5.5.1　第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式

第2课时两角和与差的正弦、余弦公式第五章

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和

与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、

计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，以及公式的

正用、逆用以及角的变换的常用方法.学习目标同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？相传“变脸”是古代人类面对凶猛的野兽，为了生存把自己脸部用不同的方式勾画出不同的形态，人们用绝妙的技巧使它成为一门独特的艺术，神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，利用它的变换可以解决许多三角变换问题，但仅仅这一个公式还很难满足我们的需要，比如遇到两角差的正弦、正切，两角和的正弦、余弦、正切的时候，该公式无法直接运用，今天我们就利用两角差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展.导语随堂演练课时对点练一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式二、给值求值三、给值求角内容索引一、两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式问题1请同学们写出两角差的余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.问题2试比较cos(α－β)和cos(α＋β)，观察两者之间的联系，你能发现什么？提示我们注意到α－β与α＋β有联系，α＋β＝α－(－β)，于是我们可以根据已知的两角差的余弦公式进行展开.即cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cosαcos(－β)＋sinαsin(－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，于是我们得到了两角和的余弦公式.②公式五或六实现了正弦、余弦的相互转化，你能想到如何表示两角和与差的正弦吗？知识梳理1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝

，其中α，β∈R，简记作C(α＋β).2.两角和与差的正弦公式sin(α＋β)＝

，其中α，β∈R，简记作S(α＋β)；sin(α－β)＝

，其中α，β∈R，简记作S(α－β).注意点：(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”；(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.cos

αcos

β－sin

αsin

βsin

αcos

β＋cos

αsin

βsin

αcos

β－cos

αsin

β√√解析方法一原式＝sin20°sin40°－cos20°cos40°＝－(cos20°cos40°－sin20°sin40°)＝－cos60°＝方法二原式＝cos70°sin40°－cos20°cos40°＝sin40°cos70°－sin70°cos40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝反思感悟

探究解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.二、给值求值所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ延伸探究1.若本例条件不变，求sin(α－β)的值.所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ2.若本例条件不变，求cos(α＋β)的值.解由以上可知cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ反思感悟

给值求值的解题策略(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围.所以cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)三、给值求角∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ又因为α，β均为锐角，反思感悟解决给值(式)求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，解因为α和β均为钝角，由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，1.知识清单：(1)公式的推导.(2)给式求值、给值求值、给值求角.(3)公式的正用、逆用、变形用.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.课堂小结随堂演练1.sin105°的值为√12341234√2.sin20°cos10°－cos160°sin10°等于解析sin20°cos10°－cos160°sin10°√12341234课时对点练1.化简sin21°cos81°－cos21°sin81°等于基础巩固12345678910111213141516√12345678910111213141516A.奇函数

B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数

D.非奇非偶函数√∴f(x)为奇函数.√12345678910111213141516123456789101112131415√16√12345678910111213141516两式相加可得2cosαcosβ＝0，即cosαcosβ＝0.√√12345678910111213141516123456789101112131415167.已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝

.解析∵sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1，

①cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0，

②①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，12345678910111213141516－1＝2sin(15°－45°)＝2sin(－30°)＝－1.12345678910111213141516解∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα1234567891011121314151612345678910111213141516求：(1)cos(2α－β)的值；所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)1234567891011121314151612345678910111213141516(2)β的值.解cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinα·sin(α－β)综合运用√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√1234567891011121314151613.在△ABC中，sinA·sinB<cosA·cosB，则这个三角形的形状为A.锐角三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.等腰三角形√12345678910111213141516解析∵在△ABC中，sinA·sinB<cosA·cosB，∴cos(A＋B)>0，∴cosC<0，则C为钝角，故△ABC是钝角三角形.12345678910111213141516[－1,3]∴－2≤m－1≤2，即－1≤m≤3.拓广探究1234567891011121314151615.“在△ABC中，cosAcosB＝

＋sinAsinB”，已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a，这时C是直角；乙同学在横线处填上一个实数b，这时C是锐角；丙同学在横线处填上一个实数c，这时C是钝角，则实数a，b，c的大小关系是

.b<a<c解析由题意，得横线处的实数等于cos(A＋B)，即cos(π－C)，12345678910111213141516当C是锐角时，－1<b＝cos(A＋B)<0；当C是钝角时，0<c＝cos(A＋B)<1，故b<a<c.12345678910111213141516(1)求sin