2024-2025学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念（教师用书）教案 新人教A版选修1-1

2024-2025学年高中数学第3章导数及其应用3.13.1.1变化率问题3.1.2导数的概念（教师用书）教案新人教A版选修1-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、课程基本信息1.课程名称：高中数学——导数及其应用

2.教学年级和班级：高一年级1班

3.授课时间：2024年10月10日

4.教学时数：45分钟

二、教学目标

1.让学生理解导数的概念，掌握变化率问题的解决方法。

2.通过实际例题，让学生学会运用导数解决实际问题。

三、教学内容

1.变化率问题：让学生了解变化率的概念，学会用导数表示变化率。

2.导数的概念：让学生理解导数的定义，掌握基本导数公式。

四、教学方法

1.采用案例教学法，以实际例题引导学生理解导数的概念和应用。

2.运用互动教学法，让学生在课堂上积极参与，提高解决问题的能力。

五、教学步骤

1.导入新课：通过生活实例引入变化率问题，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解导数的概念和基本导数公式。

3.案例分析：分析实际例题，引导学生运用导数解决问题。

4.课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。

5.总结拓展：总结本节课的主要内容，拓展学生的思维。

六、课后作业

1.复习本节课的内容，巩固导数的概念和基本导数公式。

2.完成课后练习题，提高运用导数解决问题的能力。

七、课程评价

1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况。

2.课后作业：检查学生完成作业的质量，巩固所学知识。

八、教学资源

1.教材：《高中数学——导数及其应用》

2.课件：变化率问题及导数的概念相关课件

3.练习题：课后练习题及拓展题目二、核心素养目标分析1.数学抽象：通过讲解导数的概念，让学生理解数学抽象的重要性，能够从实际问题中抽象出数学模型。

2.逻辑推理：引导学生运用逻辑推理能力，理解导数公式的推导过程，学会运用导数解决实际问题。

3.数学建模：培养学生运用数学建模的能力，将实际问题转化为数学模型，从而解决问题。

4.数据分析：通过案例分析，让学生掌握数据分析的方法，提高运用导数分析数据的能力。

5.数学运算：让学生熟练掌握基本导数公式，提高数学运算的速度和准确性。

6.数学建模：培养学生运用数学建模的能力，将实际问题转化为数学模型，从而解决问题。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在初中阶段已经学习了函数的基本概念，对函数有一定的理解。同时，他们也已经学习了代数运算和几何知识，这些都为学习导数打下了一定的基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学有着不同的兴趣和能力，有的学生擅长逻辑推理，有的学生擅长数据分析。在学习风格上，有的学生喜欢通过直观的图形来理解概念，有的学生则更喜欢通过具体的例题来掌握知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习导数的概念时，学生可能会对变化率的理解感到困惑，不知道如何将实际问题转化为数学模型。此外，导数公式的推导和运用也是学生可能遇到的困难。对于一些学习风格偏向于抽象的学生，理解导数的几何意义可能也是一个挑战。四、教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、白板、计算器、教科书。

2.课程平台：学校内部教学平台，用于上传课件和作业。

3.信息化资源：网络搜索引擎、数学教育网站、数学软件。

4.教学手段：案例教学法、互动教学法、小组讨论法。五、教学过程设计1.导入环节（5分钟）

教师通过创设情境，提出问题：“为什么运动员跑步时要保持合适的速度？”引发学生的思考和兴趣。接着，引导学生从实际问题中抽象出数学模型，引出变化率的概念。

2.讲授新课（15分钟）

教师围绕教学目标和教学重点，讲解导数的概念和基本导数公式。在此过程中，强调导数表示变化率的意义，并通过几何图形和实际例题展示导数的应用。

3.师生互动环节（10分钟）

教师提出问题：“如何求解函数在某一点处的变化率？”引导学生运用逻辑推理能力，分析导数的定义和推导过程。同时，鼓励学生积极参与讨论，分享自己的理解和思路。

4.巩固练习（10分钟）

教师布置相关的练习题，让学生运用所学的导数知识解决问题。在学生解答过程中，教师巡回指导，针对学生遇到的问题进行解答和指导。

5.课堂提问（5分钟）

教师针对本节课的内容，提问学生：“请问你们谁能简要概括一下导数的概念和应用？”鼓励学生运用自己的语言表达对导数的理解，提高学生的数学表达能力。

6.总结拓展（5分钟）

教师总结本节课的主要内容，强调导数在实际问题中的应用。同时，提出拓展问题：“你们还能想到哪些实际问题可以用导数来解决？”激发学生对导数知识的进一步探索和兴趣。

7.课后作业布置（5分钟）

教师布置课后作业，要求学生复习本节课的内容，巩固导数的概念和基本导数公式。同时，鼓励学生自主探究，尝试解决一些与导数相关的实际问题。

整个教学过程设计紧密围绕教学目标和重难点，注重师生互动，激发学生的学习兴趣和求知欲。通过实际例题和练习题，让学生学会运用导数解决实际问题，提高学生的数学建模和数据分析能力。同时，教学过程注重培养学生的逻辑推理和数学抽象能力，使学生在掌握知识的同时，提升核心素养。六、知识点梳理本节课的主要知识点有：

1.变化率的概念：变化率是指函数在某一点处的瞬时变化率，即导数。

2.导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，是函数图像上某点切线的斜率。

3.基本导数公式：

-（1）常数的导数为0，如f(x)=c，则f'(x)=0

-（2）幂函数的导数，如f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)

-（3）指数函数的导数，如f(x)=a^x，则f'(x)=a^x*ln(a)

-（4）对数函数的导数，如f(x)=ln(x)，则f'(x)=1/x

-（5）三角函数的导数，如f(x)=sin(x)，则f'(x)=cos(x)

4.导数的应用：

-（1）求解函数在某一点处的变化率

-（2）求解函数的极值：通过分析导数的正负变化来确定函数的极大值和极小值。

-（3）分析函数的单调性：导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。

-（4）解决实际问题：如优化问题、速度与加速度问题等。

5.导数的几何意义：导数表示函数图像上某点切线的斜率，即函数在该点处的切线斜率。

6.导数的计算方法：

-（1）求导法则：常数倍法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

-（2）链式法则：对于复合函数，先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。

-（3）反函数的导数：若f(x)=y，则f'(x)=1/f'(y)。

7.导数的极限：导数的极限表示函数在某一点处的变化趋势，极限值为0表示函数在该点处趋向于水平。七、教学评价与反馈1.课堂表现：学生在课堂上的参与程度较高，大多数学生能够积极回答问题，参与讨论。对于导数的概念和应用，学生表现出较高的兴趣，能够主动提出问题并寻求解答。

2.小组讨论成果展示：学生在小组讨论中能够积极参与，通过合作解决问题，展示出对导数知识的理解和应用能力。讨论中能够提出不同的观点，并进行合理的辩论和解释。

3.随堂测试：通过随堂测试，了解到学生对导数概念和公式的掌握情况。大多数学生能够正确运用导数公式解决问题，但仍有部分学生在理解导数的几何意义和应用方面存在困难。

4.作业完成情况：学生对课后作业的完成质量较高，能够按照要求复习导数知识，并解决相关问题。从作业中可以看出，学生对导数的应用能力有所提高，但仍有部分学生在解决复杂问题时出现错误。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现和作业完成情况，教师给予积极的评价和反馈。对于学生的正确理解和应用导数知识，给予表扬和鼓励，增强学生的自信心。同时，针对学生在理解导数几何意义和解决实际问题中的困难，给予指导和帮助，鼓励学生通过练习和思考来克服困难，提高导数的应用能力。

总体来说，学生在本次课堂教学中表现出了对导数知识的良好掌握和应用能力，但在理解和应用导数的几何意义方面仍需加强。教师将继续关注学生的学习进展，并提供相应的支持和指导，帮助学生进一步提高导数的理解和应用能力。八、板书设计①变化率问题：

-定义：变化率是指函数在某一点处的瞬时变化率，即导数。

-意义：反映函数在某一点处的变化趋势。

②导数的定义：

-图形：函数在某一点处的切线斜率。

-数学：极限概念，表示函数在某一点处的变化率。

③基本导数公式：

-常数倍法则：f'(x)=c*f(x)

-幂函数法则：f'(x)=n*x^(n-1)

-指数函数法则：f'(x)=a^x*ln(a)

-对数函数法则：f'(x)=1/(x*ln(a))

-三角函数法则：f'(x)=cot(x)、sec^2(x)、tan(x)

④导数的应用：

-求解变化率

-求解极值

-分析单调性

-解决实际问题

⑤导数的几何意义：

-切线斜率：函数在某一点处的切线斜率

-单调性：切线斜率的正负变化

⑥导数的计算方法：

-求导法则：常数倍法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

-链式法则：复合函数的求导法则

-反函数的导数：f'(x)=1/f'(y)

板书设计要求简洁明了，重点突出，通过图形、数学公式和关键词，让学生能够一目了然地理解导数的基本概念和应用。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，通过色彩、字体大小和排版，增加板书的吸引力和互动性，激发学生的学习兴趣和主动性。重点题型整理1.变化率问题：

题目：设函数f(x)=3x^2-2x+1，求f(x)在x=1处的变化率。

解答：变化率即为导数，f'(x)=6x-2。将x=1代入得f'(1)=4。

2.导数的定义与几何意义：

题目：函数f(x)=x^3在x=1处的导数是多少？其几何意义是什么？

解答：f'(x)=3x^2。在x=1处，f'(1)=3。几何意义是函数在x=1处切线的斜率为3。

3.基本导数公式应用：

题目：求函数f(x)=4x^2-3x+2的导数。

解答：f'(x)=8x-3。

4.导数计算方法：链式法则：

题目：求复合函数f(x)=sin(2x)的导数。

解答：使用链式法则，f'(x)=cos(2x)*2。

5.导数计算方法：反函数的导数：

题目：求反函数f^(-1)(x)=3x+2的导数。

解答：使用反函数的导数公式，f'(x)=1/(3x+2)。教学反思本节课我教授了高中数学——导数及其应用的第3章第1节变化率问题和第2节导数的概念。通过本节课的教学，我对教学内容有了更深入的理解，也对学生的学习情况有了更全面的把握。

首先，我发现学生们对于变化率问题的理解存在一定的困难。虽然我在课堂上通过实际例题进行了解释，但仍有部分学生在理解变化率的概念时感到困惑。这可能是因为变化率的概念比较抽象，需要更多的实例和练习来帮助学生理解。

其次，在讲解导数的定义时，我发现学生们对于极限的概念并不是很熟悉。虽然我在讲解导数的定义时尽量避免了极限的复杂性，但仍有部分学生在理解导数的定义时感到困难。