2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大（小）值与导数（教师用书）教案新人教A版选修2-2主备人备课成员教学内容分析本节课的主要教学内容为高中数学第1章导数及其应用中的1.3.3节，重点探讨函数的最大（小）值与导数的关系。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了导数的定义、计算规则以及导数与函数单调性的关系。在此基础上，本节课将引导学生运用导数知识研究闭区间上连续函数的最大值和最小值问题，通过实际案例分析，让学生理解并掌握利用导数求解函数最值的方法，从而加深对导数应用的理解，提高解决实际问题的能力。教学内容与教材紧密关联，旨在帮助学生建立完整的导数应用知识体系。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算能力。通过探究函数最大（小）值与导数的关系，学生将提高对导数概念及其应用的理解，发展数学抽象思维。在逻辑推理方面，学生能够运用导数性质和定理，合理解释并证明闭区间上连续函数最值的存在性。数学建模能力将在解决实际问题时得到锻炼，学生将学会构建数学模型，利用导数工具求解函数最值。同时，数学运算能力也将通过具体计算过程中得到加强，确保学生能够准确、熟练地进行导数运算，为后续学习打下坚实基础。这些目标与新教材要求相符合，旨在全面提升学生的学科核心素养。学习者分析1.学生已掌握了导数的定义、计算法则、导数与函数单调性的关系等基础知识，能够进行基本的导数运算和运用导数分析函数的单调区间。

2.在学习兴趣方面，学生对数学学科的兴趣各异，但多数学生对解决实际问题的数学应用感兴趣。就能力而言，学生的数学运算能力和逻辑思维能力参差不齐，部分学生具有较强的抽象思维和问题解决能力，而部分学生则在运算和推理上存在一定困难。在学习风格上，部分学生喜欢通过直观图形和具体案例学习，而另一些学生则偏好从理论推导入手。

3.学生可能遇到的困难和挑战包括：对于导数与函数最值关系的理解不够深入，难以将理论知识应用到具体问题中；在求解闭区间上连续函数最值时，可能会对边界点和极值点的判断和处理感到困惑；此外，对于一些复杂的函数形式，学生在进行导数运算时可能会出现错误。这些困难和挑战需要在教学过程中针对不同学生给予指导和支持。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有《高中数学》选修2-2教材，方便学生跟随课堂进度查阅相关章节。

2.辅助材料：准备与导数应用相关的函数图像、图表、实际案例视频等多媒体资源，以便直观展示函数最值与导数的关系。

3.实验器材：无特殊实验需求，只需准备计算器、草稿纸等基本学习工具。

4.教室布置：将教室划分为讲授区、讨论区，设置白板或投影设备，便于展示多媒体资源，同时为学生分组讨论提供便利。确保教室环境有利于学生专注听讲和积极参与课堂活动。教学过程首先，让我们一起来回顾一下导数的概念及其在研究函数中的应用。今天，我们将重点探讨如何利用导数来寻找函数的最大值和最小值。

1.导入新课

（1）通过一个简单的实际问题引入：假设我们有一个物体从高处自由落下，我们如何确定它落地前的最高点？

（2）让学生思考并尝试用已学的导数知识来解决这个问题。

2.知识探究

（1）首先，我们来复习一下导数的定义和性质。

（2）引导学生回顾导数与函数单调性的关系，并提问：“如果函数在某个区间内单调递增（递减），那么这个区间的端点是否可能是函数的最值点呢？”

（3）讨论闭区间上连续函数的最值存在性定理。

3.案例分析

（1）给出一个具体的函数例子，如f(x)=x^2在区间[0,1]上的最值问题。

（2）引导学生运用导数知识，分析函数在给定区间内的单调性、极值和最值。

（3）通过图像和计算，让学生直观地看到最值点的位置。

4.课堂练习

（1）给出几个练习题，让学生独立求解闭区间上连续函数的最值。

（2）鼓励学生分享解题思路，讨论遇到的困难和解决方案。

（3）针对学生的解答，进行点评和指导，强调解题过程中的注意事项。

5.知识拓展

（1）引入实际应用案例，如优化问题、最大利润等。

（2）让学生尝试用导数知识解决这些实际问题。

（3）讨论在解决实际问题时，如何建立数学模型和选择合适的求解方法。

6.小组讨论

（1）将学生分成小组，针对一个具有挑战性的最值问题进行讨论。

（2）鼓励小组成员积极发表意见，共同探讨解决方案。

（3）分享各小组的讨论成果，总结解题思路和方法。

7.总结与反思

（1）让学生回顾本节课所学内容，总结求函数最值的方法和步骤。

（2）反思在实际问题中如何运用导数知识，以及所学知识在实际生活中的意义。

（3）鼓励学生提问，解答他们在学习过程中遇到的疑惑。学生学习效果1.知识与技能：

-理解并掌握函数最大值和最小值的概念。

-能够运用导数判断函数的单调性，分析闭区间上连续函数的极值和最值。

-学会使用导数工具解决实际问题，如优化问题、最大利润等。

-提高数学运算能力，熟练进行导数运算和函数最值计算。

2.过程与方法：

-通过案例分析，学会将实际问题抽象为数学模型，运用导数知识进行求解。

-在小组讨论中，培养合作意识和团队协作能力，提高问题解决效率。

-通过总结与反思，形成对导数及其应用知识体系的整体认识。

3.情感态度与价值观：

-增强对数学学科的兴趣，特别是对导数在现实生活中的应用。

-提高学习自信心，勇于面对数学问题，克服困难。

-认识到数学知识在实际生活中的重要性和价值。

具体表现在以下方面：

1.学生能够独立完成教材中关于函数最值与导数的相关练习题，正确率较高。

2.在课堂讨论和小组活动中，学生积极参与，能够提出自己的观点和疑问。

3.学生在面对实际问题时，能够主动运用导数知识进行分析和求解，解决问题能力得到提升。

4.课后反馈显示，学生对本节课的教学内容掌握较好，对导数在研究函数最值中的应用有了更深入的认识。

5.学生在课程结束后，对数学学科的兴趣和热情有所提高，学习动力增强。课堂小结，当堂检测1.课堂小结：

本节课我们重点学习了如何利用导数来研究函数的最大值和最小值。通过实例分析和实际操作，我们掌握了以下知识点：

（1）闭区间上连续函数的最值存在性定理。

（2）如何运用导数判断函数的单调性，寻找极值和最值。

（3）将实际问题抽象为数学模型，运用导数知识解决实际问题。

2.当堂检测：

为了检验学生对本节课内容的掌握程度，特设计以下检测题：

（1）判断题：

①若函数在闭区间上连续，则一定存在最大值和最小值。

②若函数在某点的导数为0，则该点一定是函数的极值点。

（2）选择题：

下列关于函数最值的说法，正确的是：

A.函数在单调递增区间内，端点取最值

B.函数在单调递减区间内，端点取最值

C.函数在极值点处取最值

D.闭区间上连续函数的最值一定存在

（3）计算题：

求函数f(x)=x^3-3x在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值。

（4）应用题：

某企业生产的产品销售价格为p(x)=10-0.02x（万元/吨），成本为c(x)=2+0.01x（万元/吨）。求该企业如何确定生产量和销售价格，才能使利润最大？

请同学们在课堂上独立完成检测题，并相互检查答案。对于检测题中存在的问题，我们将进行解答和讨论，确保每位同学都能掌握本节课的内容。典型例题讲解例题1：求函数f(x)=x^2-4x+3在闭区间[1,3]上的最大值和最小值。

解答：首先求导数f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，得x=2。在闭区间[1,3]上，当x=1时，f(x)=0；当x=2时，f(x)=-1；当x=3时，f(x)=3。故最大值为f(3)=3，最小值为f(2)=-1。

例题2：已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求在闭区间[-1,4]上的最大值和最小值。

解答：求导数f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0，得x=1和x=3。在闭区间[-1,4]上，当x=-1时，f(x)=3；当x=1时，f(x)=5；当x=3时，f(x)=1；当x=4时，f(x)=1。故最大值为f(1)=5，最小值为f(3)=1。

例题3：求函数f(x)=(x-1)^2在闭区间[0,2]上的最大值和最小值。

解答：求导数f'(x)=2(x-1)。令f'(x)=0，得x=1。在闭区间[0,2]上，当x=0时，f(x)=1；当x=1时，f(x)=0；当x=2时，f(x)=1。故最大值为f(0)=f(2)=1，最小值为f(1)=0。

例题4：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求在闭区间[-2,3]上的最大值和最小值。

解答：求导数f'(x)=3x^2-6x-9，令f'(x)=0，得x=-1和x=3。在闭区间[-2,3]上，当x=-2时，f(x)=-1；当x=-1时，f(x)=10；当x=3时，f(x)=-22。故最大值为f(-1)=10，最小值为f(3)=-22。

例题5：某物体沿直线运动，其位移s(t)=t^3-3t^2+4t（米），求物体在时间区间[0,3]上的最大位移和最小位移。

解答：求导数s'(t)=3t^2-6t+4。令s'(t)=0，得t=1和t=2。在时间区间[0,3]上，当t=0时，s(t)=0；当t=1时，s(t)=2；当t=2时，s(t)=4；当t=3时，s(t)=4。故最大位移为s(3)=4米，最小位移为s(0)=0米。反思改进措施（一）教学特色创新

1.在本节课的教学中，我尝试将实际问题引入课堂，通过案例分析和数学建模，让学生在实际情境中感受导数在研究函数最值中的应用，提高了学生的学习兴趣和参与度。

2.我采用了小组讨论的教学方式，鼓励学生互相交流、共同探讨，培养了学生的团队合作意识和解决问题的能力。

（二）存在主要问题

1.在教学过程中，我发现部分学生对导数的运算还不够熟练，这在一定程度上影响了他们对函数最值的分析。

2.在课堂练习环节，部分学生解决问题时思路不够清晰，缺乏系统性的解题方法。

（三）改进措施

1.针对学生导数运算不熟练的问题，我将在今后的教学中加强对导数基础知识的复习，提高学生的运算能力。

2.为了帮助学生形成系统性的解题思路，我将设计更多具有针对性的例题和练习题，引导学生总结解题方法和步骤，并在课后提供辅导，以便学生能够更好地消化和吸收课堂内容。板书设计1.重点知识点

①导数的定义与性质

②函数单调性与导数的关系

③闭区间上连续函数最值存在性定理

④求函数最值的方法和步骤

2.关键词