新高考数学一轮复习讲义命题方向全归类专题09指数与指数函数(原卷版+解析)

专题09指数与指数函数 【命题方向目录】命题方向一：指数幂的运算命题方向二：指数方程、指数不等式命题方向三：指数函数的概念、图像及性质命题方向四：比较指数式的大小命题方向五：指数函数中的恒成立问题命题方向六：指数函数性质的综合问题【2024年高考预测】2024年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．【知识点总结】1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1、指数函数图象的关键点，，2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．3、指数式大小比较方法①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．④比较法：有作差比较与作商比较两种【典例例题】命题方向一：指数幂的运算例1．（2023·全国·高三专题练习）_________.例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求__________例3．（2023·全国·高三专题练习）________.变式1．（2023·全国·高三专题练习）__________．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【通性通解总结】（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．命题方向二：指数方程、指数不等式例4．（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知和是方程的两根，则_________.例5．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）若、为方程的两个实数解，则______．例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．变式5．（2022·全国·高三专题练习）方程的解集为________变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．变式7．（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．变式8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．变式9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.变式10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：______．【通性通解总结】利用指数的运算性质解题．对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解．形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解．命题方向三：指数函数的概念、图像及性质例7．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．0例8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．7例9．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．变式11．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（

）A． B．2 C． D．4a的值为变式12．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（

）A．① B．② C．③ D．④变式13．（2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（

）A． B．C． D．变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式16．（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)变式17．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数（且）的图象恒过定点，且点在线段上，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．9【通性通解总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响．命题方向四：比较指数式的大小例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．例11．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（

）A． B．C． D．例12．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．变式18．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．变式19．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）．A． B．C． D．【通性通解总结】指数式大小比较方法①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．④比较法：有作差比较与作商比较两种命题方向五：指数函数中的恒成立问题例13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.例14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.例15．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知(1)求的解析式，并求函数的零点；(2)若，求；(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数(1)确定的值(2)若，判断并证明的单调性；(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求关于的不等式的解集；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【通性通解总结】已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．命题方向六：指数函数性质的综合问题例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是___________．例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．变式25．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.变式27．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.变式28．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．变式30．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___．变式31．（2023·全国·高三专题练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．变式32．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________.【通性通解总结】（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【过关测试】一、单选题1．（2023·河北·校联考一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（

）（参考数据：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克3．（2023·北京·高三专题练习）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·广西·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，m，n满足，，，则（

）A．2 B． C．3 D．7．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．设则 B．若，则C．若，则 D．8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．10．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．111．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数，则（

）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线12．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，方程有两个解三、填空题13．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）点、都在同一个指数函数的图像上，则t=________．14．（2023·全国·高三专题练习）需求价格弹性系数（其中为的导数）表示在一定时期内当一种商品的价格P变化1%时所引起的该商品需求量Q变化的百分比．已知某种商品的需求量Q关于价格P的函数关系式为（b为常数），若该商品当前价格为4元，为－0.5，则需求量Q＝______.15．（2023·全国·高三专题练习）有下列三个不等式：①；②；③，则正确不等式的序号为______16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(其中是常数)．若当时，恒有成立，则实数的取值范围为_______．四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）求18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．19．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的偶函数和奇函数满足（其中），且.(1)求函数和的解析式；(2)若的最小值为，求实数的值.20．（2023·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知函数（，为常数，且）的图象经过点，.(1)求函数的解析式；(2)若关于不等式对都成立，求实数的取值范围.21．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数，与的图象关于直线对称的图象过点.(1)求的值；(2)求不等式的解集.22．（2023·全国·高三专题练习）函数且，函数.(1)求的解析式；(2)若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围.专题09指数与指数函数【命题方向目录】命题方向一：指数幂的运算命题方向二：指数方程、指数不等式命题方向三：指数函数的概念、图像及性质命题方向四：比较指数式的大小命题方向五：指数函数中的恒成立问题命题方向六：指数函数性质的综合问题【2024年高考预测】2024年高考仍将重点考查指数与指数函数，考查利用指数运算及利用指数函数的图像与性质比较大小、处理单调性、解不等式等问题，难度为中档题．【知识点总结】1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘．（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【方法技巧与总结】1、指数函数图象的关键点，，2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大．3、指数式大小比较方法①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．④比较法：有作差比较与作商比较两种【典例例题】命题方向一：指数幂的运算例1．（2023·全国·高三专题练习）_________.【答案】/【解析】,故答案为：例2．（2023·全国·高三专题练习）已知，求__________【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，故答案为：．例3．（2023·全国·高三专题练习）________.【答案】19【解析】.故答案为：19变式1．（2023·全国·高三专题练习）__________．【答案】100【解析】原式．变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则=__________【答案】【解析】，.故答案为：变式3．（2023·全国·高三专题练习）若，则______【答案】【解析】在等式两边平方可得，因此，.故答案为：.变式4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由，所以A正确；由，所以B正确；由，因为，，所以，所以C错误；由，所以D正确．故选：ABD．【通性通解总结】（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．命题方向二：指数方程、指数不等式例4．（2022秋·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知和是方程的两根，则_________.【答案】【解析】方程可化为，由韦达定理得，，所以，得.又，所以.故答案为：例5．（2022秋·上海虹口·高三华东师范大学第一附属中学校考阶段练习）若、为方程的两个实数解，则______．【答案】【解析】因为，且，所以，，即，，由题意可知，、为方程的两根，由韦达定理可得.故答案为：.例6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数为奇函数，则方程的解是________．【答案】【解析】因为函数为奇函数，故，解得，故即，故，解得故答案为：变式5．（2022·全国·高三专题练习）方程的解集为________【答案】/【解析】由题意知，，即，所以，有，即，解得或，当时，有，得或(舍去)，解得；当时，有，即，得或(舍去)解得，所以方程的解集为：故答案为：变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是___________．【答案】【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图像如图：两函数图像的交点坐标为，由图可知：当或时，成立，所以不等式的解集为：．故答案为：．变式7．（2023·上海青浦·统考一模）不等式的解集为______．【答案】【解析】函数在R上单调递增，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：变式8．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为_________．【答案】【解析】由，可得，故解集为.故答案为：.变式9．（2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为___________.【答案】【解析】由，可得.令，因为均为上单调递减函数则在上单调逆减，且，，故不等式的解集为.故答案为：.变式10．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：______．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴，∴令得：，即：.故答案为：（答案不唯一）.【通性通解总结】利用指数的运算性质解题．对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解．形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解．命题方向三：指数函数的概念、图像及性质例7．（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数是定义在R上的偶函数，且，若，，则（

）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】因为，且是定义在R上的偶函数，所以，令，则，所以，即，所以函数的周期为2，所以.故选：B.例8．（2023·全国·高三专题练习）设，且，则=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由题意，函数，因为，可得，解得，即，所以.故选：B.例9．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B．C． D．【答案】C【解析】由题意可得，解得.故选：C.变式11．（2023·河北·高三学业考试）已知函数（，且）的图象经过点，则（

）A． B．2 C． D．4a的值为【答案】B【解析】因为函数（，且）的图象经过点，所以，解得：.故选：B.变式12．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】由指数函数的性质可知：①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象；所以只有②不是指数函数的图象.故选：B.变式13．（2023·全国·高三专题练习）函数恰有一个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题设，与只有一个交点，又的图象如下：

∴.故选：C.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数满足，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作出函数的图象，如图，当时，，由图可知，，即得，则，由，即，得，求得，∴，故选：D变式16．（2023秋·黑龙江七台河·高三校考期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)【答案】A【解析】当时，，所以.故选：A.变式17．（2023·全国·高三专题练习）若指数函数（且）的图象恒过定点，且点在线段上，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．9【答案】D【解析】由题意得：，代入直线得，，当且仅当时取等号故选：D．【通性通解总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响．命题方向四：比较指数式的大小例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，，，则，，又，，则，即，所以．故选：D．例11．（2023·陕西商洛·统考三模）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知，，，，，故．故选：D.例12．（2023·海南·校联考模拟预测）已知，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，得.若，则，即，得，与矛盾.故，由，得，得.综上，.故选：B.变式18．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）已知，，，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据指数函数为单调递增函数可得，，即；再由指数函数为单调递减函数可知，，结合指数函数值域可得；根据对数函数在上为单调递增可知，，即；所以.故选：A变式19．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，，又函数在上单调递增，，所以所以，故选：C【通性通解总结】指数式大小比较方法①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较．③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较．④比较法：有作差比较与作商比较两种命题方向五：指数函数中的恒成立问题例13．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】原不等式或，因为,所以（1）或（2）.当时，（2）成立，此时.当，时，（1）成立，因为在（1）中，，令，则为单调递增函数，所以要使（1）对，成立，只需时成立.又时，.所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是：.故答案为：例14．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为________.【答案】【解析】不等式等价于，令，，当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图1所示，由图知不满足条件；当时，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，如图2所示，则，即，，故的取值范围是，故答案为：.例15．（2023·全国·高三专题练习）已知对一切上恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】可化为，令，由，得，则，在上递减，当时取得最大值为，所以．故答案为．变式20．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为__________.【答案】【解析】因为函数是幂函数，则，，在上单调递减，则，可得，，在上的值域为，在上的值域为，根据题意有，的范围为.故答案为：.变式21．（2023·全国·高三专题练习）已知(1)求的解析式，并求函数的零点；(2)若，求；(3)若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.【解析】（1）令，则，因此，即.由得，解得，即函数的零点为.（2）由（1）知，因此由得，所以.（3）由条件知.因为对于恒成立，且，当且仅当时取等号，所以对于恒成立.而，当且仅当即时，等号成立，所以，因此实数的最大值为4.变式22．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数(1)确定的值(2)若，判断并证明的单调性；(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.【解析】（1）因是定义域为的奇函数，则，而，解得，所以的值是2.（2）由（1）得，是定义域为的奇函数，而，则，即，又，解得，则函数在上单调递增，，，，因，则，，于是得，即，所以函数在定义域上单调递增.（3）当时，，，，而函数在上单调递增，，于是得，令，函数在上单调递减，当，即时，，因此，，解得，所以的范围是.变式23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求关于的不等式的解集；(2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，即，即，令，则，解得，故，所以关于的不等式的解集为；(2)对，不等式恒成立，即恒成立，令，则恒成立，需满足，即，而函数是单调递增函数，且时，，故由可知：，即求实数的取值范围为.【通性通解总结】已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．命题方向六：指数函数性质的综合问题例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.【答案】【解析】因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为.故答案为：.例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是___________．【答案】【解析】当时，．当时，当，，又，，使得，所以，所以，解得；当时，当，，又，，使得，所以，所以，解得．综上，实数m的取值范围是．故答案为：.例18．（2023·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以解得所以的取值范围为．故答案为：变式24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若实数、满足，则的最大值为______．【答案】/【解析】函数的定义域为，且，所以，函数为奇函数，因为函数、、均为上的增函数，故函数在上为增函数，由可得，所以，，即，当取最大值时，则，所以，，当且仅当时，即当，等号成立，因此，的最大值为.故答案为：.变式25．（2023春·河南周口·高三校考阶段练习）函数的单调递增区间为______.【答案】【解析】令，则在上单调递减，在上单调递增，又在定义域上单调递减，所以的单调递增区间.故答案为：变式26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.【答案】【解析】由且，所以为偶函数，若时，，而，所以，故在上递增，则上递减，要使成立，即，可得.故答案为：变式27．（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.【答案】增区间为，减区间为【解析】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.故答案为：增区间为，减区间为变式28．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则__________．【答案】2【解析】因为函数在区间上递增，所以，则，解得或（舍去）.故答案为：.变式29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由题意得：有解令有解，即有解，显然无意义,当且仅当，即时取等，故答案为：.变式30．（2023·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___．【答案】4【解析】由，可得，则，又，则，则的最小值为4故答案为：4变式31．（2023·全国·高三专题练习）设方程的解为，，方程的解为，，则______．【答案】10【解析】由方程得，由方程得，在同一坐标系下做出函数、，的图象，不妨设，如下图，因为函数与的图象关于对称，即点与点、点与点都关于对称，由解得，即两直线的交点为，则，则.故答案为：.变式32．（2022·全国·高三专题练习）已知是方程的一个根，方程的一个根，则___________.【答案】【解析】将已知的两个方程变形得，.令：，，，画出它们的图像，如图，记函数与的交点为，与的图像的交点为，由于与互为反函数，且直线与直线垂直，所以与两点关于直线对称，由，解得，，则.故答案为：.【通性通解总结】（1）利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．（2）求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．【过关测试】一、单选题1．（2023·河北·校联考一模）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于所以，，所以.故选：D.2．（2023·江西·校联考二模）草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式.若花同样的钱买到的级草莓比级草莓多倍，且级草莓的市场销售单价为元千克，则级草莓的市场销售单价最接近（

）（参考数据：，）A．元千克 B．元千克 C．元千克 D．元千克【答案】C【解析】由题可知，由则.故选：C.3．（2023·北京·高三专题练习）设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，当时函数单调递增，又在上单调递增，在上单调递减，要使函数为增函数，则且，又函数与在上有两个交点和，且的增长趋势比快得多，与的函数图象如下所示：所以当时，当时，当时，所以，即实数的取值范围是.故选：B4．（2023·广西·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，，，，故.故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在上单调递增，所以在上单调递减．因为，所以由，得，即，所以，即对于任意的恒成立，而，则，即实数的取值范围是．故选：A．6．（2023·全国·模拟预测）已知实数a，m，n满足，，，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解析】由题意得，，由得，从而得，即因为，所以，即.由指数函数值域可得，，所以.即.故选：A7．（2023·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（

）A．设则 B．若，则C．若，则 D．【答案】B【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；对于B，，故，选项B正确；对于C，，，因为，所以，选项C错误；对于D，，选项D错误.故选：B．8．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知实数m，n，t满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】令，，在上单调递减，时，，∴，即，∴，∴，即，∴，排除AB.时，，，，，显然，，所以，选C，时可得相同结论，时取“”.故选：C.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，满足，不满足，即推不出，不必要；A错误；对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，平方得，又，又，故，即能推出，必要；B正确；对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，由，，即能推出，必要；C正确；对于D，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；当时，满足，不满足，即推不出，不必要；D错误.故选：BC.10．（2023·全国·高三专题练习）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【解析】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.11．（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数，则（

）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线【答案】AB【解析】根据题意可得，易知是减函数，所以是增函数，即A正确；由题意可得，所以，即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；由指数函数值域可得，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因为，即，所以，即，因此；即关于的一元二次方程无实数根；所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；故选：AB12．（2023