2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）第十七章 一元二次方程（单元重点综合测试）（解析版）

第十七章一元二次方程单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023·上海·八年级假期作业）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，，【答案】D【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．2．（2023·上海·八年级假期作业）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：，故选：C．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．3．（2023·上海·八年级假期作业）已知一元二次方程有两个实数根，则的值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据根与系数的关系得．【详解】解：根据根与系数的关系得，故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．4．（2023春·上海·九年级专题练习）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为（

）A． B．C． D．．【答案】A【分析】设，原方程中用代替，这样原方程转化为：，然后把方程两边乘以y得到整式方程．【详解】解：设，原方程转化为，方程两边乘以y得，．故选：A．【点睛】本题考查了换元法解分式方程：用一个字母代替分式方程中某一个的整体，使原分式方程转化为简单的分式方程或整式方程，从而达到解决原方程的目的．5．（2023·上海·八年级假期作业）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）A．且 B． C． D．【答案】A【分析】由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，，，的取值范围是：且．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．6．（2023·上海·八年级假期作业）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：当运动时间为t秒时，，，根据题意得：，即，整理得：，解得：，，当时，，不符合题意，舍去，∴．∴运动时间为1秒．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023春·上海宝山·八年级校考期中）方程的根是．【答案】，，【分析】利用因式分解法求方程的解即可．【详解】解：因式分解得：，∴，，，∴原方程的解为，，．【点睛】本题主要考查因式分解的解高次方程，进行因式分解是解方程的关键．8．（2023·上海·八年级假期作业）某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是．【答案】【分析】由题意可求出二月份产值为万元，三月份产值为万元．再根据第一季度总产值为10万元即可列出方程．【详解】由题意可求出二月份产值为万元，∴三月份产值为万元．∵第一季度总产值为10万元，∴可以列出方程是．故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．9．（2023·上海闵行·统考二模）已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为．【答案】4【分析】由题意得，，计算求解即可．【详解】解：由题意得，，解得，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程有两个相等的实数根时，．10．（2023春·上海·九年级专题练习）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是．【答案】±2【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac=0，建立关于k的等式，求出k的值．【详解】由题意知方程有两相等的实根，∴△=b2-4ac=k2-4=0，解得k=±2，故答案为：±2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．11．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）在实数范围内分解因式．【答案】【分析】先求出方程的两个根，再因式分解．【详解】∵的根为，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，正确计算方程的两个根是解题的关键．12．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）某型号的手机原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，则每次降价的百分率是．【答案】【分析】设每次降价百分率为x，根据原来每台售价800元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每台售价为578元，列方程即可．【详解】解：设每次降价百分率为x，由题意得：，解得：（舍），∴每次降价的百分率是，故答案为：．【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键．13．（2023春·上海徐汇·八年级上海市西南模范中学校考期末）把二次方程化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是．【答案】或【分析】利用完全平方公式分解因式，两边同时开平方得到答案．【详解】解：，∴或，故答案为：或．【点睛】此题考查了多项式的分解因式，降次解一元二次方程，正确掌握直接开平方法解方程是解题的关键．14．（2023春·上海·九年级专题练习）若关于x的一元二次方程无实数根，则整数k的最小值为．【答案】6【分析】要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根，∴且，解得，，∴，∴整数k的最小值是6，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．15．（2023·上海·八年级假期作业）如图，有长为的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为的花圃，的长是．

【答案】【分析】设的长为，则的长为，由题意得，，整理得，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：设的长为，则的长为，由题意得，，整理得，解得，或，当时，的长为，不满足题意，舍去，∴的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程并求解．16．（2023春·上海杨浦·八年级校考期中）已知为实数，若，那么的值为．【答案】2或3【分析】将原方程变形为，然后把看作一个整体运用因式分解法求出的值即可．【详解】解：∵，∴,∴,∴,∴，解解，，故答案为：2或3．【点睛】本题主要考查了配方法，用因式分解法解一元二次方程，正确将原方程进行变形运用因式分解法求解是解答本题的关键．17．（2023·上海·八年级假期作业）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如是“差1方程”．若关于x的方程(a，b是常数，)是“差1方程”设，t的最大值为．【答案】【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．【详解】解：由题可得：∴解方程得，关于的方程、是常数，是“差1方程”，，，，，，时，的最大值为9．故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义．18．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，将沿翻折得到，连接、，过点F作于点P．则线段的长为．

【答案】/【分析】过F点作于M点，交于N点，根据矩形的性质以及翻折的性质有：，，再证明四边形、都是矩形，即有，，，设，，则，，，根据在中，，在中，，可得，，上述两个方程相减后，化简可得：，将代入，化简可得，解方程即可求解．【详解】解：过F点作于M点，交于N点，如图，

∵在矩形中，，，∴，，，∵E为的中点，∴，根据翻折的性质有：，，∵，，∴结合矩形的性质有：四边形、都是矩形，∴，，，设，，∴，，，∵在中，，在中，，∴，，上述两个方程相减后，化简可得：，将代入，化简可得，解得：，（，不符合题意，舍去）故，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质以及一元二次方程的应用等知识，灵活运用勾股定理，是解答本题的关键．三、解答题（9小题，共64分）19．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）解方程：(1)(2)．(3)；(4)．【答案】(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【分析】（1）先移项，再用因式分解法求解即可；（2）先整理，后用配方法求解即可；（3）先移项，再用因式分解法求解即可；（4）用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：，移项，得，∴，∴或，∴，；（2）解：，整理得，配方得，即，∴，∴，；（3）解：，移项，得，∴，∴或，∴，；（4）解：，∴，∴或，∴，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．20．（2023秋·九年级课时练习）设，是方程的两个根，不解方程，求下列式子的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用和直接代入求解即可；（2）先通分，然后整体代入求解即可．【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根，∴，，原式；（2）解：∵，是方程的两个实数根，∴，，由（1）知，所以原式．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握一元二次方程的根与系数的关系的知识点是解题的关键．21．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)如果方程的一个根为3，求另一个根和的值．【答案】(1)；(2)，方程的另一个根为．【分析】（1）由根的判别式，列不等式求解即可．（2）将代入原方程，求出m，再解方程即可．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，即：，整理得：，；（2）解：∵方程有一个根是3，将代入方程得：，∴，则原方程为：，解得：，∴方程的另一个根为．【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程根的判别式：方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，方程有实数根．熟练掌握根的判别式是解题关键．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】(1)羊圈的长为，宽为或长为，宽为；(2)不能，理由见解析．【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．【详解】（1）解：设矩形的边，则边．根据题意，得．化简，得．解得，．当时，；当时，．答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．（2）解：不能，理由如下：由题意，得．化简，得．∵，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．23．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）已知关于的一元二次方程(1)当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当取什么值时，方程有两个相等的实数根？(3)当取什么值时，方程没有实数根？【答案】(1)当且时，方程有两个不相等的实数根；(2)当时，方程有两个相等的实数根；(3)当时，方程没有实数根【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可；（2）根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可；（3）分和，两种情况，进行讨论求解即可．【详解】（1）解：当方程有两个不相等的实数根时：，解得：；又∵，∴当且时，方程有两个不相等的实数根；（2）解：当方程有两个相等的实数根时：，解得：；∴当时，方程有两个相等的实数根；（3）解：当时，方程为一元二次方程，方程没有实数根，则，解得：；当时，方程没有实数根；当时，方程为一元一次方程，存在实数根，不符合题意；综上，当时，方程没有实数根．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系．熟练掌握时，一元二次方程有实数根，是解题的关键．24．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．(2)求与的值．（用含k的式子表示）(3)①若，，可由结合，求解k的取值范围．请求出k的取值范围．②，，求k的取值范围．【答案】(1)见解析(2)；(3)①；②【分析】（1）求出，根据一元二次方程根的判断式的意义可得结论；（2）根据根与系数的关系可得，，然后对所求式子变形，整体代入即可；（3）①根据根与系数的关系可得，，解不等式组可得k的取值范围；②根据已知求出，，可得；再由得到，解不等式组可得k的取值范围．【详解】（1）证明：∵，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得：，，∴；；（3）①∵，，∴，，∴；②∵，∴，，∴，∴，即∴，即，∴，∴，综上，．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判断式的意义，根与系数的关系，分式的加法，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握根与系数的关系：若一元二次方程