5.4.2　第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题

第3课时正弦函数、余弦函数的性质的综合问题第五章

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体

性质.2.能够解决简单的函数性质的综合问题.学习目标同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效帮助我们解决问题，整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想.导语随堂演练课时对点练一、形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题二、正弦函数、余弦函数的对称性三、函数性质的综合应用内容索引一、形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题问题1

求二次函数的最值，需要明确哪些方面？提示开口方向，对称轴，函数的定义域.问题2同角三角函数的平方关系是什么？提示sin2α＋cos2α＝1.例1函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为________.[－4,0]解析因为y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.又－1≤sinx≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域为[－4,0].延伸探究解由例题解答可知y＝－(sinx－1)2，2.本例函数变为y＝sin2x＋2cosx－2，x∈R，求函数的值域.解因为y＝sin2x＋2cosx－2＝1－cos2x＋2cosx－2＝－cos2x＋2cosx－1＝－(cosx－1)2，又－1≤cosx≤1，所以函数的值域为[－4,0].反思感悟

求y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)＝asin2x＋bcosx＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.1令cosx＝t，则t∈[0,1]，二、正弦函数、余弦函数的对称性问题3

正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？提示有，(kπ，0)(k∈Z).问题4

正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？问题5

类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？反思感悟正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.三、函数性质的综合应用√解析逐一验证，由函数f(x)的周期为π，故排除B；反思感悟

研究三角函数的几个方面整体研究三角函数的性质，我们要从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等几个方面综合考虑.√1.知识清单：(1)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题.(2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心.(3)函数性质的综合运用.2.方法归纳：整体代换、换元法.3.常见误区：二次函数的最值问题.课堂小结随堂演练√12341234√当x＝π时，y＝4cosπ＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.√12341234且f(0)＝－1为最小值，故sinφ＝－1.12344.函数y＝cos2x＋sinx的最大值为_____.解析因为y＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx，令t＝sinx，t∈[－1,1]，课时对点练基础巩固123456789101112131415√1612345678910111213141516123456789101112131415√163.函数y＝sinπx的图象的两个相邻对称中心间的距离为

A.π B.2π C.1 D.212345678910111213141516√A.y＝sinx

B.y＝cosx

C.y＝sin2x D.y＝cos2x123456789101112131415√16解析周期为π，故排除A，B；又y＝cost在[π，2π]上单调递增，所以选项D中y＝cos2x符合题意.√解析由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π对称，12345678910111213141516√√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516112345678910111213141516(1)求f(x)；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)求f(x)的单调递增区间.1234567891011121314151610.已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a.当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围.解－1≤sinx≤1，令t＝sinx，则－1≤t≤1.f(x)＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1,1]内有实数解.a＝t2－t，t∈[－1,1]，当t＝－1时，h(t)max＝2，12345678910111213141516综合运用12345678910111213141516√解析f(x)的最小正周期为2π，易知A正确；1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516A.f(1)<f(0)<f(2) B.f(0)<f(2)<f(1)C.f(2)<f(0)<f(1) D.f(2)<f(1)<f(0)√12345678910111213141516解析因为f(x)的最小正周期为π，1234567891011121314151612345678910111213141516故可得f(0)<f(2)<f(1).123456789101112131415161f(x)＝3sin(ωx＋φ)的图象的对称轴过函数g(x)＝3cos(ωx＋φ)＋1的图象的对称中心，拓广探究12345678910111213141516√12345678910111213141516∵ω>0，∴k∈N.∴ω的最小值为7.1234567891011121314