4.4.3　不同函数增长的差异

4.4.3不同函数增长的差异第四章

§4.4

对数函数1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.学习目标一、几个函数模型增长差异的比较问题1结合之前所学，请同学们自行阅读课本136页～138页，同位之间可以相互讨论，5分钟后检查讨论结果.提示通过对y＝2x与y＝2x的比较我们发现，函数y＝2x的增长速度保持不变，函数y＝2x的增长速度在变化，而且增长速度越来越快，虽然函数y＝2x在一定范围内比函数y＝2x增长快些，但存在一个x0，当x>x0时，总有2x>2x，即使一次函数y＝kx(k>0)，k的值远远大于指数函数y＝ax(a>1)中a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度.函数y＝lgx的增长速度在变化，而且增长速度越来越慢，即使对数函数y＝logax(a>1)中底数a的值远远大于一次函数y＝kx(k>0)中k的值，一次函数y＝kx(k>0)的增长速度最终都会超过对数函数y＝logax(a>1)的增长速度.问题2

把一次函数y＝2x，对数函数y＝lgx和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异.提示一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lgx增长最慢.知识梳理三种常见函数模型的增长差异

函数

性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性____________________________图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升单调递增单调递增单调递增增长速度y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过

的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有_________增长结果存在一个x0，当x>x0时，有____________y＝kx(k>0)logax<kxax>kx>logax注意点：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型；(3)一次函数增长速度不变，平稳变化；(4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上.例1

(1)下列函数中，增长速度最快的是A.y＝2021x

B.y＝x2021C.y＝log2021x

D.y＝2021x解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快.√(2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是A.y1，y2，y3

B.y2，y1，y3C.y3，y2，y1

D.y3，y1，y2√x1357911y15135625171536356655y2529245218919685177149y356.106.616.957.207.40解析由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数.反思感悟

常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧加快，形象地称为“指数爆炸”.(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.跟踪训练1

下列函数中，增长速度越来越慢的是A.y＝6x

B.y＝log6xC.y＝x2

D.y＝6x解析D中一次函数的增长速度不变；A，C中函数的增长速度越来越快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.√二、函数增长速度的比较例2函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；解C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2021)，g(2021)的大小.解因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2021>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2021)>g(2021).又因为g(2021)>g(6)，所以f(2021)>g(2021)>g(6)>f(6).反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断.(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数.跟踪训练2

以下四种说法中，正确的是A.幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快B.对任意的x>0，xn>logaxC.对任意的x>0，ax>logaxD.不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax解析对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数及一次项系数不确定，增长速度不能比较；对于B，C，当0<a<1时，显然不成立；对于D，当a>1，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不一定成立.√三、函数模型的选择问题3现在你能对你资金的三种投资方案做出选择了吗？方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.提示如果做短期投资，方案二收益较高；如果做长期投资，显然方案三最终回报最高.例3汽车制造商在2021年年初公告：公司计划2021年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：如果我们分别将2018,2019,2020,2021定义为第一、二、三、四年.现在有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系？年份(年)201820192020产量(万辆)81830解建立年产量y与年份x的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30).①构造二次函致模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1万辆.②构造指数型函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，由①②可得，二次函数模型f(x)＝x2＋7x能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系.反思感悟建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论.(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.跟踪训练3

据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2021年的湖水量为m，从2021年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为_________.解析设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，所以所以x年后的湖水量为1.知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：不理解三种函数增长的差异.课堂小结随堂演练1.下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是A.y＝x2

B.y＝log2xC.y＝2x

D.y＝2x1234√12342.在一次数学试验中，采集到如下一组数据：解析在坐标系中描出各点，知模拟函数为y＝a＋bx.x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)√12343.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1<v2)，则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是√1234解析把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好.4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用____作为函数模型.甲课时对点练基础巩固1234567891011121314151.在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表：解析将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意.16x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是A.y＝2x B.y＝x2－1

C.y＝2x－2 D.y＝log2x√2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的y倍，需经过x年，则函数y＝f(x)的图象大致为123456789101112131415√解析根据题意，得函数解析式为y＝(1＋10.4%)x＝1.104x(x＞0)，所以函数为指数函数，因为指数函数的底数1.104＞1，所以函数单调递增，且过点(0,1).161234567891011121314153.有一组实验数据如表所示：

下列所给函数模型较适合的是A.y＝logax(a>1)

B.y＝ax＋b(a>1)C.y＝ax2＋b(a>0)

D.y＝logax＋b(a>1)√解析由表中数据可知，s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A，D中的函数增长速度越来越慢；B中的函数增长速度保持不变；C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快.16t12345s1.55.913.424.1371234567891011121314154.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.√161234567891011121314155.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有A.y1>y2>y3

B.y2>y1>y3

C.y1>y3>y2

D.y2>y3>y1解析由题意可知，三个函数在区间(2,4)上都是单调递增的，所以4<y1<16,4<y2<16,1<y3<2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间(2,4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3.√161234567891011121314156.(多选)下面对函数f(x)＝

与g(x)＝

在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有A.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快√16√√解析在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢.123456789101112131415161234567891011121314157.某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变.其中说法正确的序号是______.解析由图可知，前三年产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确；第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确.②④161234567891011121314158.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是____.①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.①解析由于指数型函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，∴y＝10×1.05x是更为有前途的生意.161234567891011121314159.函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示.(1)试根据函数的增长差异指出C1，C2分别对应的函数；解C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1；C2对应的函数为f(x)＝lgx.16123456789101112131415(2)以两图象的交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较.解当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).16123456789101112131415解方案一：5年后树木面积为10＋1×5＝15(万平方米).方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好.1610.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？123456789101112131415综合运用11.下列函数图象中，估计有可能用函数y＝a＋blgx(b>0)来模拟的是√解析由于函数y＝lgx在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y＝a＋blgx(b>0)的图象是单调递增且上凸的.1612345678910111213141512.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是√解析开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B图象相吻合.1613.渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败).已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间t(分)满足的函数关系式为h(t)＝m·at.若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg2≈0.3，结果取整数)A.33分钟

B.40分钟

C.43分钟

D.50分钟√12345678910111213141516解得

m＝0.05，故h(t)＝0.05×令h(t)＝0.05×1234567891011121314151614.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样.其中，正确信息的序号是________.12345678910111213141516①②③解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，故②正确；两函数图象的交点的横坐标对应于4.5，故③正确，④错误.12345678910111213141516拓广探究1234567891011