1时,如图③所示,此时,函数f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴g(t)=f(t)=t2-2t+2.探究点二与最值有关的应用问题【例2】

某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?所以当x=4

050,即每辆车的月租金为4

050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益是307

050元.规律方法

1.本题建立的是一元二次函数模型,应利用配方法求函数的最值.2.解函数应用题的一般步骤是变式训练3某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:其中x(单位:台)是仪器的产量.(1)将利润表示为产量的函数f(x).(2)当产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)(2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25

000,∴当x=300时,f(x)max=25

000.当x>400时,f(x)=60

000-100x单调递减,f(x)<60

000-100×400<25

000.∴当x=300时,f(x)max=25

000.即产量为300台时利润最大,最大利润为25

000元.探究点三利用函数的最值解决恒成立问题所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.记y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),因为y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a,所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立,所以实数a的取值范围为(-3,+∞).规律方法

对于任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题:f(x)min>a来解决.对于任意x∈D,f(x)<a恒成立一般可转化为f(x)max<a.变式训练4已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.本节要点归纳1.知识清单:(1)函数的最值;(2)一元二次函数在给定区间上的最值(或值域);(3)与最值有关的应用.2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法.3.常见误区:在求函数的最值时,一定注意函数的定义域,有值域不一定存在最值.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一]函数y=-|x|在R上(

)A.有最大值0,无最小值

B.无最大值,有最小值0C.既无最大值,又无最小值

D.既有最大值,又有最小值A解析

因为函数y=-|x|的图象如图所示,所以函数y=-|x|在R上有最大值0,无最小值.1234567891011121314151617C1234567891011121314151617A12345678910111213141516174.[探究点一]函数f(x)=x2+3x+2在区间(-5,5)内(

)A.有最大值42,有最小值12D12345678910111213141516175.[探究点三](多选题)已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是(

)A.∀x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-∞,-3)B.∃x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)C.∃x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的取值范围是[-1,3]D.∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)AC1234567891011121314151617解析

在A中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])单调递减,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确;在B中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])单调递减,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,∀x∈[-2,2],∃t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.12345678910111213141516176.[探究点一]设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为0,则a=

.

0解析

作出函数y=x2-2x的图象如图所示.若a≥1,则ymin=-1,不符合题意,则a<1,当且仅当a=0时,有ymin=0,所以a=0.12345678910111213141516177.[探究点二·2024北京西城高一期末]“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数

描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为

小时.

7123456789101112131415161712345678910111213141516178.[探究点三]已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.(1)求a,b的值;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.1234567891011121314151617解

(1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),∴函数f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=2,∴f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)max=f(0)=b=1,f(x)min=f(1)=b-3a=-2,∴a=b=1.(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).1234567891011121314151617B级关键能力提升练9.函数

的值域是(

)A.[-2,2] B.[1,2]C.[0,2] C1234567891011121314151617123456789101112131415161710.(多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列结论正确的是(

)A.f(-3.9)=f(4.1)B.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)的最小值为0D.函数f(x)是增函数AC1234567891011121314151617解析

根据符号[x]的意义,讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)=x-[x]的解析式:当-1≤x<0时,[x]=-1,则f(x)=x-[x]=x+1;当0≤x<1时,[x]=0,则f(x)=x-[x]=x;当1≤x<2时,[x]=1,则f(x)=x-[x]=x-1;当2≤x<3时,[x]=2,则f(x)=x-[x]=x-2.画出函数f(x)=x-[x]的图象如图所示.根据定义可知,f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,f(4.1)=4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确;根据图象易判断,函数f(x)=x-[x]在最高点处取不到,所以B错误;函数图象最低点处函数值为0,所以C正确;根据函数单调性,可知函数f(x)=x-[x]在特定区间内单调递增,在整个定义域内没有单调性,所以D错误.12345678910111213141516171234567891011121314151617D123456789101112131415161712.在实数的原有运算法则中,补充定义新运算“⊕”如下:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b.已知函数f(x)=(1⊕x)x-2(2⊕x)(x∈[-2,2]),则满足f(m+1)≤f(3m)的实数m的取值范围是(

)C解析

当-2≤x≤1时,f(x)=1·x-2×2=x-4;当1<x≤2时,f(x)=x·x-2×2=x2-4.12345678910111213141516171234567891011121314151617[-2,3)解析

由题意得y=f(x)为增函数,∴3-a>0,且-(2-2)2≤2(3-a)+5a,∴-2≤a<3.123456789101112131415161714.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为

.

6解析

在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=10-x的图象.根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知,f(x