4.4.2　对数函数的图象和性质(二)

4.4.2对数函数的图象和性质(二)第四章

§4.4

对数函数1.进一步掌握对数函数的图象和性质.2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题.3.了解反函数的概念和图象特点.学习目标随堂演练课时对点练一、与对数函数有关的定义域问题二、与对数函数有关的综合性问题三、反函数内容索引一、与对数函数有关的定义域问题例1求下列函数的定义域：解要使函数式有意义，则lg(2－x)≥0，故函数的定义域为(－∞，1].解要使函数式有意义，则log3(3x－2)≠0，解得x<4，且x≠3.故函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4).反思感悟(1)对数函数的真数大于0.(2)求定义域的常用方法是解不等式(组)，有时在解不等式时，还要考虑函数的单调性.(3)有时求定义域比较特殊，其解法为从外向里一层一层地将对数符号去掉，每去掉一层对数符号都要考虑函数的单调性，最后求出x的取值范围.跟踪训练1求下列函数的定义域：二、与对数函数有关的综合性问题例2

已知函数f(x)＝log2(x＋1)－2.(1)若f(x)>0，求x的取值范围；解函数f(x)＝log2(x＋1)－2，∵f(x)>0，即log2(x＋1)－2>0，∴log2(x＋1)>2，∴x＋1>4，∴x>3.∴x的取值范围是(3，＋∞).(2)若x∈(－1,3]，求f(x)的值域.解∵x∈(－1,3]，∴x＋1∈(0,4]，∴log2(x＋1)∈(－∞，2]，∴log2(x＋1)－2∈(－∞，0].∴f(x)的值域为(－∞，0].反思感悟

(1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解；(2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f(x)与f(－x)的关系.解析因为函数f(x)的定义域为(－1,1)，A.关于原点对称

B.关于直线y＝x对称C.关于直线y＝－x对称

D.关于y轴对称√所以函数f(x)为奇函数，所以函数图象关于原点对称.三、反函数问题

在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象，观察两函数图象的关系.提示反函数：指数函数

(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换.注意点：(1)同底的指数函数与对数函数互为反函数；(2)互为反函数的两个函数图象关于y＝x对称.(高中阶段只要求掌握这一类反函数)知识梳理y＝ax例3

若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为A.16 B.0 C.1 D.2解析函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x.∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.√反思感悟

互为反函数的函数的性质(1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数．(2)互为反函数的定义域与值域互换．(3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．所以反函数的定义域为x∈[－1,4].√1.知识清单：(1)利用对数函数的单调性求函数的定义域.(2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集.课堂小结随堂演练A.(0,2) B.(0,2]

C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)1234√∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞).12342.函数y＝x＋log2x(x≥1)的值域为A.(1，＋∞) B.(－∞，1)C.[1，＋∞) D.[－1，＋∞)√3.若函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为√解析由题意得f(x)在[0,1]上单调递增或单调递减，∴f(x)的最大值或最小值在端点处取得，即f(0)＋f(1)＝a，12341234解析由题意得f(x)＝logax(a>0，且a≠1，x>0)，课时对点练基础巩固1234567891011121314151.已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于A.1 B.2 C.3 D.4√解析∵g(x)是f(x)的反函数，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2.162.若点(a，b)在函数y＝lgx的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是123456789101112131415√16解析因为点(a，b)在函数y＝lgx的图象上，所以b＝lga.当x＝10a时，有y＝lg(10a)＝1＋lga＝1＋b，所以点(10a,1－b)不在此函数的图象上，B不正确；当x＝a2时，有y＝lga2＝2lga＝2b，所以点(a2,2b)在此函数的图象上，D正确.12345678910111213141516123456789101112131415A.c>a>b

B.c>b>a

C.b>a>c

D.a>b>c16√∴c>b>a.1234567891011121314154.设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为A.－log2x

B.log2(－x)

C.－log2(－x) D.logx2解析当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x).√161234567891011121314155.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.08≈0.033，lg2≈0.301，lg3≈0.477)A.2020年

B.2021年

C.2022年

D.2023年解析设经过n年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，√16取n＝4，则经过4年后是2022年.12345678910111213141516A.y＝2x B.y＝log2x

C.y＝－x2

D.√√√123456789101112131415(0,1)∪(1,2]161234567891011121314158.设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

，则a＝____.4解析∵a>1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上单调递增，16∴

a＝4.1234567891011121314159.已知函数f(x)＝loga(10＋x)－loga(10－x)(a>0，且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；解函数f(x)是奇函数.理由如下：16即函数的定义域为(－10,10).函数的定义域关于原点对称.则f(－x)＝loga(10－x)－loga(10＋x)＝－[loga(10＋x)－loga(10－x)]＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数.123456789101112131415(2)若f(x)>0，求x的取值范围.解若f(x)>0，则f(x)＝loga(10＋x)－loga(10－x)>0，即loga(10＋x)>loga(10－x)，16综上，当a>1时，x的取值范围为(0,10)，当0<a<1时，x的取值范围为(－10,0).123456789101112131415证明函数f(x)的定义域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数.1610.已知函数f(x)＝log2(1＋x2).求证：(1)函数f(x)是偶函数；123456789101112131415证明设x1，x2为区间(0，＋∞)内的任意两个实数，且x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.16(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增.123456789101112131415综合运用√161234567891011121314151612345678910111213141512.函数f(x)＝lg|x|为A.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减B.奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增C.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增D.偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减√16123456789101112131415解析已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数；当x>0时，f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上单调递减.16A.奇函数

B.偶函数C.非奇非偶函数

D.既奇又偶函数解析易知该函数的定义域为R，12345678910111213141516√∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数.1234567891011121314151614.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为______.解析设B(x,2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知，得AB垂直于x轴，∴A(x,3logax)，正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2loga