第09讲函数的基本性质(原卷版+解析)

第09讲函数的基本性质【学习目标】1.借助函数图象，会有符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义【基础知识】一、函数的单调性及其符号表达1.函数单调性的概念函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．2.函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．二、增函数、减函数1.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasingfunction)．2.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasingfunction)．3.如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【解读】1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间D；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2.2.并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为N，但不具有单调性．3.这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq\f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．三、定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断函数的单调性的步骤为：注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：四、函数的最大值1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≤M；②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．2.几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象eq\o(□,\s\up4(03))最高点的纵坐标．五、函数的最小值1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≥M；②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象eq\o(□,\s\up4(03))最低点的纵坐标．六、偶函数、奇函数1.偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．2.奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．3.偶函数、奇函数的图象特征（1）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．【解读】1.奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．2.定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．3.对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．【考点剖析】考点一：证明或判断函数单调性例1．（2021-2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期期中）下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误；故选B考点二：求单调区间例2．函数的单调增区间为（

）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和所以的单调增区间为和，故选C考点三：利用单调性比较大小例3．（2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中）若偶函数在上是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】为偶函数，；在上是减函数，，即.故选B.考点四：求函数的最值例4．函数在上的最小值为（

）A．2

B．1 C．

D．【答案】C【解析】因为函数，所以函数在上是减函数，所以当时，.考点五：判断函数的奇偶性例5．（多选）（2021-2022学年广东省化州市第三中学高一上学期期中）设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】AB【解析】是奇函数，是偶函数，，，，故是奇函数，A正确；，故为偶函数，B正确；，故是奇函数，C错误；，故为偶函数，D错误.故选AB．考点六：抽象函数的单调性与奇偶性例6．（2021-2022学年新疆沙湾县高一上学期期中）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；(2)证明函数f(x)在R上的单调性；(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数的定义域为R，令，所以，即，令，所以，即，所以函数为奇函数．(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．考点七：单调性与奇偶性的综合应用例7．（2021-2022学年浙江省杭州市高一下学期期末）设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记所以是偶函数，对于任意正数，都，即，所以在单调递增，且，是偶函数,故在单调递减，且当时，，当时，，故的解集为.故选B【真题演练】1.（2021-2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．2.（2021-2022学年广东省普宁市华侨中学高一下学期期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．3.（2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中）已知在为单调函数，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．4.(2021年高考全国乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．5.（多选）（2021-2022学年贵州省黔东南州高一上学期期末）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(

)A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数6.（多选）（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一段考）函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（

）A．B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．，使7.（2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.8.（2021-2022学年云南省昆明市高一月考）已知，函数．(1)指出在上的单调性（不需说明理由）；(2)若在上的值域是，求的值．【过关检测】1.（2021-2022学年广东省揭阳华侨高级中学高一下学期考试）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．2.（2021-2022学年甘肃省张掖市第二中学高一下学期3月月考）已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3.（2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试）函数的图象为（

）A． B．C． D．4.（2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一下学期期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．5.（2021-2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中）下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（

）A． B． C． D．6.（2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（

）A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜37.（2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第一二二中学校高一上学期期中）已知函数，则的单调递增区间为______.8.（2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，，则不等式x·f(x)＞0的解集为_______________.9.（2021-2022学年内蒙古自治区赤峰市红山区高一上学期期末）已知是定义在上的偶函数，且时，．(1)求函数的表达式；(2)判断并证明函数在区间上的单调性．10.（2021-2022学年河北省秦皇岛市高一上学期期末）已知函数.(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明；(2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域.第09讲函数的基本性质【学习目标】1.借助函数图象，会有符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义【基础知识】一、函数的单调性及其符号表达1.函数单调性的概念函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．2.函数单调性的符号表达一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．二、增函数、减函数1.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasingfunction)．2.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasingfunction)．3.如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．【解读】1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间D；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1<x2.2.并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为N，但不具有单调性．3.这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq\f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．三、定义法证明单调性的步骤判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．利用定义法判断函数的单调性的步骤为：注意：对单调递增的判断，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，也可以用一个不等式来替代：四、函数的最大值1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≤M；②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．2.几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象eq\o(□,\s\up4(03))最高点的纵坐标．五、函数的最小值1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①∀x∈I，都有f(x)≥M；②∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象eq\o(□,\s\up4(03))最低点的纵坐标．六、偶函数、奇函数1.偶函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．2.奇函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．3.偶函数、奇函数的图象特征（1）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．【解读】1.奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．2.定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．3.对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．【考点剖析】考点一：证明或判断函数单调性例1．（2021-2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期期中）下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A：定义域为，且，所以为偶函数，故A错误；对于B：定义域为，且，所以为奇函数，故B正确；对于C：定义域为，且，所以为偶函数，故C错误；对于D：定义域为，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，故D错误；故选B考点二：求单调区间例2．函数的单调增区间为（

）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和所以的单调增区间为和，故选C考点三：利用单调性比较大小例3．（2020-2021学年江苏省镇江市高一上学期期中）若偶函数在上是减函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】为偶函数，；在上是减函数，，即.故选B.考点四：求函数的最值例4．函数在上的最小值为（

）A．2

B．1 C．

D．【答案】C【解析】因为函数，所以函数在上是减函数，所以当时，.考点五：判断函数的奇偶性例5．（多选）（2021-2022学年广东省化州市第三中学高一上学期期中）设函数、的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数【答案】AB【解析】是奇函数，是偶函数，，，，故是奇函数，A正确；，故为偶函数，B正确；，故是奇函数，C错误；，故为偶函数，D错误.故选AB．考点六：抽象函数的单调性与奇偶性例6．（2021-2022学年新疆沙湾县高一上学期期中）已知函数f(x)对∀x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＜0时，f(x)＞0，且f(1)＝－2.(1)证明函数f(x)在R上的奇偶性；(2)证明函数f(x)在R上的单调性；(3)当x∈[1，2]时，不等式f(x2－mx)＋f(x)＜4恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为函数的定义域为R，令，所以，即，令，所以，即，所以函数为奇函数．(2)不妨设，所以，而，所以，，即，故函数为R上的减函数．(3)由（1）可知，函数为奇函数，而，所以，故原不等式可等价于，而函数为R上的减函数，所以，又，所以，而，当且仅当时取等号，所以，即实数m的取值范围为．考点七：单调性与奇偶性的综合应用例7．（2021-2022学年浙江省杭州市高一下学期期末）设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记所以是偶函数，对于任意正数，都，即，所以在单调递增，且，是偶函数,故在单调递减，且当时，，当时，，故的解集为.故选B【真题演练】1.（2021-2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考）下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A项，B项均为定义域上的奇函数，排除；D项为定义域上的偶函数，在单调递增，排除；C项为定义域上的偶函数，且在上单调递减.故选C.2.（2021-2022学年广东省普宁市华侨中学高一下学期期中）设为奇函数，且当时，，则当时，（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则，所以，又为奇函数，所以，所以当时，.故选B.3.（2020-2021学年四川省巴中市恩阳区高一上学期期中）已知在为单调函数，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，故选D4.(2021年高考全国乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B5.（多选）（2021-2022学年贵州省黔东南州高一上学期期末）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是(

)A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数【答案】AB【解析】当时，是增函数，则此时(1)，当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确；，故B正确；当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误；当时，是增函数，故D错误，故选AB．6.（多选）（2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一段考）函数是定义在R上的奇函数，下列说法中正确的是（

）A．B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．，使【答案】AB【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，则，使D不正确；令，则，即A正确；若在上有最小值－1，即对，，使得当时，，即在上有最大值1B正确；根据奇函数在对称区间单调性相同可知C不正确；故选AB．7.（2021-2022学年新疆沙湾县第一中学高一上学期期中）已知函数f(x)＝，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】不妨设，所以由可得：，所以函数在上递减，故，解得：．8.（2021-2022学年云南省昆明市高一月考）已知，函数．(1)指出在上的单调性（不需说明理由）；(2)若在上的值域是，求的值．【解析】(1)因为，所以在上是增函数．(2)易知，由（1）可知在上为增函数．，解得，由得，解得．【过关检测】1.（2021-2022学年广东省揭阳华侨高级中学高一下学期考试）定义在上的偶函数满足：对任意的有则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为对任意的有所以函数在区间上单调递减，所以，又因为函数是偶函数，所以.故选A2.（2021-2022学年甘肃省张掖市第二中学高一下学期3月月考）已知奇函数是定义在区间上的增函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意奇函数是定义在区间上的增函数，，.故选B3.（2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试）函数的图象为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为的定义域为，且所以为偶函数，可排除AB；又当时，，故C错误.故选D4.（2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一下学期期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以，因为，所以；故选B5.（202