25届（新教材QG版）数学精练案基础课33等比数列

基础课33等比数列课时评价·提能基础巩固练1.设{an}是等比数列，且a1−a2A.8 B.−8 C.4 D.[解析]设等比数列{an}则a1−a1所以a5−a42.[2024·海东模拟]已知等比数列{an}的公比q=−1A.−13 B.13 C.3[解析]因为等比数列{an}的公比q=−13，3.设Sn为正项递增的等比数列{an}的前n项和，且a3=4A.63 B.64 C.127 D.128[解析]设等比数列{an}的公比为qqa1q2=4,得2q2−5q+2=0，解得q=4.已知在数列{an}中，a1=1，A.−42025+2 B.−42025[解析]由an+1=4an因此数列{an−2}是首项为−1，公比为4的等比数列，所以a2025=−420245.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]因为数列{an}的前n项和Sn所以当n=1时，当n≥2时，若数列{an}为等比数列，则a2当c=−3时，a1=6，满足an=2×3故“{an}为等比数列”是“c=−3”6.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a62A.25 B.5 C.254 D.[解析]由等比数列的性质，可得a6又因为an>0，所以a6当且仅当a6=a8=57.已知数列{an}满足a1=1，A.2×6n−1−2n−[解析]因为an+1=设an+12所以2x=1，即所以an又a1所以数列{an2n+12所以an2n+12=8.若数列{an}和{bn}满足a1=2，bA.2×32024+1 B.3×[解析]因为2an+所以2an+1又a1+b1=2，所以数列{a所以an+bn=2n所以an所以a2025+b2024综合提升练9.（多选题）设数列{an}满足a1=−A.{1an+5}C.{an}为递减数列 D.{1[解析]因为an+1=整理得1an+1所以{1an+5}是首项为1a1+5=由1an+5=4×2n因为a1=−1,a2=13，即a2>a1因为1an=2n+1−5，所以{1an}的前10.（多选题）如图，等边△ABC的边长为2，先取等边△ABC各边的中点D,E,F，作第2个等边△DEF，然后再取等边△DEF各边的中点G,H,I，作第3个等边△GHI，依此方法一直继续下去.设等边△ABC的面积为a1，后继各等边三角形的面积依次为a2,a3A.aB.lnan+1是C.从等边△ABC开始，连续5个等边三角形的面积之和为D.如果这个作图过程一直继续下去，那么所有这些等边三角形的面积之和将趋近于4[解析]设各等边三角形的边长为数列{b由题意知，数列{bn}是以2为首项，12为公比的等比数列根据三角形面积公式，an=34bn2=3⋅14令n=4,得a4=由an=3⋅14两边取对数,得lnan=ln3−n−1ln4，S5=3×[Sn=3×[1−14n]1−14，当n11.已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1,3,9后成等差数列，则{a[解析]依题意，设等比数列{an}的公比为q，因为等比数列{an}的第三项、第五项所以a3a5a7=512又数列{an}的第三项、第五项、第七项分别减去则a3−1+即a5q2+a5q2=20因为q>1，所以q2=12.（双空题）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an+n[解析]由a1=2a当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an+故数列{an−1}是等比数列，则记fn=na可得f2>f1，当n≥所以fn应用情境练13.“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识.已知长度为4的线段AB，取AB的中点C，以AC为直径作圆（如图①），该圆的面积为S1，在图①中取CB的中点D，以CD为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为S2，以此类推，则S[解析]由题意可知，各圆的面积成以π为首项，14为公比的等比数列故Sn则S114.公元263年，刘徽首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得π的值为3.14，我国称这种方法为割圆术，直到1200年后，西方人才找到了类似的方法，后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率.我们作单位圆的外切和内接正3×2nn=1,2,3,⋯边形，记外切正3×2（1）求{b（2）求证：对于任意正整数n,1an，1a（3）对任意正整数n,bn，bn+[解析]（1）如图，在等腰△OAB中，OA=OB=1,所以bn（2）显然sinθn>由已知及（1）得，n∈N∗，1an并且θn+1=所以对于任意正整数n,1an，1an（3）能.因为an=3所以an+1=3×因此bn+1所以对任意正整n,bn，bn+1创新拓展练15.已知数列{an}满足2an+2+an=3an+[解析]因为2an+2即an因为a2−a1=4，所以{an所以an+1−因为24−n>S△令fn=n⋅当n≥1时，fn+1−fn≤0，而fnmax=f1=16.在①a4=2a3，②a数列{an}为递增的等比数列，其前n项和为S（1）求数列{a（2）设bn=an+1SnS注：如果选择不同的组合分别解答，那么按第一个解答计分.[解析]（1）选条件①②，设等比数列{an}的公比为q，由①知由a1,a2,a3−2成等差数列，得2a2所以数列{an}选条件①③，设等比数列{an}的公比为q，由①知