函数的应用（一）教学设计 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

包头市景泰高级中学数学教案本2024包头市景泰高级中学数学教案本2024包头市景泰高级中学教务处包头市景泰高级中学教务处包头市景泰高级中学高一数学教案课题函数的应用（一）授课教师张海军授课班级1,3授课时间10月份课时安排2课时教学背景分析课题及教学内容分析函数的性质是2019版新人教A版必修第一册第三章的内容，是函数的应用性问题。在学习本节知识前，学生已经接触到函数的相关知识,需要学生加强对文字的理解。总体学生情况分析通过前面函数知识的学习，学生在知识上已经具备了一定的知识经验和基础，初步具备运用函数思想解决问题的能力，但是解题意识和思维的深刻性有待进一步加强，在探究问题的能力以及合作交流方面的发展不均衡，需要教师创设和谐平等的课堂气氛，加以调动。本班学生情况分析（1）整体上基础薄弱，对函数的理解不足，计算能力也比较弱，更多的学生没有学习的积极性，主要以应付为主，作业做的质量一般，不会分析，不会做笔记，不愿意思考。（2）学生们对函数这一些抽象的知识理解单一，很多人什么不会，基本上没有数学思维，也不愿意学，需要加大引导力度，需要内容，知识点反复提问，反复应用，反复计算，直到能理解为主。教学目标1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)。核心素养1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题，培养数学建模的核心素养。2、运用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际应用中的问题，提升数学运算的核心素养。教学重难点重点：运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题；难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。教学资源和教学方法本节是函数的应用，为了帮助学生正确分析实际问题中的变量关系，并能利用已知条件中的各种信息，教学时应注意使用问题引导的形式与信息技术的综合辅助功能相结合，使问题解决思路清晰，处理数据计算便捷，让学生能够将主要精力投入到建立数学模型的体验中，能更加深刻地感受到数学问题不同呈现形式的意义与数学建模的实用价值．通过学习函数的相关知识，提高学生们对函数的认识和理解。互动交流等学习方法，将以导学案的方式提前下发学生，以探究和引导为主，课堂上教师进行适当点评和补充。通过上面一系列的认真学习来达到培养学生独立思考，自我分析能力。教学设计一、创设情境，提出问题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件。于是商场经理决定每件衬衫降价15元．那么经理的决定正确吗？二、分析问题；引入新课师生活动：分析上述问题：分析：设每件衬衫应降价元，则销售量为件，每件利润为元，依题意，得，当时，最大为1250元，即经理的决定是正确的。本题为二次函数的模型，下面我们对函数的类型做一个复习：函数的解析式：一次函数：反比例函数：二次函数：幂函数【设计意图】通过探究，引导学生尝试用函数的知识解决实际应用问题，提高学生思考并解决问题的能力，并引导学生复习以前学过的函数类型。板书1三、探究模型，培养思路模型一、一次函数模型例：某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_________．师生活动：引导学生思考，建立模型一次函数模型，列出表达式，求解。【解答】设每件售价元时，售出件，设，因为，所以①，因为，所以②，解由①②组成的方程组得，，所以.由.故答案为：。模型二、二次函数模型例：若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20m．在限速为100km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50m，那么这辆车是否超速行驶？师生活动：教师指导学生审题后，学生从二次函数出发，思考后回答．解析：由，解得，由，解得，因为，所以这辆车没有超速。模型三、最值模型例：某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？师生活动：教师指导学生审题后，学生思考作答．解析：设矩形的一边长为x，广告牌的面积为S，则，当时，S取得最大值，且．所以当广告牌是边长为的正方形时，广告牌的面积最大．模型四、分段函数模型例2：某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数关系；（2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润．师生活动：教师指导学生审题，分析关键量，学生思考作答。【解答】解：由题意可得：（1）；（2）由（1）可得：当0≤x≤10时，f（x）＝﹣2（x﹣8）2+23．当x＝8时，f（x）max＝f（8）＝23；当x＞10时，f（x）＝30﹣x为减函数，则f（x）＜20．∴当x＝8时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大．最大利润为：w＝23×10＝230（万元）．做函数应用题的基本思路：①函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式；②求解析式时，一般利用待定系数法；③要充分挖掘题目的隐含条件，可以利用函数类型的自身特点解决实际问题；④要检验，看看是否存在不合理的内容。数学建模的过程图示如下：【设计意图】：教师引导学生通过审题——找变量间的关系——列出解析式——解决实际问题的过程，回顾本节课函数应用的基本思路，并让学生能够在各环节中抓住关键点，如本题中的单位换算问题，从而体现数学的逻辑性和严谨性。通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。四、类型训练，加强理解变式一、某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的生产成本为2500元，售价为3500元，若该公司生产的产品全部都能卖出去。设总成本为W万元，平均分摊到每件产品上的单位成本为y万元，销售总收入为S万元，总利润为P万元，分别求出它们与产量t的函数关系式。变式二、某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．五、课堂小结，回顾提升做应用题的基本思路：六、达标检测，巩固新知1某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.2.用米长的钢材制作如图的矩形窗户(中间有两根支柱)，当窗户的面积最大时，窗户高的值为()A.B.C.D.3.某村年底共有人口人，全年工农业总产值为万元。若从年起，每年总产值比上一年增加万元，人口每年增加人。设以后该村人均产值为(万元)，距年的年数为(年为第一年)，则与的函数关系为()A.B.C.D.4.某公司招聘员工，经过笔试确定面试人数，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为其中，代表拟录用人数，代表面试人数。若应聘的面试人数为人，则该公司拟录用人数为()A.B.C.D.5.将长为的钢筋截成段，做成底面为正方形的长方体骨架，则这个水箱最大的表面积是()A.B.C.D.6.某科技馆参观门票元/张，学生凭学生证可享受半价优惠。设一个星期日有名参观者，其中学生有人，则这个星期日科技馆的门票总收入(元)与(人)的函数关系式是()A.B.C.D.7.某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产，如外购，每个价格是元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加元，并且生产每个配件的材料和劳力需元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是()A.件B.件C.件D.件8.把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，那么这两个正方形面积之和的最小值是。9.商店按每件元的价格，购进时商品(卖不出去的商品将成为废品)件；市场调研推知：当每件售价为元时，恰好全部售完；当售价每提高元时，销售量就减少件。要使利润最大，售价应为。10.一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为米和米，现欲将这块土地内部分割成一些全等的正方形试验田，要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与这块土地的边界平行，现另有米栅栏，则最多可将这块土地分割成块。11.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路。该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差。如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示：每付出元的广告费，所得的销售额是元。要获得最大的广告效应，该企业应该投入广告费。12.长为，宽为的矩形，当长增加，宽减少时的面积最大，此时，面积。13.某商场出售某种商品，当每天卖件时，每件获得元，根据经验，若每件少卖角钱时()则每天可多卖出件，试把每件单价减少角钱时，该商场所赚金额总数(元)表示成的函数关系，并求该商场没有亏本的情况下的取值，以及获得最佳经济效益时的的值。14.某报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份元，卖出的价格是每份元，卖不完的报纸还可以每份元的价格退回报社。在一个月内(天)，有天每天可以卖出份，其余天每天只能卖出份。设每天从报社买进的报纸数量相同，则应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？15.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为和，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是。16如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为平方米，设熊猫居室的一面墙的长为米。(Ⅰ)用表示墙的长；(Ⅱ)假设所建熊猫居室的墙壁造价(在墙壁高度一定的前提下)为每米元，请将墙壁的总造价(元)表示为(米)的函数；(Ⅲ)当为何值时，墙壁的总造价最低？17.某电子公司生产一种仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收益满足函数，其中是仪器的月产量。(Ⅰ)将利润表示为月产量的函数；(Ⅱ)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)18.为了缓解交通压力，某省在两个城市之间特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车。如果该列火车每次拖节车厢，每日能来回趟；如果每次拖节车厢，则每日能来回趟。火车每日每次拖挂车箱的节数是相同的，每日来回趟数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢满载时能载客人。(Ⅰ)求出关于的函数关系式；(Ⅱ)这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢，才能使每日营运人数最多，最多营运人数是多少？19.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过元，则不予优惠；②如果越过元，但不超过元，则按标价给予折优惠；③如果超过元，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分给予折优惠。某人两次去购物，分别付款元和元，假设他一次购买上述同样的商品，求应付款额。20某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为__________．21如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？22某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？23某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备．已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益g（x）万元与每月垃圾处理量x（万吨）满足如下关系：（注：总收益＝总成本+利润）（1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润f（x）关于每月垃圾处理量x的函数