5.5.1　第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式第五章

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、

余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地

将公式变形运用.学习目标同学们，唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像大家期盼寒假一样的心情，同学们，让我们加倍努力，期待我们的成绩加倍提高，说不定，寒假时，你们的父母会对你们有加倍的奖励哦，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系.导语随堂演练课时对点练一、二倍角的正弦、余弦、正切公式二、给值求值三、倍角公式的综合运用内容索引一、二倍角的正弦、余弦、正切公式问题1

请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式.提示sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；问题2

当α＝β时，你能写出sin2α，cos2α，tan2α的表达式吗？提示sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα；cos2α＝cos(α＋α)＝cosαcosα－sinαsinα＝cos2α－sin2α；知识梳理1.二倍角的正弦公式sin2α＝

，其中α∈R，简记作S2α.2.二倍角的余弦公式cos2α＝cos2α－sin2α＝

＝

，其中α∈R，简记作C2α.3.二倍角的正切公式2sin

αcos

α2cos2α－11－2sin2α升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.例1求下列各式的值：(3)cos20°·cos40°·cos80°.反思感悟

对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1

求下列各式的值：二、给值求值反思感悟

解决给值求值问题的方法(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)注意几种公式的灵活应用，如：三、倍角公式的综合运用(1)若f(B)＝2，求B的大小；(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围.解由题意知f(B)－m>2恒成立，所以2＋m<－2，所以m<－4，故实数m的取值范围是(－∞，－4).反思感悟

要结合之前所学的所有的公式，对它们灵活运用，融会贯通，在解决具体问题时，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断.尤其是在三角形中，其最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正、余弦和正切值并不一定为正.√∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα<0，∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)1.知识清单：(1)二倍角公式的推导.(2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：化简求值开根号时，忽视角的范围、实际问题中隐含的条件.课堂小结随堂演练A.2sin15°cos15° B.cos215°－sin215°C.2sin215° D.sin215°＋cos215°√1234sin215°＋cos215°＝1，故选B.1234√√12341234解析∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.课时对点练1.cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于基础巩固12345678910111213141516√解析原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°A.2 B.3 C.4 D.6√12345678910111213141516√12345678910111213141516123456789101112131415√1612345678910111213141516所以m2＝4sin218°，12345678910111213141516√12345678910111213141516解析因为α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，所以x<0，√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516解析设等腰三角形的底角为α

，则顶角为π－2α.1234567891011121314151641234567891011121314151612345678910111213141516解因为3π<α<4π，12345678910111213141516综合运用√1234567891011121314151611.sin10°sin30°sin50°sin70°的值为解析sin10°sin30°sin50°sin70°1234567891011121314151612345678910111213141516√A.必要不充分条件

B.充分不必要条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件√1234567891011121314151612345678910111213141516即2sinx＝1＋cosx成立，即必要性成立，当x＝π时，满足2sinx＝cosx＋1，1234567891011121314151612345678910111213141516又∵α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，拓广探究1234567891011121314151612