北师大版2019选择性必修第一册专题3.1空间向量及其运算(5类必考点)(原卷版+解析)

专题3.1空间向量及其运算TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：空间向量的线性运算】 1【考点2：空间向量的共线定理】 2【考点3：空间向量的共面定理】 3【考点4：空间向量的数量积运算】 3【考点5：空间向量的投影向量】 4【考点1：空间向量的线性运算】【知识点：空间向量的线性运算】与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中):

交换律:；

结合律:；

分配律:.1．（2021秋•东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→2．（2021秋•兰山区校级月考）如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|AC→+EF→|＝；|3．（2022春•河南月考）如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足AM→=3MB→，P是CM上的点，且MP→=15A．12a→+14b→ 【考点2：空间向量的共线定理】【知识点：共线定理】对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线.

1．（2021秋•铁东区校级期末）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3cA．﹣3 B．−13 C．3 2．（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．03．（2022春•天宁区校级期中）设e1→，e2→是两个不共线的空间向量，若AB→=2e1→−e2→，BC→4．（2022春•张掖期中）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是（填序号）．①OP→②5OP→③OP→④OP→【考点3：空间向量的共面定理】【知识点：共面定理】两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面.1．（2022春•常州期中）对于空间任意一点O，若OP→=12OA→+13OBA．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与O点位置有关2．（2022春•临河区校级月考）有四个命题①若p→=xa②若p→与③若MN→=xMA→+YMB→，则M④若M、N、A、B四点共面，则MN其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2022春•成都期中）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且OM→=−2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，BA．0 B．1 C．2 D．312．（2022春•湾里区期中）已知非零向量a→=3m→−2n→−4p→，b→=(x+1)mA．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13（多选）13．（2021秋•惠州期末）下面四个结论正确的是（）A．空间向量a→，b→(a→B．若对空间中任意一点O，有OP→=16OA→+13OBC．已知{a→，b→，D．任意向量a→，b→，c14．（2021秋•海淀区校级月考）在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是（）A．OM→=25C．MA→+MB15．（2021秋•肥城市期中）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由OM→=3OA→−OB→+λOC→确定的点A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点4：空间向量的数量积运算】【知识点：数量积运算】已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>.（多选）1．（2021秋•益阳期末）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则（）A．AB→⋅AC→=2 B．EF→2．（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（2021秋•沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则GE→•GFA．2a28 B．a28 4．（2021秋•榆林期末）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE→A．﹣1 B．1 C．3 D．75．（2022春•南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则PM→A．4 B．12 C．8 D．6（多选）6．（2022•三明模拟）已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM→=14ABA．点P的轨迹所围成图形的面积为5 B．点P的轨迹过棱A1D1上靠近A1的四等分点 C．点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6 D．直线B1C1与直线MP所成角的余弦值的最大值为3（多选）7．（2021秋•南平期末）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列选项正确的是（）A．EG→B．EG→C．EH→为直线BD的方向向量D．设M是EG和FH的交点，则对空间任意一点O，都有OM【考点5：空间向量的投影向量】1．在四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，AB＝AD＝SA＝1，且SA⊥底面ABCD，则向量CS→在平面ABCD上的投影向量是，CS→2．设a→=2i→−j→+k→，b→=i→+2j→−k→，3．已知e1→，e2→，e3→是空间不共面的单位向量，且满足e1→•e2→=e2→•e3→=e1→专题3.1空间向量及其运算TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：空间向量的线性运算】 1【考点2：空间向量的共线定理】 3【考点3：空间向量的共面定理】 5【考点4：空间向量的数量积运算】 5【考点5：空间向量的投影向量】 8【考点1：空间向量的线性运算】【知识点：空间向量的线性运算】与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(其中):

交换律:；

结合律:；

分配律:.1．（2021秋•东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→A．AC1→ B．A1C→【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【解答】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1为平行四面体，∴AB→故选：B．2．（2021秋•兰山区校级月考）如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|AC→+EF→|＝；|【分析】取BD的中点H，连结AH，CH，由AH⊥BD，CH⊥BD，得BD⊥平面ACH，从而AC⊥BD，过C作CG∥BD，使CG＝EF，则EF→=CG→，从而|AC→+EF→|＝|AC→+CG→|＝|AG→【解答】解：取BD的中点H，连结AH，CH，∵四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，∴AH⊥BD，CH⊥BD，∴AH∩CH＝H，∴BD⊥平面ACH，∵AC⊂平面AHC，∴AC⊥BD，过C作CG∥BD，使CG＝EF，则EF→∴AC⊥CG，且AC＝2，CG=1∴|AC→+EF→|＝|AC→∵点E，F分别为棱AB，AD的中点，∴EF→∴|BC→−EF则|BC→−EF→|＝|BC→−1故答案为：5，3．3．（2022春•河南月考）如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足AM→=3MB→，P是CM上的点，且MP→=15A．12a→+14b→ 【分析】利用向量运算法则运算可得结果．【解答】解：由AM→=3MB→，得AM所以AP→=AM→+故选：B．【考点2：空间向量的共线定理】【知识点：共线定理】对于空间中任意的两个向量，若存在实数，使得，则与共线.

1．（2021秋•铁东区校级期末）已知{a→，b→，c→}是空间的一个基底，若m→=a→+2b→−3cA．﹣3 B．−13 C．3 【分析】由m→∥n→，可得n→=λ【解答】解：m→n→=x(a→+b→)−y(b→+c→)+3(a因为m→∥n→，所以即x+3=λx−y=2λ3−y=−3λ，解得所以xy故选：C．2．（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底{a→，b→，c→}A．2 B．﹣2 C．1 D．0【分析】根据m→与n→共线可得出n→=km→，再根据【解答】解：因为m→与n→共线，空间的一组基底所以xa所以x+y＝0．故选：D．3．（2022春•天宁区校级期中）设e1→，e2→是两个不共线的空间向量，若AB→=2e1→−e2→，BC→【分析】先由AC→=AB→+BC→求出AC→，在根据A，C，【解答】解：∵AB→=2e1→−∴AC→又∵A，C，D三点共线，∴AC→∴2﹣5k＝0，∴k=2故答案为：254．（2022春•张掖期中）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是（填序号）．①OP→②5OP→③OP→④OP→【分析】由空间共线向量定理即可求解．【解答】解：对于①，∵OP→=OA∴OP→−OA→=tAB→∴点P、A、B共线，故①正确；对于②，∵5OP→=OA→+∴P、O、B共线，点P、A、B不一定共线，故②错误；对于③，∵OP→=OA→+AB→∴AP→=−tAB→（t≠0），∴AP→，AB→共线，∴对于④，∵OP→=−OA∴OP→=−2OA∴BP→=−2OA→，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行时，点P、A、故选：①③．【考点3：空间向量的共面定理】【知识点：共面定理】两个不共线的向量，若存在唯一的有序实数对（x，y），使得，则向量与向量，共面.1．（2022春•常州期中）对于空间任意一点O，若OP→=12OA→+13A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．与O点位置有关【分析】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．【解答】解：∵OP→=1∴四点P、A、B、C必共面．故选：B．2．（2022春•临河区校级月考）有四个命题①若p→=xa②若p→与③若MN→=xMA→+YMB→，则M④若M、N、A、B四点共面，则MN其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在①中，由平面向量基本定理得p→与a→、b→一定在同一平面内；在②中，如果a→，b→共线，p→就不一定能用a→，b→来表示；在③中，若【解答】解：在①中，若p→则由平面向量基本定理得p→与a在②中，若p→与a→、b→共面，但如果a在③中，若MN→=xMA所以M、N、A、B四点共面，故③正确；在④中，若M、N、A、B四点共面，其中M，A，B共线，N与M，A，B不共线，则不存在x，y使MN→=xMA故选：B．11．（2022春•成都期中）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且OM→=−2OA→+xOB→+yOC→，若M，A，BA．0 B．1 C．2 D．3【分析】由共面向量定理能求出x+y．【解答】解：M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且OM→=−2OA→+xOB→+yOC→，M则由共面向量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．故选：D．12．（2022春•湾里区期中）已知非零向量a→=3m→−2n→−4p→，b→=(x+1)mA．﹣13 B．﹣5 C．8 D．13【分析】根据向量共线可得b→=λa→，从而可解方程组求出x，y，再求出【解答】解：∵m→，n→，p→不共面，故m→，∵a→∥b→，故存在即（x+1）m→+8n→+2yp→=3λm→∴x+1=3λ8=−2λ2y=−4λ，解得：则x+y＝﹣5．故选：B．（多选）13．（2021秋•惠州期末）下面四个结论正确的是（）A．空间向量a→，b→(a→B．若对空间中任意一点O，有OP→=16OA→+13OBC．已知{a→，b→，D．任意向量a→，b→，c【分析】直接利用向量的线性运算和向量的共面的充要条件，向量的基底．向量的数量积判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：空间向量a→，b→(a→≠0低于B：若对空间中任意一点O，有OP→=16OA→+13OB→+1对于C：已知{a→，b→，c对于D：任意向量a→，b→，c→满足(a→⋅b→)⋅c→=a→⋅(故选：ABC．14．（2021秋•海淀区校级月考）在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是（）A．OM→=25C．MA→+MB【分析】结合共面性质，利用共面向量定理直接判断．【解答】解：对于ABD，变形后均不满足：OM→=xOA→+yOB→+zOC→对于C，∵MA→+MB∴点M与点A，B，C一定共面，故C正确．故选：C．15．（2021秋•肥城市期中）已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由OM→=3OA→−OB→+λOC→确定的点A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由空间向量的共面定理列式，求解即可．【解答】解：因为点M与A，B，C共面，且OM→所以3﹣1+λ＝1，解得λ＝﹣1．故选：B．【考点4：空间向量的数量积运算】【知识点：数量积运算】已知两个非零向量,,则||||cos<,>叫做,的数量积,记作，即||||cos<,>.（多选）1．（2021秋•益阳期末）已知四面体ABCD的所有棱长都是2，E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则（）A．AB→⋅AC→=2 B．EF→【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形都是等边三角形，利用向量的数量积的定义解答．【解答】解：由题意，空间四边形ABCD的每条边及AC、BD的长都为2，四面体时正四面体，所以每个面都是等边三角形，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，所以AB→•AC→=|AB→||EF→•FG→=12BD→•12AC→=AB→•EG→=AB→•（FG→−FE→）=AB→GE→•GF→=（GC→+CB→+BE→）•GF→=GC→•GF→故选：ACD．2．（2021秋•温州期末）已知四面体ABCD，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】先得到四面体ABCD为正四面体，再利用空间向量的数量积运算和线性运算求解即可．【解答】解：∵四面体ABCD，所有棱长均为2，∴四面体ABCD为正四面体，∵E，F分别为棱AB，CD的中点，∴AF→⋅CE→==12AC→•AE→=12×2×1×12＝﹣2．故选：D．3．（2021秋•沈河区校级期末）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则GE→•GFA．2a28 B．a28 【分析】由题意，四面体是正四面体，每个三角形是等边三角形，再利用向量的数量积的定义解答即可．【解答】解：∵空间四边形ABCD的每条边及AC、BD的长都为a，∴四面体是正四面体，所以每个面都是等边三角形，∵点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，∴GE→•GF→=（=12DC→•12=14a2×（−12）+12a2×故选：D．4．（2021秋•榆林期末）在正四面体P﹣ABC中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE→A．﹣1 B．1 C．3 D．7【分析】运用空间向量基本定理，转化为向量PA→，PB→，【解答】解：如图，P﹣ABC为正四面体，则∠APC＝∠BPC＝∠APB＝60°，E是棱AB中点，所以PE→=1所以PE→⋅BC→=故选：A．5．（2022春•南明区校级月考）已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则PM→A．4 B．12 C．8 D．6【分析】利用空间向量的线性运算和数量积运算得到PM→•PN【解答】解：设正方体内切球的球心为G，则GM＝GN＝2，PM→•PN→=（PG→+GM→）•（PG→+因为MN是正方体内切球的一条直径，所以GM→+GN→=所以PM→•PN又点P在正方体表面上运动，所以当P为正方体顶点时，|PG→|最大，且最大值为2所以PM→•PN→=PG→故选：C．（多选）6．（2022•三明模拟）已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AM→=14ABA．点P的轨迹所围成图形的面积为5 B．点P的轨迹过棱A1D1上靠近A1的四等分点 C．点P的轨迹上有且仅有两个点到点C的距离为6 D．直线B1C1与直线MP所成角的余弦值的最大值为3【分析】首先根据动点P满足的条件及正方体的结构特征得到动点P的轨迹，然后利用轨迹的特征判断选项A，B，C，对于选项D，将线线角转化为线面角，运用线面角的定义找出线面角进行求解．【解答】解：如图，过点M作MF∥AA1，在AD上取一点N，使MN⊥MC，连接NC，EC，FC，过点N作NE∥AA1，连接EF，易知MF∥NE，∴E，F，M，N四点共面；又∵MF⊥MC，MN⋂MF＝M，∴MC⊥面MNEF，即点P的轨迹为矩形MNEF（不含点M），设AN＝x，则MN=x2+1NC=N∴MN2+MC2＝NC2解得x=34，即AN=34，∴对于A，矩形MNEF的面积为：S=MN⋅MF=54×4=5对于B，A1E=AN=3对于C，CF=M在Rt△CMN中，C到MN的距离范围是：(5，5∴MN上存在一点到点C的距离为6；在Rt△CMF中，C到MF的距离范围是：(5，41∴MF上存在一点到点C的距离为6；但在Rt△CNE、Rt△CEF中不存在到点C的距离为6的点，C正确；对于D，直线B1C1与直线MP所成的最小角就是直线B1C1与平面MNEF所成的角，∵B1C1∥BC∴直线B1C1与平面MNEF所成的即是直线BC与平面MNEF所成的角，延长NM，CB交于点G，则∠MGB即是直线BC与平面MNEF所成的角，∵AN∥GB，∴ANGB=AM在Rt△MGC中，sin∠MGC=MCGC=45故选：ACD．（多选）7．（2021秋•南平期末）如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列选项正确的是（）A．EG→B．EG→C．EH→为直线BD的方向向量D．设M是EG和FH的交点，则对空间任意一点O，都有OM【分析】利用平行四边形的性质判断A；利用向量加法法则判断B；利用向量共线定义判断C；利用根据E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，分析可得四边形AFGH为平行四边形，进而可得M为EG的中点，由向量加法的运算法则判断D．【解答】解：在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，对于A，∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点