特征值与特征向量

关于特征值与特征向量定义5.1.1

设A为n阶方阵,λ是一个数,若存在非零列向量x,

使得

Ax=λx

（1）则称λ为A

的一个特征值，非零向量x

称为矩阵A

的对应于特征值λ的特征向量，简称为A的特征向量. 一、矩阵的特征值与特征向量的定义与求法第一节矩阵的特征值与特征向量例如：=2λ第2页,共46页，2024年2月25日，星期天为A的特征方程.齐次线性方程组矩阵A的对应于λ的特征向量就是方程组(3)或(2)的非零解.Ax=λx(1)λx-Ax=O(λI-A)x=O(2)(3)λI–A为A的特征矩阵,|λI-A|(λ的n次多项式)称为A的特征多项式.特征方程的根叫做A的特征根，即A的特征值.定义5.1.2第3页,共46页，2024年2月25日，星期天总结：已知n阶方阵A，求A的特征值归结为求特征方程的根；求A的特征向量等价于求齐次线性方程组(λI-A)x=O的非零解.求矩阵A的特征值与特征向量的步骤：第一步，求A的特征多项式|λI-A|；第二步，令|λI-A|=0，得到A的n个特征值(重根按重数计)；第三步，对应于每个特征值λi，求方程组(λi

I-A)x=O的非零解，即是矩阵A的对应于特征值λi的特征向量.第4页,共46页，2024年2月25日，星期天解：矩阵A的特征多项式为例1-2-2-3-1令|λI-A|=0得A的特征值为：3I-A=1-1000-1令x3=1得基础解系.是属于λ1=3的一个特征向量.对应于特征值λ1=3的全部特征向量：第5页,共46页，2024年2月25日，星期天令x3=1得方程组的基础解系为：-3I-A=是属于λ2=λ3

=-3的一个特征向量.则对应于λ2=λ3=-3的全部特征向量为：c2v2=第6页,共46页，2024年2月25日，星期天解：A的特征多项式：例2求A的特征值与特征向量.|λI-A|=令|λI-A|=0，得A的特征值：对于求方程组(I-A)x=O的非零解.I-A=0-1

1得基础解系为：对应于λ1=1的全部特征向量：第7页,共46页，2024年2月25日，星期天对于求方程组(2I-A)x=O的非零解.2I-A=x1=-x2+x3同解方程组：令得到方程组的基础解系：每个都是A的特征向量.对应于λ2=λ3=2的全部特征向量：c1v21+c2v22其中，c1,c2不全为零.第8页,共46页，2024年2月25日，星期天命题2证：命题1

任一n阶方阵在复数域内都有n

个特征根.若x是A的对应于特征值λ的特征向量，则kx(k≠0)也是A的对应于λ的特征向量；若x，y都是A的对应于特征值λ的特征向量，则非零线性组合k1x+k2y(k1,k2不全为零)也是A的对应于λ的特征向量；

(kx≠0)所以，kx(k≠0)也是A的对应于λ的特征向量；因为k1,k2不全为零，所以所以，k1x+k2y(k1,k2不全为零)是A的对应于λ的特征向量.注：同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量.简言之1.一个特征值对应有无穷多个特征向量.2.一个特征向量只属于一个特征值.第9页,共46页，2024年2月25日，星期天解：练习：对于基础解系：全部特征向量：c1,c2不全为零.基础解系：全部特征向量：第10页,共46页，2024年2月25日，星期天练习：[教材P133例9]求A的特征值和全部特征向量.解：×(-1)A的特征值为：基础解系：不全为0)基础解系：第11页,共46页，2024年2月25日，星期天定理5.1.1二、特征值与特征向量的性质注：A与AT不一定有相同的特征向量.方阵A与其转置矩阵AT有相同的特征值.证：需证A与AT有相同的特征多项式.因为，所以，A与AT有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.定理5.1.2

设λ1，λ2，…，λn

是n阶方阵A的所有特征值，则

tr(A)=λ1+λ2+…+λn；|A|=λ1

λ2…λn

相当重要！迹验证：设λ1,λ2是A的特征值,则=|A|第12页,共46页，2024年2月25日，星期天|A|=λ1

λ2…λn

推论

A可逆的充要条件是A的所有特征值都不等于零.特征值的其他简单性质：1.若λ是矩阵A的一个特征值，则

(1)kλ是矩阵kA的一个特征值；

(2)λk是矩阵Ak的一个特征值；

(3)λ+1

是矩阵A+I的一个特征值.(证明提示：利用定义)设λ是方阵A的特征值,则f(λ)是f(A)的特征值.一般地,定理5.1.32.矩阵A可逆,其特征值是λ1,λ2,…,

λn,则x=第13页,共46页，2024年2月25日，星期天例1

三阶方阵A的特征值为-1，2，3，求：(1)2A的特征值；(2)A2的特征值；(3)|A|；(4)A是否可逆?解：(1)2A的特征值为-2，4，6；(2)A2的特征值1，4，9；(3)|A|=(-1)×2×3=-6；(4)A可逆.再求:(6)矩阵A2-2A+3I的特征值.问题：A-1的特征值？-1，1/2，1/3.λ2-2λ+3：6，3，6.

(7)伴随矩阵A*

的特征值.=6，-3，-2第14页,共46页，2024年2月25日，星期天例2[P133例8]求下列特殊矩阵的特征值.(1)Am=O(m是正整数);(2)A2=I.A叫作幂零矩阵A叫作对合矩阵解：设λ为A的任一特征值，对应的特征向量为x,即Ax=λxAmx=λm

xA2

x=λ2

x(1)因为Am=O,所以，λmx=O,而x≠O,故λm=0,即λ

=0.(2)因为A2=I,所以，x=λ2

x,即(λ2

-1)x=O,而x≠O,所以，λ2

-1=0,即λ

=±1.简言之，幂零矩阵的特征值为零；对合矩阵的特征值为±1.第15页,共46页，2024年2月25日，星期天定理5.1.4不同特征值对应的特征向量线性无关.对应特征向量：…则…线性无关.简言之：推论设λ1

，λ2

，…，

λm

是A的互异特征值，

线性无关特征向量：则线性无关.如矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，对应于λ1=1的线性无关的特征向量为对应于λ2=2的线性无关的特征向量为则v11,v21,v22线性无关.第16页,共46页，2024年2月25日，星期天本节基本要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的定义，会用定义解决问题；2.了解特征矩阵、特征多项式、特征方程、特征根；3.掌握特征值与特征向量的性质，能灵活运用性质解题；4.熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法.第17页,共46页，2024年2月25日，星期天一、相似矩阵的定义与性质定义5.2.1注：矩阵的相似关系有以下性质：相似与等价是矩阵的两大关系，二者既有区别又有联系：第二节方阵的相似变换设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得1.矩阵相似的定义

P-1AP=B则称矩阵A与B相似，或A与B是相似矩阵，(1)自反性：A

~A因为：I-1AI=A(2)对称性：若A~B，则B

~A.由P-1AP=BA=PBP-1=(P-1)-1

BP-1(3)传递性：若A~B，B

~C，则A~C.A与B等价区别：PAQ=B(P,Q可逆)A与B相似

P-1AP=B联系：若A~B，则A

B.反之不然.第18页,共46页，2024年2月25日，星期天2.相似矩阵的性质性质1若A~B，则|A|=|B|.——相似矩阵的行列式的值相等.

P-1AP=B

|P-1||A||P|=|B||A|=|B|性质2若A~B，则r(A)=r(B).——相似矩阵的秩相等.

P-1AP=B[初等变换不改变矩阵的秩.]性质3若A~B，则A,B或者都可逆，或者都不可逆.且A,B可逆时，有A-1~B-1.由性质1易得.

P-1AP=B性质4若A~B，则Ak~Bk(k是正整数).

P-1AP=B

(P-1AP)k=Bk

P-1AkP

=Bk第19页,共46页，2024年2月25日，星期天10

Th4.2.1逆命题不成立.即若A与B有相同的特征值,A与B未必相似.性质5若A~B,则A与B有相同的特征值.——相似矩阵的特征值相同.=[P138定理5.2.1]证：因为A~B，即：

P-1AP=B|λI-B|=|λI-P-1AP|=|P-1λIP-P-1AP|=|P-1(λI–A)P|=|P-1||λI–A||P|=|λI–A|从而矩阵A，B有相同的特征值.注：如：有相同特征值：λ1=λ2=1.但不相似.20

相似

矩阵有相同的特征值,不保证有相同的特征向量.那么特征向量之间有何关系？性质6若A~B，则tr(A)=tr(B).由性质5易得.第20页,共46页，2024年2月25日，星期天二、矩阵可对角化的条件定理5.2.2n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证:必要性若矩阵A相似于对角矩阵则存在可逆矩阵P，满足即：将矩阵P按列分块，令有可逆线性无关是A的n个线性无关的特征向量.如果n阶方阵A相似于对角形矩阵,即,则称矩阵A可对角化.为矩阵A的相似标准形.第21页,共46页，2024年2月25日，星期天定理5.2.2n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.充分性若矩阵A有n个线性无关的特征向量其对应的特征值分别为：则有即PP可逆说明:(1)的顺序与相对应一致.(2)定理的证明过程给出了A相似于对角矩阵时，可逆矩阵P及对角矩阵Λ

的构成.第22页,共46页，2024年2月25日，星期天推论1即A有n个互异特征值是A可对角化的充分条件，而不是必要条件.定理5.2.2n阶方阵A相似于对角形矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.若n

阶方阵A有n个互异的特征值则反之不然.…线性无关.第23页,共46页，2024年2月25日，星期天已知n阶方阵A，既能判定A是否可以对角化，同时可求出可逆矩阵P及对角矩阵Λ.例1已知矩阵问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵Λ.解：|λI-A|=A的特征值：对于求(I-A)x=O的基础解系.I-A=对于求(2I-A)x=O的基础解系.2I-A=x1=-x2+x3A可对角化.且注

P及Λ并不唯一.第24页,共46页，2024年2月25日，星期天解：例2问A能否对角化？若能，求出可逆矩阵P及对角矩阵Λ.A的特征值：基础解系：基础解系：所以，A可对角化.或第25页,共46页，2024年2月25日，星期天解：A的特征值为：由于三阶方阵A只有两个线性无关的特征向量v1，v2,所以，A不与对角形矩阵相似，即A不能对角化.例3试判断A可否对角化？[练习之]求的基础解系：求的基础解系：练习：[P144例6]第26页,共46页，2024年2月25日，星期天本节基本要求：1.理解相似矩阵的定义与性质，灵活运用性质解题；2.理解矩阵与对角矩阵相似的充要条件及充分条件；3.熟练掌握矩阵A可对角化的判别方法.第27页,共46页，2024年2月25日，星期天第三节向量内积和正交矩阵一、向量的内积1.向量内积的定义与性质定义5.3.1

设n维向量α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)，称实数为向量α与β

的内积.(α,β

)=记=αβT若列向量：则内积(α,β)=αTβ例1α

=(1,2,3),β=(0,-3,5)，则(α,β

)=1×0+2×(-3)+3×5=9例2α

=(-1,-3,-2,7),β=(4,-2,1,0)，则(α,β

)=-4+6-2+0=0第28页,共46页，2024年2月25日，星期天向量的内积运算具有如下性质：(1)

(α,β

)=(

β,α

)

(2)

(kα,β

)=k(α,β

)

(3)

(α+β

,

γ

)=(α,γ

)+(β,γ

)

(4)

(α,α)≥0,当且仅当α

=O时，有(α,α)＝0.2.向量的长度与性质向量的夹角定义5.3.2

设n维向量α=(a1,a2,…,an)，称实数为向量α

的长度，或范数或模，记向量的长度具有如下性质：(1)当且仅当α

=O时，||α||=0.(2)||kα||=|k|||α||(3)|(α,

β)|≤||α||||β

||——Cauchy-Schwarz不等式.(4)||α+β||≤||α||+||β

||——三角不等式.第29页,共46页，2024年2月25日，星期天将向量α单位化长度为1的向量称为单位向量.如：ε1=(1,0),ε2=(0,1)都是单位向量.例3求向量α

=(1,2,-1)的长度，并将其单位化.解：练习：求向量α

=(2,-1,1,3)的长度.第30页,共46页，2024年2月25日，星期天任意两个向量εi与εj都正交(i≠j)，称其两两正交.定义5.3.3设α，β是任意两个向量，若(α,β)=0则称向量α与β正交或垂直，记作α⊥β.显然，零向量与任意向量正交.n维初始单位向量组：定义5.3.4若n维向量组α1，α2，…，αs中任意两个向量都正交，且αj≠O，j=1,2,…,s.则称α1，α2，…，αs是正交向量组.定义5.3.5

如果一个正交向量组又是单位向量组，则称其为单位正交向量组或标准正交向量组.标准正交向量组α1，α2，…，αs是标准正交向量组由定义知：3.正交向量组第31页,共46页，2024年2月25日，星期天定理5.3.1正交向量组必是线性无关的向量组.若α1，α2，…，αs是正交向量组单位化则β1，β2，…，βs是标准正交向量组.则=0=0注：线性无关组未必是正交向量组.第32页,共46页，2024年2月25日，星期天施密特(Schmidt)正交化方法——化线性无关组为正交向量组.施密特正交化方法:可以证明，正交第33页,共46页，2024年2月25日，星期天例4解：=4=12=-32可进一步将β1，β2，β3单位化，得到标准正交向量组.第34页,共46页，2024年2月25日，星期天练习：解：先正交化标准正交化.=-1=1=3/2再单位化标准正交组第35页,共46页，2024年2月25日，星期天二、正交矩阵正交矩阵的性质：定义5.3.6=AIAT=I(5)若A是n阶正交矩阵，α,β是n维列向量，则(Aα,Aβ)=(α,β)=I=(α,β)第36页,共46页，2024年2月25日，星期天定理5.3.3

设A为n

阶实方阵，A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组为标准正交向量组. 正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：β1

β2

β3两两正交，且长度为1.第37页,共46页，2024年2月25日，星期天第四节实对称矩阵的相似标准形一、

实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质定理5.4.1

n阶实对称矩阵A有n个实特征值,且其特征向量是实向量.定理5.4.2

实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交.证：设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个特征值，且λ1≠

λ2.特征向量：x1x2Ax1=λ1x1Ax2=λ2x2(x1

≠

O,x2

≠

O)

(Ax1,x2)=因为(λ1x1,x2)=λ1(x1,x2)……(1)

(Ax1,x2)=

(Ax1)T

x2=x1TAT

x2=x1T

A

x2=λ2

x1T

x2=λ2(x1,x2)……(2)由(1)、(2)得：λ1(x1,x2)=λ2(x1,x2)(λ1-λ2)(x1,x2)=0λ1≠

λ2(x1,x2)=0x1,x2正交.第38页,共46页，2024年2月25日，星期天定理5.4.3(对称矩阵基本定理)n

阶实对称矩阵A个，必存在n阶正交矩阵P，使得任一n阶实对称矩阵A必正交相似于对角形矩阵.定义4.3.5

设A，B为n阶方阵，如果存在一个正交矩阵P，使得P-1AP=B则称矩阵A与B正交相似.PTAP=B若A与B正交相似，且A是对称矩阵，则B也是对称矩阵.因BT=(PTAP)T=PTATP=PTAP=B第39页,共46页，2024年2月25日，星期天由于实对称矩阵A的不