章末复习课-高中数学教学资料

章末复习课第二章

一元二次函数、方程和不等式一、不等式及其性质二、利用基本不等式求最值三、一元二次不等式的解法内容索引知识网络随堂演练四、不等式恒成立问题五、通过构造数学模型解决生活中的问题知识网络一、不等式及其性质1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解.2.掌握不等式的性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养.例1

(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是A.A≤B

B.A≥BC.A<B或A>B

D.A>B解析∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)√∴A≥B.(2)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是A.a＋x<b＋y

B.ax>byC.|a|x≥|a|y

D.(a－b)x<(a－b)y解析当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.√反思感悟不等式及其性质的两个关注点(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，也常常选择特殊值法.跟踪训练1

若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________________________.解析∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.{a－b|－1≤a－b≤6}二、利用基本不等式求最值1.基本不等式：

(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.例2

(1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是解析因为0<x<2，√当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立.0反思感悟基本不等式的关注点(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.跟踪训练2

已知函数y＝x－4＋

(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝_____；b＝_____.2因为x>－1，所以x＋1>0，1此时a＝2，b＝1.三、一元二次不等式的解法1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏.3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.(1)求a的值；解得－2<x<－1，则不等式的解集为{x|－2<x<－1}.反思感悟(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集.(2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根.跟踪训练3

解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.解①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1.当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；当a＝1时，不等式的解集为∅；四、不等式恒成立问题例4

已知函数y＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围；解当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}.(2)当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围.解将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数，当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可，反思感悟解决不等式恒成立、能成立问题的方法(1)利用一元二次不等式判别式与图形相结合.(2)分离参数法.(3)转化为最大(小)值问题.√当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，可化为3>m2－3m－1，即m2－3m－4<0，解得－1<m<4.五、通过构造数学模型解决生活中的问题1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.例5

某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加

x成，要求售价不能低于成本价.(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；又售价不能低于成本价，所以y＝20(10－x)(50＋8x)(0≤x≤2).(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.解20(10－x)(50＋8x)≥10260，又0≤x≤2，反思感悟解决实际问题的关注点(1)审题要准，初步建模.(2)设出变量，列出函数关系式.(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.跟踪训练5

某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定，池的外围周壁建造单价为400元/m，中间的一条隔壁建造单价为100元/m，池底建造单价为60元/m2，池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时，可使总造价最低？所以当净水池的长为15m时，可使总造价最低.随堂演练1.下列命题中，正确的是A.若ac<bc，则a<bB.若a>b，c>d，则ac>bdC.若a>b>0，则a2>b2D.若a<b，c<d，则a－c<b－d√解析由ac<bc，c>0时，a<b；c<0时，a>b，所以A错误；当a>b>0，c>d>0时，有ac>bd，所以B错误；当a>b>0时，有a2>b2，所以C正确；由a<b，c<d，得出－d<－c，所以a－d<b－c，D错误.故选C.12341234√12343.已知命题p：

，命题q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，则p成立是q成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√123419