人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题21.3根的判别式【十大题型】(学生版+解析)

专题21.3根的判别式【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 1【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】 2【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】 2【题型4证明一元二次方程的根的情况】 3【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】 3【题型6根的判别式与三角形的综合运用】 3【题型7根的判别式与四边形的综合运用】 4【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 4【题型9一元二次方程中的新定义问题】 5【题型10一元二次方程中的多结论问题】 6知识点1：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac①当∆=b2②当∆=b2③当∆=b2【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其中一组b，①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A．x2−2x=0 B．x2+4x−4=0 C．【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程x2+(k−2)x−k=0的根的情况，下列说法正确的是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；(2)当c+1=1【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（A．无实数根 B．有一个实根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法A．若x=−B．若c=0，则方程axC．若ac<0，则方程axD．若a+c=0，则方程ax【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则mA．m<0且m≠−1 B．m≥0C．m≤0且m≠−1 D．m<0【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（A．2 B．3 C．4 D．8【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程k−1x2−x+14A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k>2 D．k<2且k≠1【题型4证明一元二次方程的根的情况】【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程x−1x−2−m【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)当m=2时，解这个方程；(2)试判断方程根的情况，并说明理由．【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=A．3 B．4 C．5 D．6【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+y2+【题型6根的判别式与三角形的综合运用】【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．【题型7根的判别式与四边形的综合运用】【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2(1)若AC的长为1，求m的值；(2)当m为何值时，▱ABCD是矩形．【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程x2（1）求m的值；（2）求正方形的面积．【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为．【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，并且使得关于y的分式方程3−ayA．2 B．3 C．4 D．5【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组x−a>012x−3<1有且仅有4个整数解，则关于x的方程aA．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法判断【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于x、y的方程组x−2y=3m−n,xy=n2−2m2+3n+4【题型9一元二次方程中的新定义问题】【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n−1》 D．《m,m,m+【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程6△x=k有两个相等实数根，则k【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于A．k≤−94 B．k≤−C．k≥−94 D．k≥−【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0称为“全整根方程”，代数式4ac−b24a的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac−b2(1)“全整根方程”x2(2)关于x的一元二次方程x2−2m−1x+m(3)若关于x的一元二次方程x2+1−mx+m−2=0是x2+n−1【题型10一元二次方程中的多结论问题】【例10】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1A．①② B．②③ C．①③ D．③④【变式10-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0①若4a−2b+c=0，则关于x的方程ax2+bx+c=0②当（a+c）2≤b③若b2④若ax2+bx+c=0（a≠0【变式10-2】（23-24九年级·河北石家庄·阶段练习）已知关于x的一元二次方程ax①若ac＞0，则方程a②若a+b+③若c是方程ax2+④若x0是一元二次方程ax2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式10-3】（23-24九年级·浙江舟山·期中）对于一元二次方程ax①若方程ax2+c=0②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)④若x0是一元二次方程ax其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个专题21.3根的判别式【十大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 1【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】 3【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】 5【题型4证明一元二次方程的根的情况】 7【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】 9【题型6根的判别式与三角形的综合运用】 12【题型7根的判别式与四边形的综合运用】 15【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 18【题型9一元二次方程中的新定义问题】 20【题型10一元二次方程中的多结论问题】 24知识点1：一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：∆=b2①当∆=b2②当∆=b2③当∆=b2【题型1判断不含参数的一元二次方程的根的情况】【例1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）关于一元二次方程x2+3x−2=0根的情况，下列说法正确的是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ>0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3）【详解】解：由△Δ=∴一元二次方程x2故选：A【变式1-1】（23-24九年级·广东广州·期末）方程x2−4=0的根的情况是（A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵Δ=∴方程有两个不相等的实数根，故选：C【变式1-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）设一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三组条件中选择其中一组b，①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=−2．【答案】选②，方程的解为x1=−2，x2=−3【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及解一元二次方程，解题的关键是掌握当方程有两个不相等的实数根时，判别式Δ>0【详解】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，∴b2∴②③均可，当选②解方程时：x2x+2x+3x+2=0或x+3=0，∴x1=−2当选③解方程时：x2x2x+22x+2=±6∴x1=【变式1-3】（23-24九年级·河南安阳·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A．x2−2x=0 B．x2+4x−4=0 C．【答案】D【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与实数根之间的关系，注意根的判别式的各量是一般式的各项系数，根的判别式Δ与实数根的情况之间的关系如下：Δ>0，一元二次方程有两个不相等的实数根；Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；【详解】解：A选项Δ=B选项Δ=16+16=32>0C选项方程的一般式为：x2−4x+1=0，则D选项方程Δ=0−4×3×2=−24<0故选：D．【题型2判断含参数的一元二次方程的根的情况】【例2】（23-24九年级·贵州毕节·期末）关于x的方程x2+(k−2)x−k=0的根的情况，下列说法正确的是（A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法．先计算出方程的判别式，根据判别式的符号即可判断方程根的情况．【详解】解：关于x的方程x2∵a=1，b=k−2，c=−k，∴b2所以关于x的一元二次方程x2故选：A．【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·期末）已知一元二次方程x2(1)当b=2时，若方程的一个根为−3，求c的值以及方程的另一个根；(2)当c+1=1【答案】(1)c=−3，方程另外一个根为x=1(2)原方程有两个不相等的实数根【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点，（1）将b=2和方程的一个根为−3代入方程求出c值，再解方程即可；（2）根据c+1=14b熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键．【详解】（1）∵b=2时，若方程的一个根为−3，∴−32+2×∴得到方程为x2+2x−3=0，解得x1∴c=−3，方程另外一个根为x=1；（2）∵c+1=1∴c=∴Δ∴原方程有两个不相等的实数根．【变式2-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（A．无实数根 B．有一个实根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题考查了根的判别式：先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵x2∴a=1,b=4,c=−7，Δ=故选：D．【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·期末）对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列说法A．若x=−B．若c=0，则方程axC．若ac<0，则方程axD．若a+c=0，则方程ax【答案】B【分析】此题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；Δ=0⇔方程有两个相等的实数根，根据解一元二次方程的方法，判别式的意义，一元二次方程的解的定义逐项判断即可．【详解】解：A、将x=−1代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)∴本选项说法正确，不符合题意；B、若c=0，则方程为ax∴Δ=∴程axC、∵ac＜0，∴Δ=∴方程axD、∵方程ax2+bx+c=0∵Δ=∴方程ax故选：B．【题型3由一元二次方程的根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（23-24·四川广安·中考真题）若关于x的一元二次方程(m+1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则mA．m<0且m≠−1 B．m≥0C．m≤0且m≠−1 D．m<0【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ=b2【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m+1)x∴Δ=解得：m<0，∵m+1≠0，∴m≠−1，∴m的取值范围是：m<0且m≠−1．故选：A．【变式3-1】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）若方程x2−4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】本题主要考查解一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．本题有两个相等的实数根，即Δ=【详解】解：∵该方程有两个相等实根，∴Δ=解得c=4；故答案为：C．【变式3-2】（23-24九年级·安徽亳州·期末）关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判别式的值为24，则【答案】−1【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x∴Δ=解得：m=−1．故答案为：−1．【变式3-3】（23-24九年级·四川眉山·期末）关于x的方程k−1x2−x+14A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k>2 D．k<2且k≠1【答案】D【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式Δ>0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程k−1x∴k−1≠0△=解得：k<2且k≠1．故选：D．【题型4证明一元二次方程的根的情况】【例4】（23-24九年级·四川泸州·期末）已知：关于x的一元二次方程x−1x−2−m【答案】见解析【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0【详解】证明：由x−1x−2−m则 Δ=∵无论m取何值，都有m2∴4m2+1≥1>0∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．【变式4-1】（23-24九年级·北京顺义·期末）关于x的一元二次方程x2(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一个根小于−2，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)m>3【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟练掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解题的关键．（1）根据Δ=（2）由x2+mx+m−1=0，可得x+m−1x+1=0，解得，x=1−m或x=−1，由方程的一个根小于【详解】（1）证明：∵x2∴Δ=∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x2∴x+m−1x+1解得，x=1−m或x=−1，∵方程的一个根小于−2，∴1−m<−2，解得，m>3．【变式4-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)当m=2时，解这个方程；(2)试判断方程根的情况，并说明理由．【答案】(1)x(2)有两个实数根，理由见解析【分析】本题考查解一元二次方程，由一元二次方程的判别式判断其根的情况．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2−4ac（1）当m=2时，原方程为x2−6x+9=0，即（2）根据方程可求出Δ=【详解】（1）解：当m=2时，原方程为x2−3×2x+2×2∴x−32∴x1（2）解：由题意可知a=1，b=−3m，c=2m∴Δ=∴原方程有两个实数根．【变式4-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m>0，且该方程的两个实数根的积为12，求m的值．【答案】(1)见解析(2)m=2【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）利用因式分解法可得x1=m,x2=3m【详解】（1）证明：∵a=1,b=−4m,c=3m∴Δ∵无论m取何值时，4m2≥0∴原方程总有两个实数根；（2）解：∵x2−4mx+3∴x∵该方程的两个实数根的积为12∴3m∴m=±2，∵m>0，∴m=2．【题型5由根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（23-24九年级·安徽·期末）若实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0，则a【答案】−8≤a<0【分析】由实数a，b满足a−2ab+2ab2+4=0得到关于b的一元二次方程2ab2−2ab+a+4=0，由根的判别式【详解】解：∵实数a，b满足a−2ab+2ab∴关于b的一元二次方程2abΔ=−2a2即aa+8≤0且∴a>0a+8≤0或a<0解得−8≤a<0，即a的取值范围是−8≤a<0．故答案为：−8≤a<0【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式Δ=−4a2【变式5-1】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由原式得，P=2m2−3．将m2−mn+n2【详解】解：将两个等式相加得：P+3=2m2，则要求P的最大值，只需求出m2将m2−mn+n2=3根据方程有实数解，所以Δ=可得m2≤4，即所以当m2=4时，故选：C【点睛】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．【变式5-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1【答案】y≤4【分析】由一元二次方程根的判别式先求解m≤3，根据一元二次方程的解的定义得出t2【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴△=b解得：m≤3，设此方程的一个实数根为t，∴∴y==−3m+4m+1=m+1∵m≤3∴m+1≤4即y≤4故答案为：y≤4．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．【变式5-3】（23-24九年级·江西景德镇·期末）设实数x,y,z满足x2+y2+【答案】6【分析】先将已知等式配成一个完全平方的形式，再令x−y=ay−z=b【详解】x两边同乘以2得：2(整理得：(x−y)令x−y=ay−z=b，则代入①得：a化简得：a由题意可知，关于a的一元二次方程a2则方程的根的判别式Δ=解得：b≤6，即所以y−z的最大值为6故答案为：6.【点睛】本题是一道难题，考查了求代数式的极值的知识，在已知条件转换变形后，将其看成一个一元二次方程的实数根的情况来分析是解题关键.【题型6根的判别式与三角形的综合运用】【例6】（23-24九年级·四川眉山·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值时，这个方程总有实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为3，当△ABC是等腰三角形时，求m的值．【答案】(1)见解析(2)m的值为1【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的两根，x1=m，【详解】（1）解：Δ=9==m+2∴无论m取何值时，这个方程总有实数根．（2）解：xx−mx−2m−2∴x1=m，当m=3时，三边为3，3，8（舍），当2m+2=3时，m=12，三边为∴m的值为12【变式6-1】（23-24九年级·山西晋城·期末）关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，若a，A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由关于x的方程x2−2cx+a2+b2【详解】解：∵关于x的方程x2∴△=−2c2−4∴△ABC是直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式6-2】（23-24九年级·河南驻马店·期末）已知关于x的方程，x2(1)求证：无论k为任意实数值方程，总有实数根；(2)若等腰三角形ABC的一边a=1，另两边b、c恰是这个方程的两个根，求三角形ABC的周长．【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义和构成三角形的条件：（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）分当等腰三角形的腰长为1时，则x=1是方程x2−k+2【详解】（1）证明：由题意得，Δ====k−2∴无论k为任意实数值方程，总有实数根；（2）解：当等腰三角形的腰长为1时，则x=1是方程x2∴1−k+2∴k=1，∴原方程为x2解得x=1或x=2，∴底边长为2，∵1+1=2，∴此时不能构成三角形，不符合题意；当底边长为1时，则原方程有两个相等的实数根，∴Δ=∴k=2，∴原方程为x2解得x1∵1+2>2，∴此时能构成三角形，∴△ABC的周长为2+2+1=5．【变式6-3】（23-24·广东惠州·二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）记该方程的两个实数根为x1和x2若以x1，x2，3为三边长的三角形是直角三角形，求k的值．【答案】（1）见详解；（2）k的值为2或102【分析】（1）先把方程变为一元二次方程一般式，然后确定a=1，b=−2k+1（2）将方程因式分解得x−2kx−1=0，得出方程的解x1=2k，【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．∴a=1，∴Δ=b∴方程总有两个实数根；（2）将方程因式分解得x−2kx−1解得x1∵以2k，1，3为三边长的三角形是直角三角形，∴当2k＜3时，则12+2k当2k＞3时，则12+3以1，2k，3为三边长的三角形是直角三角形，k的值为2或102【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判别式，因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，勾股定理是解题关键．【题型7根的判别式与四边形的综合运用】【例7】（23-24九年级·安徽黄山·期末）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；(2)当k=11时，该方程的两个根分别是菱形ABCD的两条对角线的长，求菱形ABCD的面积．【答案】(1)详见解析(2)S【分析】（1）根据根的判别式的范围即可证明；（2）求出一元二次方程的两个根，根据菱形的面积公式进行解答即可；此题考查菱形的性质、一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．【详解】（1）证明：Δ=∴Δ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）当k=11时，原方程为x2a=1,b=−8,c=6，Δ=∴x=8±∴x1∴【变式7-1】（23-24九年级·湖南·阶段练习）已知▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2(1)若AC的长为1，求m的值；(2)当m为何值时，▱ABCD是矩形．【答案】(1)m=(2)1【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，矩形的判定．（1）将x=1代入方程，求出m的值即可；（2）根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到方程有两个相等的实数根，得到Δ=0【详解】（1）解：∵▱ABCD的两对角线AC，BD的长是关于x的方程x2∴当AC的长为1时，12解得：m=3（2）∵▱ABCD的两对角线AC，BD，∴当AC=BD时，▱ABCD是矩形，∴方程x2∴Δ解得m1=m【变式7-2】（23-24九年级·广西崇左·期末）已知正方形ABCD的对角线AC，BD的长是关于x的方程x2（1）求m的值；（2）求正方形的面积．【答案】（1）2；（2）12【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC=BD，再利用一元二次方程根的判别式即可得；（2）先解一元二次方程可得AC=BD=1，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD中，AC=BD，由题意得：关于x的方程x2即m2解得m1∵AC=BD>0，∴m故m的值为2；（2）由（1）得：方程为x2解得x1∴AC=BD=1，则正方形的面积为12【点睛】本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．【变式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的长和宽分别为a和b，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a，b应该满足的条件为．【答案】a【分析】因为矩形的长和宽分别为a、b，所以其周长和面积分别为2(a+b)和ab，设所求矩形的长为x，则宽为13(a+b)-x，其面积为x[13(a+b)-x]，根据题意得：x[13(a+b)-x]=【详解】解：设所求矩形的长为x，则宽为13(a+b)-x，其面积为x[13(a+b)-根据题意得：x[13(a+b)-x]=13即x2∵存在该矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一∴方程有解，∴△=1=19=19∴a∴a故答案为：a2【点睛】本题考查了一元二次方程解的判别式，解题的关键是根据题意，列出方程，把问题转化为求△的问题．【题型8根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例8】（23-24九年级·重庆万州·期中）若整数a使得关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，并且使得关于y的分式方程3−ayA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】对于关于x的一元二次方程a−2x2+2a+3x+1=0有两个实数根，利用判别式的意义得到a-2≠0且2a+3≥0且△=（2a+3）2【详解】解：∵整数a使得关于x的一元二次方程a−2x∴a-2≠0且2a+3≥0且△=（2a+3）2-4（a-2）≥0，∴−3∴整数a为：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y，解得y=6a−1而y≠3，则6a−1当a=-1，0，4时，分式方程有整数解，∴符合条件的所有a的个数是3．故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．【变式8-1】（23-24·广东汕头·三模）一元二次方程x2−2x−4=0有两个实数根a，b，那么一次函数A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：由根与系数的关系可知：a+b=2，ab=−4，∴1−ab=5∴一次函数解析式为：y=5x+2，故一次函数的图象一定不经过第四象限．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一次函数的图象与性质．【变式8-2】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知不等式组x−a>012x−3<1有且仅有4个整数解，则关于x的方程aA．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法判断【答案】C【分析】本题考查解含参数的一元一次不等式组、不等式的性质及利用判别式确定一元二次方程根的情况等知识，先解一元一次不等式，再根据方程组解的情况得到3≤a<4，再结合一元二次方程的判别式，由不等式的性质确定Δ<0【详解】解：x−a>0由①得x>a；由②得x<8；∵不等式组x−a>01∴3≤a<4；∵关于x的方程ax2+∴−15<Δ≤−11，即∴关于x的方程ax故选：C．【变式8-3】（23-24·山东菏泽·模拟预测）已知关于x、y的方程组x−2y=3m−n,xy=n2−2m2+3n+4【答案】1，2【分析】本题考查了整体思路解一元二次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想．先将二元二次方程组整理成一元二次方程，由于方程存在实根得到3n−m+42−8【详解】解：由题意可知，得2yΔ=即3n−m+42∵对每一个实数n都有实数解，∴m2解得：−1≤m≤2，其中m的正整数解为1，2．故答案为：1，2．【题型9一元二次方程中的新定义问题】【例9】（23-24九年级·浙江宁波·期末）新定义：《a，b，c》为一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c为实数)的“共同体数”，如：x2+2x−1=0的“共同体数”为《1，2，−1A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n−1》 D．《m,m,m+【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据一元二次方程根的判别式进行计算，即可求解．【详解】解：A.当“共同体数”为《3，2，1》时，一元二次方程为3∵Δ=∴3xB.当“共同体数”为《3，4，5》时，一元二次方程为3∵Δ=∴3xC.当“共同体数”为《n+1，2n，n−1》时，一元二次方程为n+1∵Δ=∴n+1x2+2nx+n−1=0D.当“共同体数”为《m,m,m+1m∵Δ=∴mx故选：C．【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）对于实数a，b定义新运算：a△b=b2−ab，若关于x的方程6△x=k有两个相等实数根，则k【答案】−9【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数有如下关系：当b2−4ac>0【详解】解：由题可得：x2∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=36+4k=0解得k=−9，故答案为：−9．【变式9-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·阶段练习）定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b=ba2+3a−1，如3△4=4×32+3×3−1，若x△k=0（k为实数）是关于A．k≤−94 B．k≤−C．k≥−94 D．k≥−【答案】D【分析】利用新定义得到kx2+3x−1=0，然后利用Δ【详解】解：由新定义得kx∵该方程是关于x的一元二次方程，∴k≠0，∵方程有实数根．∵Δ=解得：k≥−9∴该方程有实数根时，k≥−94故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac【变式9-3】（23-24·四川达州·一模）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0称为“全整根方程”，代数式4ac−b24a的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac−b2(1)“全整根方程”x2(2)关于x的一元二次方程x2−2m−1x+m(3)若关于x的一元二次方程x2+1−mx+m−2=0是x2+n−1【答案】(1)−(2)方程x2−2m−1(3)m−n=2【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及“全整根方程”的定义，理解新定义的含义是解本题的关键．（1）直接利用新定义Qa,b,c（2）通过m的取值范围确定根的判别式b2−4ac的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定（3）依次求出方程x2+1−mx+m−2=0和x2+n−1【详解】（1）解：“全整根方程”x2Qa,b,c（2）解：∵x2∴b2∵4<m<15，∴29<4m+13<73，∵x2∴b2即4m+13是完全平方数，∴4m+13=