第十章　第一节　随机抽样

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第一节随机抽样【课标解读】【课程标准】1.知道获取数据的基本途径.2.了解总体、样本、样本量的概念,了解数据的随机性.3.通过实例,了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程,掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法,会计算样本均值和样本方差,了解样本与总体的关系.4.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围,了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差.5.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、数据分析.【命题说明】考向考法高考命题常以抽样为载体,考查抽样方法.简单随机抽样、分层随机抽样以及分层随机抽样中的抽样数值、均值是高考热点,常以选择题或填空题的形式出现.预测预测2025年高考会在分层随机抽样、样本均值、方差中出题,其中分层随机抽样的样本均值、方差命题比较灵活.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.总体、个体、样本调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.2.简单随机抽样抽签法和随机数法是比较常用的两种简单随机抽样的方法.

3.总体平均数与样本平均数(1)总体平均数①总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称Y=Y1+Y2+…+Y②如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=

1N∑i=1kf(2)样本平均数如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称y=y1+y2+…+y4.分层随机抽样(1)定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.

(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

微思考分层随机抽样中各层的抽样比是什么关系?提示:各层的抽样比是相等的.基础诊断·自测类型辨析改编易错题号12,341.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会与先后顺序有关.(×)提示:(1)由简单随机抽样的概念可知(1)错误;(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.(√)提示:(2)由抽签法和随机数法的概念可知(2)正确;(3)在比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(×)(4)不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率是相同的.(√)2.(必修第二册P189习题6改编)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为()A.3 B.5 C.10 D.11【解析】选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11.3.(必修第二册P189习题5改编)某单位有200名职工,其中女职工有60名,男职工有140名,现要从中抽取30名进行调研座谈,如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样,则应抽女职工名.

【解析】设应抽女职工x名,则60200=x30,解得x答案:94.(不会读数导致错误)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标,现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,若从随机数表第7行第7列的数开始向右读,则抽取的第3支疫苗的编号为.(下面摘取了利用R统计软件生成的随机数表的第7行至第11行)

844217533157245506887704157767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【解析】由题意,从随机数表第7行第7列的数开始向右读,对应的编号依次为533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重复的都不符合条件,故符合条件的前三个编号依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的编号是217.答案:217【核心考点·分类突破】考点一简单随机抽样[例1](1)(多选题)下列抽取样本的方式,是简单随机抽样的是()A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检查D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛【解析】选BC.A不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的;B是简单随机抽样;C是简单随机抽样,因为“一次性”抽取与“逐个”抽取是等价的;D不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样.(2)(2023·聊城模拟)国家高度重视青少年视力健康问题,指出要“共同呵护好孩子的眼睛,让他们拥有一个光明的未来”.某校为了调查学生的视力健康状况,决定从每班随机抽取5名学生进行调查.若某班有50名学生,将每名学生从01到50编号,从下面所给的随机数表的第2行第4列的数开始,每次从左向右选取两个数字,则选取的第三个号码为()015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A.13 B.24 C.33 D.36【解析】选D.根据随机数表的读取方法,第2行第4列的数为3,每次从左向右选取两个数字,所以第一组数字为32,即为第一个号码;第二组数字58,舍去;第三组数字65,舍去;第四组数字74,舍去;第五组数字13,即为第二个号码;第六组数字36,即为第三个号码,所以选取的第三个号码为36.(3)某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为()A.180 B.400 C.450 D.2000【解析】选C.设这个学校高一年级的学生人数为x,则90x=20100,所以x解题技法抽签法与随机数法的适用情况(1)抽签法适用于总体中个数较少的情况,随机数法适用于总体中个数较多的情况.(2)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.对点训练1.有一批计算机,其编号分别为001,002,003,…,112,为了调查这批计算机的质量问题,打算抽取4台入样.现在利用随机数法抽样,在下面随机数表中选第1行第6个数“0”作为开始,向右读,那么抽取的第4台计算机的编号为()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B.021 C.077 D.058【解析】选B.依次可得到需要的编号是076,068,072,021,故抽取的第4台计算机的编号为021.2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是()A.110,110 B.310,15 C.15,310 【解析】选A.在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110考点二样本的均值[例2](1)已知数据x1,x2,x3,…,x200的平均数是6,数据y1,y2,y3,…,y300的平均数是20,则∑i=1200A.13 B.14.4 C.15 D.15.4【解析】选B.由已知得∑i=1200xi+∑i(2)某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如表数据:直径(单位:cm)121314频数12344估计这50个零件的直径为cm.

【解析】12×12+13×34+14×450=12.84(cm)答案:12.84解题技法数据均值的求法(1)观察所给数据,选择计算公式.(2)代入公式进行计算,注意数据的个数.对点训练1.(2020·江苏高考)已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.

【解析】由4+2a+(3答案:22.一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是.

【解析】设5个数据分别为a,b,c,d,e,因为前4个数据的平均数是20,所以a+b+c+d4=20,则a+b全部5个数据的平均数是19,所以a+所以a+b+c+d+e=95②,②-①得,e=15.答案:15【加练备选】现有某地一年的GDP(亿元)数据,第一季度GDP为232亿元,第四季度GDP为241亿元,四个季度的GDP逐季度增长,且中位数与平均数相同,则该地一年的GDP为亿元.

【解析】设第二季度GDP为x亿元,第三季度GDP为y亿元,则232<x<y<241,因为中位数与平均数相同,所以x+y2=232+x+所以该地一年的GDP为232+x+y+241=946(亿元).答案:946考点三抽样比的应用[例3](1)某校老年、中年和青年教师的人数见表,采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A.90 B.100 C.180 D.300【解析】选C.设该样本中的老年教师人数为x,由题意及分层随机抽样的特点得x900=3201600(2)(多选题)杭州亚运会共设40个竞赛大项,其中31个奥运项目,9个非奥运项目.为了调查高中生对各个项目的了解情况,在某高中3000名学生中,按照高一、高二、高三学生人数的比例用分层随机抽样的方法,抽取一个容量为150的样本,所得数据如表:项目高一高二高三只对31个奥运项目全部了解50444540个项目全部了解0110则下列判断正确的是()A.该校高一、高二、高三的学生人数比为10∶9∶11B.该校高三学生的人数比高一人数多50C.估计该校高三学生对40个项目全部了解的人数为200D.估计该校学生中对40个项目全部了解的人数不足8%【解析】选ACD.由题表可知,50+44+1+45+10=150,所以该校高一、高二、高三的学生人数比为50∶45∶55,即10∶9∶11,A正确;高三学生人数为3000×55150=1100(人),高一学生人数为3000×50高三学生对40个项目全部了解的人数约为3000×10150该校学生中对40个项目全部了解的人数约为11150≈7.33%,D正确解题技法1.按比例分配的分层随机抽样的步骤(1)将总体按一定标准分层.(2)计算各层的个体数与总体数的比,按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本量.(3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样).2.在比例分配的分层随机抽样中的抽样比抽样比=样本容量总体容量=各层样本容量对点训练(多选题)某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取40人,则()A.抽取的体育特长生为10人B.抽取的美术特长生为15人C.抽取的音乐特长生为16人D.抽取的体育特长生和美术特长生共25人【解析】选AC.抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生分别为2525+35+40×40=10(人),3525+35+40×40=14(人),40【加练备选】某市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”“有害垃圾”“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类.某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况,对辖区内的居民进行比例分配的分层随机抽样调查.已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人,若在老年人中的抽样人数是35,则在青年人中的抽样人数是()A.20 B.40 C.60 D.80【解析】选B.由题可知抽取的比例为k