4第三章 电力系统运行的灵敏度分析及应用

1、第三章电力系统运行的灵敏度分析及应用第一节灵敏度分析分析在给定的电力系统运行状态下，某些量发生变化时，会引起其他变量发 生多大变化的问题。这一问题当然可通过潮流计算来解决，但计算工作量大。 采用灵敏度分析法，计算量小，并可揭示各量之间的关系。但变化量大时，灵 敏度分析法的精度不能保证。一、灵敏度分析的基本方法1、常规计算方法电力系统稳态运行的潮流方程一般性描述为:f (x, u) = 0y = y (x, u)（3-1）x为状态变量，如节点电压和相角；u为控制变量，如发电机输出功率或电压；y为依从变量，如线路上的功率。实际上，（3-1）中f （x, u） = 0就是节点功率约束方程，y = y

2、（x,u）是支路功率与节点电压的关系式。设系统稳态运行点为（x0,u0），受到扰动后系统的稳态运行点变为（x +Ax,u +Au）。为了求出控制量变化量与状态量变化量之间的关系， 00处将（3-1）按泰勒展开并取一次项，得：在(,u 0).afaff (x + Ax, u + Au) = f (x , u ) +Ax +Au = 0000axauy +Ay = y (x , u ) + 冬 Ax + 冬 Au000axau（3-2）将Jf(x0,u0)= 0 代入，有: ly0=y(x。, u)af人af人 八Ax +Au = 0axauAy =冬 Ax + 冬 Auaxau（3-3）Au =

3、 S Au au ayAx = -Iax)Ay = ay Ax + = Au =axauxuWs +当Au = S Auax xuau)(3-4)yu其中S , 一xu ax j性s + ax xuSyu-1 afau兰au)(3-5)为u的变化量分别引起x和y变化量的灵敏度矩阵。如果控制变量为各节点的有功、无功设定量，皿匹=diagll 1auSxu就是潮流方程的雅可比矩阵的逆。Au, Ax为两个不同状态间的变化量。1，所以，2、准稳态灵敏度计算方法考虑到电力系统运行的实际:（1）初始控制变量的改变量，与到达新稳态的最终改变量不同;（2）一个控制量的变化可能使另一些控制量也发生变化。所以控制

4、变量的初始改变量与最终改变量不同，表示为:Au = F Au（0）由此得到准稳态的灵敏度关系：（3-6）I Ax = S Au = S F Au(0)= S r Au(0)xuxu uxu)Ay = SAu = S F Au(0)= S r Au(0)yuyu uyu第二节潮流灵敏度矩阵（3-7）1、发电机母线电压改变量AVg与负荷母线电压改变量AV。之间的灵敏度关节点注入无功的平衡量方程Q 一 V Z V (G sin 9 一 B cos 9 ) i i j i i i i jWr Q +乙V B = 0（3-8）上式简化依据了电力系统结构和运行的特点。根据灵敏度分析的基本方法， 将（3-8

5、）在当前状态点泰勒展开舍去高次项，的受到扰动后各变量变化量之间 的关系AQ +EB NV = 0AQ =里 B AVj&写成矩阵形式，并将负荷节点与发电机节点分开排列-BB 一avAQ DDdgD=DB1- gdBGGJAV1-G JAQLGJ（3-9）（3-9）式与P-Q分解法V-Q迭代的修正方程式形式一致。但要注意在这里 AQ、AQg是发电机和负荷的变化量。即（3-9）式表示了系统新稳态相对于旧 稳态控制量的变化量与状态量的变化量之间的关系。假定Vg调整后，负荷的无功功率不变化，即AQ疽0，则式（3-9）第一式为:B DD AVD + B 供楫=0 变换得AVD =-BDDB AV = S

6、 AV（3-10）其中S =-B-1 B（3-11）为avd与avg之间的灵敏度矩阵。通过灵敏度矩阵可以知道哪些发电机对控制负 荷母线电压最有效，从而实现对负荷电压的定量控制。几种情况讨论：（1）只调整部分发电机的电压，无功充足能维持电压不变（avg=0）的发 电机对（3-9）式没贡献，可从Bdg中划去发电机电压能维持不变的节点对应的 列。（2）被控量为部分负荷节点，即其它负荷节点的电压不关心，可从bdd、Bdg中高斯消去不关心电压变化的负荷节点。（3）无功已达界的发电机，不能作为控制变量，也不能维持节点电压不变， 高斯消去这些发电机的节点。这些节点的aqg=0。高斯消去是等值变换，直接划去是

7、不考虑它的影响。2、发电机母线电压改变量AV，负荷母线电压改变量AV与发电机输出无功的改变量AQ之间的灵敏度关系 G将（3-9）变换为AV-BB 一-1AQ RR 一AQ D DDDGD=DDDGDAVL GBGDBGGAQLGJRGDRGGAQ1-G J，(3-12)假定发电输出无功改变时负荷的无功功率不变，即AQ =0AVD = R dgAQ g(3-13)AVg =R AQGG G（3-14）Rdg、Rgg是灵敏度矩阵。几种情况讨论：（1）不是控制变量的PV节点，其电压可维持不变，可直接划去对应的行和列。（2）不是控制变量的PQ节点，输出无功不变，当电压会发生变化，可将对应节点高斯消去。

8、（3）不关心的负荷节点，直接划去。3、负荷母线电压改变量AVD与变压器变比改变量At之间的灵敏度关系将节点无功平衡方程重写如下Q - V Z V （G sin 9 - B cos 9 ） i i j ij ij ij ij jei总Q +乙V B =0jei其中B是变压器变比的函数，不考虑节点注入无功的变化，将变压器变比ij作为控制变量，节点电压作为被控变量，写出灵敏度方程EB V +Ev 性M = 0（3-15）一 j 一 j dtj（3-16）上式中t.为之路i,j的变压器变比。写成矩阵形式，包括所有负荷节点，并 假定发电机母线电压不变，即认为发电机无功充足，可维持电压不变。BAVD +A

9、V =3L 土V At（3-17）dat .L ijb仅包含负荷节点。性v 为（3-15）式中第二项所组成的矩阵，行对应 ，负荷节点，列对应可调变压器支路。每列中只有两个非零元素，分别在变压器支路的两个端点上。如果变压器支路有一个端点为PV节点，则由于PV节点电 压不变，所以对应该变压器的支路只有一个非零元素。第三节分布因子分析节点注入有功功率变化、支路开断（结构变化）与支路潮流变化的灵敏 度。1、支路开断分布因子分布因子：支路/基态有功潮流为P，支路I开断引起支路k功率变化量为ly，两者之间的关系表示为：APi = D P（3-18）Di为分布因子。相似与无功平衡方程，由有功平衡方程可得节点

10、有功注入变化量与节点电压 相角变化量之间的灵敏度方程AP = B 0 A0或AO = XAP(3-19)B0是以Z为支路参数建立的导纳矩阵，X是B0的逆。考虑一条支路i（i, j）断开的情况。如图， 假定支路开断不引起节点注入功率的变化， 则支路开断后，新网络节点的注入功率变化 量为AP = . P . - P . 0（3-20）其中，节点i的改变量P -（P -P） = P，节点j的改变量P - （P + P） = P。（3-20）i i l lj j l l可表示为:AP =Io . 1 . -1 . M = MP（3-21）Ml是节点-支路关联列矢量，行对应节点号，支路l离开节点元素为1

11、，进入 节点元素为-1，节点与支路无关元素为0。新网络的导纳矩阵变为B0 -M x-1Mt，开端后节点电压相角的变化量由 （3-19）得AO = (B - M x-iMt )-1 AP（3-22）利用矩阵求逆辅助定理(3-23)(B 一 M x -iMt )-1 = B-1 - B-1M (MtB-1M 一 x )-1MtB-1=X XM (M t XM 一 x ) -1M t X ll ll I=x - n c T其中n = xmc = (M T XM - x ) -1 = (X - x )ll ll.-l-lX = M t XM =10 . 1= Xi1-Xj1.Xi,Xji =Xii -

12、 xx. + 七 =X + X - 2 X j-1I一 10kl0.1 . -1 .0TX ： X.上.1 .-10X“为在原网络支路l两端节点i注入单位电流，节点/流出单位电流，其它 节点注入电流为0的情况下，节点i与节点j的点位差，定义为端口 i - j的自阻 抗。支路l开断后，支路k(m,n)上有功潮流的变化量M t A8 M t (X n c 叩)M 八Pi = k = k ii ，P = D P(3-24) TOC o 1-5 h z k xx1kl 1Mk为支路k的节点-支路关联矢量。支路k与支路1之间的支路开断分布因子 是八Mt (X 一 n c nT )MD = k 1 1 1

13、1kMTXM MTXMMTXM /(X x )=k1k11111(3-25)0其它节点xkX X X/(X x )=kk111111xk=Xx1x 1 /x其中X = M T XM = Io. 1 . 1 .0皿.1 . 1 . 0卜=X X . X X.X -X 由.1 . 1 .=Xmi + Xnj 一 Xni 一 X典为在原网络支路1两端节点i注入单位电流，节点j流出单位电流， 注入电流为0的情况下，支路k两端节点m与节点n的点位差，定义为端口 i j与端口 m n之间的互阻抗。若支路1开断后网络分解为互不连通的两部分，因这时X1广%使(3-25)无 定义。推导：当有多条支路同时开断时，

14、支路k的功率变化量1=1m为断开的支路数。2、发电机输出功率转移分布因子发电机输出功率转移分布因子定义为发电机输出功率变化引起支路潮流的 变化量，表示为:APi = G, NP（3-26）G为发电机输出功率转移分布因子。，为发电机号，k为支路号。假定发电机i输出功率变化后引起的功率不平衡完全由平衡节点吸收，其它 节点的输出功率不变化，则节点电压相角的变化量:（3-27）（3-28）AO = xE).AP.oJ = X.APX.是阻抗矩阵X的第i个列矢量，X是直流潮流中B0矩阵的逆。支路k （两端节点号分别为m和）上有功潮流的变化M M。M t X APX - X APi = k = ki= m

15、in APk xxx iP；=；-牛xG = minik - x kGk为转移分布因子,X、X是X中的m行i列和n行i列的元素。3、准稳态发电机输出功率转移分布因子 准稳态发电机输出功率转移分布因子设nG台发电机有功出力调整量为AP*），如果调整量之和不为零则产生功率 不平衡，不平衡量为Sap（0）=1t ap（o） Gi G G iG如果大于零则为功率超额，否则为功率缺额。实际电网中功率不平衡由所 有发电机按一定比例承担，nG台发电机的承担系数矢量为ag，并且a = 1ta = 1 a 0（3-29）ieG各发电机的实际调整量AP = AP（0） a Z AP（0）= AP（0）-a 1AP

16、（0）= （I a 1 ）AP（0）= F AP（0） G G GG：G G G G G G G G u GEG即AP = F AP（o）F = I g a g 1gFu为nG x气的方阵，是准稳态响应的变换矩阵。将（3-28）推广到考虑多台发电机的情况，为（3-30）AP =Z Gk-Ap.i=1厂X XG = mini- kixIk写成矩阵的形式k G kG APGI 1G =M t Xe kG x k G kMk :支路k的关联矢量，x :包含所有节点在内的阻抗矩阵，egg单位矩阵，每列都是一单位矢量，只在相应的发电机节点处有非零元1。GkG为 一行矢量。（3-31）为N x n阶下。G

17、kGX Xminixk将（3-30）代入（3-31）得AP = G r AP（0）V kkGG1G LkG Fu（3-32）为了使支路k的有功潮流变化APk，各发电机有功的调整量可由伪逆计算如（3-33）AP（0）= （G r ） t G r （G r ） t -1APGk GkG kGk由APk反求ap co）时，（3-32）式是一个不定方程，可由伪逆法得到一个解。定乂 A是mx阶矩阵At(AAt)-i是A伪逆矩阵。(2)功率传输转移分布因子节点之间传输功率变化时引起的支路潮流的变化量。电力市场节点间购销合同的变化。当节点(，J)之间的传输功率变化了 AP时，节点Z， UJ注入功率的变化量分

18、别为+ AP，-AP o由于没有产生功 率不平衡，可用常规法计算。任一支路k(m,n)上功率的变 化量：APv AP/ + AP；kk kx X 5 x -Xmint- AP 些吐 APXj XijkkX -X -X +xmi mj ni nj -APxjk网络jAPy =G APk k-ij ij X -X -X +x niimjnijXlk当以上J, j )节点对多于一个时，定义a是上调节点集，&是下调节点集。(3-34)当上调量为AP+,下调量为AP-,且上调总量与下调总量相等，支路上潮 aP流的变化量APaPoAP弗=X(E(MrX AP)-S(MrX AP )k xk k j jk

19、zgocjea=MrX(e AP+ -e AP-)jq ka a P Pk=t-x JAPx kaAP-kL pX =MXe = X - X . X - Xi = 1,2,3,. eock-dkamlnlmlniX =MrXe =X X . X X . j = 1,2,3,. e pI A;-PkPmlnlmjnj(3-35)(3-36)第四节 中枢点电压及联络线功率控制的潮流计算1、中枢点电压控制的潮流计算系统中枢点电压设定值为V.S实际运行值为V,，其差值为V = Vsp - V（3-37）为了将中枢点电压限制在四，需要改变（部分）发电机的输出电压（或无 i功功率）。按照灵敏度分析的原理，

20、参见（3-9）式写出灵敏度方程BBB 一V -0 ddDidgDBBBv_0iDiiiGiBBBVQ1- gdGiGGGG（3-38）上式中包含了电网中的所有节点，下标G为其电压与节点.的电压有强关联 的发电机（无功补偿装置）节点的集合，在潮流计算中作为PV节点；下标D 为除节点,外的所有节点的集合，在潮流计算中作为PQ节点。并且假定当调整PV节点电压时，PQ节点与.节点的无功功率不发生变化。在（3-38）中对应于节点集D的常数项为0，用高斯消去法消去D中的节点后，节点.和节点集G的常数项不发生变化，得BaBGiBiGBGGV1VG0QG（3-39）如果已知（3-38）系数矩阵的因子表，由下述

21、方法结算可节省计算量。根据因子表的形成方法知（3-39）式系数矩阵因子表可以从（3-38）式系数矩阵的因 子表中直接取出和节点.、节点集G相关的部分而得，并且有：_B _B_ 10 一d0 一I1Lt iiiG=iiGiBBLL0D0LtGiGGGiGGGGGGdd Ltiiii Gi1dL dL L + LgPggii Gi ii Gi Gi GG GG（3-40）式中L、y、Dgg、d是（3-38）系数矩阵因子表中的元素。由（3-40）得.B. = d._B g = d.L?.(3-41)将（3-41）的关系代入（3-39 ）第一方程式有4 AV = B-1B AV =L AVi ii i

22、G GGi G式中，AV是由（3-37）确定的常数，L?,是一个行矢量。AV?是待求的参与 调节的所有发电机节点电压的改变量，满足（3-42）式的AV?可以有无穷多组解。 为了得到一组定解将求解（3-42）转化为一个优化问题，如取控制量的变化量最(3-42)Gi小作为目标函数，构成如下包含等约束的优化问题:min - AV t AV2 G Gs.t.AV + Lt AV = 0i Gi G(3-43)为求解此优化问题，建立该优化问题的拉格朗日函数15L = - AVt AV g + 人(AV, + L?. AVg )L达极值的必要条件为(3-44)（3-45）(3-47)代入(3-48)代入ai，一AV = avg +人 l g. = 0Ga，亍=AV. + Lg.AVg = 0（3-45）（3-46）（3-47）(3-46)(3-47)人=L g )-1 av.（3-4