专题02 30°45°60°角的三角函数值（1个知识点5种题型1个易错点1中中考考法）（原卷版）-初中数学北师大版9年级上册

专题0230°45°60°角的三角函数值（1个知识点5种题型1个易错点1中中考考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）【方法二】实例探索法题型1.已知三角函数值求角的度数题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系题型5.特殊三角函数值的应用【方法三】差异对比法易错点：将特殊角的三角函数值记混【方法四】仿真实战法考法.特殊角的三角函数值【方法五】成果评定法【学习目标】知道30°45°60°角的三角函数值熟记特殊角的三角函数值，并会进行相关的计算。重点：30°45°60°角的三角函数值难点：利用特殊角的三角函数值进行相关的计算。【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.特殊角的三角函数值（重点、难点）（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．【例】．（2023秋•张店区期中）计算：（1）2sin30°﹣sin45°•cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【变式】．（2023秋•任城区期中）计算：2sin30°﹣cos245°+cos60°．【方法二】实例探索法题型1.已知三角函数值求角的度数1．（2023秋•沙河口区期中）已知tanA＝，∠A是锐角，则∠A的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（2023秋•广饶县期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45° B．75° C．105° D．120°3．（2023秋•乐亭县期中）在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．75° D．105°4．（2023春•拱墅区校级期中）若cosA＝，则锐角∠A＝．题型2.直接利用特殊角的三角函数值计算5．（2023秋•槐荫区期中）2cos45°的值等于（）A． B． C．1 D．26．（2023秋•苏州期中）cos60°的值等于（）A． B． C． D．7．（2023秋•昌黎县期中）计算：tan60°﹣sin245°+tan45°﹣2cos30°＝．8．（2023秋•槐荫区期中）计算：2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°．题型3.利用特殊角的三角函数值判定三角形的形状9.若△ABC中，锐角A、B满足，则△ABC是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形10．（2023春·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，都是锐角，，则是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形11．（2023秋•惠山区校级月考）在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，cosB恰为一元二次方程2x2﹣3mx+3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．题型4.特殊三角函数值与平面直角坐标系12．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．13．（2023秋·重庆巴南·九年级校考开学考试）如图，在等腰中，，，点D为中点，点P从点D出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，的面积为．根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究．

(1)直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数图像；(2)观察y的函数图像，写出一条该函数的性质；(3)观察图像，直接写出当时，x的值______．（保留1位小数，误差不超过）14．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在菱形中，，，点E从点A出发以每秒1个单位长度沿运动到点B，然后以同样速度沿运动到点C停止．设当点E的运动时间为x秒时，长为y．下面是小聪的探究过程，请补充完整．(1)根据三角函数值小聪想到连接交于点O（如图2），请同学们帮忙求的长．(2)小聪学习了函数知识后，运用函数的研究经验，对y与x的变化规律进行了下列探究，根据点E在上运动到不同位置进行画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值，并画出了函数图象（如图3）：x012345y54．824．845．065．466请同学们继续探究点E在上的运动情况，在同一坐标系中补全图象，并写出这个函数的两条性质．(3)结合图象探究发现时，x有四个不同的值．求y取何值时，x有且仅有两个不同的值．题型5.特殊三角函数值的应用15．（2023春·陕西铜川·九年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图，四边形ABCD是矩形，以点A为圆心、AD为半径画弧交BC于点E．DF⊥AE于F．若E恰好为BC的中点.⑴∠BAE＝°；⑵DF平分AE吗？证明你的结论.

16．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得，，连接EF，FG，GH，HE．（1）判断四边形EFGH的形状，并证明；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且，，求AE的长．17．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）如图，矩形的对角线交于点O，点P在上，其中．

(1)证明：．(2)若，求的值．(3)设，和的面积分别为，求证：．【方法三】差异对比法易错点：将特殊角的三角函数值记混1.求下列各式的值：(1)6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)+cot30°﹣．【方法四】仿真实战法考法.特殊角的三角函数值1．（2022•天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．2．（2022•绥化）定义一种运算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：当α＝45°，β＝30°时，sin（45°+30°）＝×+×＝，则sin15°的值为．3．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．4．（2022•牡丹江）先化简，再求值．（x﹣）÷，其中x＝cos30°．【方法五】成果评定法一、单选题1．（23·24九年级上·河北邢台·阶段练习）下列三角函数的值是的是（

）A． B． C． D．2．（2023·北京海淀·模拟预测）在锐角中，若，则等于（）A． B． C． D．3．（22·23九年级上·黑龙江大庆·开学考试）设，则下列式子成立的是（

）A． B．C． D．4．（2022·广东深圳·模拟预测）计算的值为（

）A． B． C． D．5．（22·23九年级上·安徽滁州·阶段练习）正方形网格中，如图放置，则的值为(

)

A． B． C．1 D．6．（22·23九年级上·江苏苏州·阶段练习）在中，，，则（

）A． B． C． D．7．（22·23九年级上·福建泉州·期中）三角板是我们数学学习中必不可少的工具，利用三角板可以拼出很多角，现将一副含45°角和30°角的三角板按如图所示的方式放置，则的值为（

）

A． B． C． D．无法确定8．（23·24九年级上·山东济南·期中）的值等于（

）A．1 B． C． D．29．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点为坐标原点，边在轴正半轴上，，反比例函数的图象经过点A，且交菱形对角线于点D，轴于点，则长为（

）

A．1 B．3 C． D．10．（22·23九年级上·陕西西安·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点、，连接，与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的为（

）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④二、填空题11．（22·23九年级下·山东临沂·期末）在中，，，则的值为．12．（22·23九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）锐角满足，则度．13．（23·24九年级上·重庆·阶段练习）计算：．14．（2022·湖北宜昌·模拟预测）．15．（23·24九年级上·山东淄博·阶段练习）若的余角是，则的值是．16．（2023·陕西榆林·三模）如图，在菱形中，．点分别为四边的中点，连接，则．

17．（22·23九年级上·山东东营·期末）如图，一块含有的直角三角板的直角顶点和坐标原点O重合，角的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B在反比例函数的图象上，则k的值为．

18．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，等边中，点D在上，点E在上，，连接、交于点F，，，则的长为．

三、解答题19．（23·24九年级上·福建泉州·期中）计算：20．（23·24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算：21．（2022·广东广州·模拟预测）计算：．22．（21·22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）先化简，再求代数式的值，其中．23．（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中．24．（23·24九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知，．

(1)求证：；(2)若，，求．25．（23·24九年级上·河南郑州·阶段练习）（1）【问题探究】如图1，在正方形中，对角线、相交于点．在线段上任取一点（端点除外），连接、．

①证明：：②将线段绕点逆时针旋转，使点落在的延长线上的点处．当点在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；③探究与