2023-2024学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）第3章 概率的进一步认识（压轴题专练）（解析版）-2023-2024学年学年九年级数学上学期单元精讲·速记·巧练（北师大版）

概率的进一步认识（压轴题专练）题型01：列举法或树状图法求概率1．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．．【解析】解：反应的化学方程式为，与的原子个数比为，与的原子个数比为，反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O，共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2，∴反应生成的概率为，故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．2．在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名．（1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用列举法求解即可；（2）分类讨论，利用列举法即可求解．【解析】（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种，9班和5班抽签到一个小组只有一种情况，故概率为：；（2）①分组为(2，5)和(6，9)，1、2名争夺3、4名争夺情况1(2，6)(5，9)情况2(2，9)(5，6)情况3(5，6)(2，9)情况4(5，9)(2，6)故概率为：；②分组为(2，9)和(5，6)，1、2名争夺3、4名争夺情况1(2，5)(6，9)情况2(2，6)(5，9)情况3(5，9)(2，6)情况4(6，9)(2，5)故概率为：；综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．3．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是：顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案B抽奖两次或方案A，B各抽奖一次）．已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元．(1)若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；(2)以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由．【答案】(1)；(2)选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．理由见解析【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A，1次方案A1次方案B，1次方案B，分别求出各种情况下获得奖金的平均值即可．【解析】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为；（2）解：①由（1）可得，只选择方案A，抽奖2次，获得15元的概率为，获得30元（2次都是红球）的概率为，两次都不获奖的概率为，所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15×+30×=10（元），②只选择方案B，则只能摸奖1次，摸到红球的概率为，因此获得奖金的平均值为：10×≈6.7（元），③选择方案A1次，方案B1次，所获奖金的平均值为：15×+10×≈11.7（元），因此选择方案A、方案B各抽1次的方案，更为合算．【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．4．寒假居家学习期间，小明在玩一个跳棋游戏，游戏规则如下：①棋盘为正五边形．一跳棋棋子从点开始按照逆时针方向起跳．从点跳到点为步．从点跳到点为步，以此类推．每次跳的步数用掷正方体骰子所得点数决定：②如果第一次掷骰子所得点数使得棋子恰好跳回到点，就算完成了一次操作：③如果第一次掷骰子所得点数不能使得棋子跳回到点，就再掷一次，棋子按照两次点数之和跳到相应位置，不论是否回到点．都算完成了一次操作．（1）小明只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为___．（2）求小明经一次操作，使得棋子跳回到点的概率，（请用“树状图"或“列表"等方法写出分析过程）【答案】；【分析】（1）根据题意得出掷出5时可以回到点A，从而利用概率公式计算；（2）树状图法画出所有情况共31种，得出符合要求的情况共有7种，再运用概率公式计算.【解析】解：（1）∵掷一次骰子所得到的点数可能为1、2、3、4、5、6，其中，掷出5时可以回到点A，∴只掷一次骰子，就使棋子跳回到点的概率为；（2）若要经一次操作，使得棋子跳回到点，则①第一次就掷出5，②两次掷出的数字分别为：1和4，2和3，3和2，4和1，4和6，6和4，画树状图如下：共有31种情况，其中满足一次操作，使得棋子跳回到点的情况有7种，∴经一次操作，使得棋子跳回到点的概率为.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是理解游戏规则，找出总的情况下数和符合要求的情况数.5．某学校七年级数学兴趣小组组织一次数学活动．在一座有三道环形路的数字迷宫的每个进口处都标记着一个数，要求进入者把自己当作数“1”，进入时必须乘进口处的数，并将结果带到下一个进口，依次累乘下去，在通过最后一个进口时，只有乘积是5的倍数，才可以进入迷宫中心，现让一名5岁小朋友小军从最外环任一个进口进入．(1)小军能进入迷宫中心的概率是多少？请画出树状图进行说明．(2)小组两位组员小张和小李商量做一个小游戏，以猜测小军进迷宫的结果比胜负．游戏规则规完：小军如果能进入迷宫中心，小张和小李各得1分；小军如果不能进入迷宫中心，则他在最后一个进口处所得乘积是奇数时，小张得3分，所得乘积是偶数时，小李得3分，你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请在第二道环进口处的两个数中改变其中一个数使游戏公平．(3)在（2）的游戏规则下，让小军从最外环进口任意进入10次，最终小张和小李的总得分之和不超过28分，请问小军至少几次进入迷宫中心？【答案】(1)，树状图见详解；(2)不公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数；(3)2次．【分析】（1）根据题意，绘制树状图，分析可知小军行动路线共有12种可能情况，可进入中心的有4种可能情况，进而计算进入迷宫中心的概率．（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．（3）可设小军次进入迷宫中心，根据题意设不等式，解不等式即可．（1）树状图如下：由树状图可知，进入者可能有12种结果，可进入迷宫中心的结果有4种，故小军能进入迷宫中心的概率为．（2）不公平，理由如下：方法一：由树状图可知，，，．所以不公平．方法二：从（1）中树状图得知，不是5的倍数时，结果是奇数的有2种情况，而结果是偶数的有6种情况，显然小李胜面大，所以不公平．方法三：由于积是5的倍数时两人得分相同，所以可直接比较积不是5的倍数时，奇数、偶数的概率．，，所以不公平．要想游戏公平，可将第二道环上的数4改为任一奇数．（3）设小军次进入迷宫中心，则，解之得．所以小军至少2次进入迷宫中心．【点睛】本题主要考查了列举法求概率的运用，准确绘制树状图并加以分析是解题关键．6．“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马，田忌也有上、中、下三匹马，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：（注：表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【答案】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜，；（2）不是，田忌获胜的所有对阵是，，，，，，【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．【解析】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．此时，比赛的所有可能对阵为：，，，，共四种．其中田忌获胜的对阵有，，共两种，故此时田忌获胜的概率为．（2）不是．齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是；齐王的出马顺序为时，田忌获胜的对阵是．综上所述，田忌获胜的所有对阵是，，，，，．齐王的出马顺序为时，比赛的所有可能对阵是，，，，，，共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，所以，此时田忌获胜的概率．【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．题型02：概率与统计学结合7．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：种类数量（份）你根据以上信息，解答下列问题：(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？【答案】(1)12(2)(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过且更接近3元【分析】（1）中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；（2）根据题意画树状图，即可解答；（3）①根据条形统计图找到A、B、C的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可；②对于调低单价，对A、B、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的利润越远的道理，因此在A、B、C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答．【解析】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为（份），对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（A+B）一共为（份），因此中位数为B午餐的费用，即为12．故答案为：12；（2）树状图如下：

根据树状图能够得到共有6种情况，其中“BC”组合共有2种情况，∴小芳选择“”组合的概率为；（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，B的利润为4元，C的利润为3元，平均利润为：（元），

∵，因此应调低午餐单价；

②假设调低A单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），调低B单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），调低C单价一元，平均每份午餐的利润为：（元），当A、B、C调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元．【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键．8．某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了：非常了解、：比较了解、：基本了解、：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频率直方图，根据以上信息回答下列问题：等级频数频率200.415100.20.1（1）频数分布表中____________，____________，将频数分布直方图补充完整；（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多少人？（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根据频率分布表计算出被调查的总人数，即可算出；（2）利用样本估计总体的统计思想，先求出调查结果中“非常了解”和“比较了解”的频率之和，再乘上该校总人数即可得到；（3）利用树状图列出所有的情况，选出满足条件的情况数，利用概率公式求解即可．【解析】解：（1）被调查的总人数为：（人），（人），，故答案是：，（2）根据频数分布表知，“非常了解”和“比较了解”的频率之和为：，利用样本估计总体的思想，若该校有学生1000人，校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有：（人）；（3）设3男生对应大写字母，两女生对应大写字母，在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队的所有结果，利用树状图呈现如下：共有种等可能结果，满足所选两个学生中至少有一个女生有：种，由概率公式得所选两个学生中至少有一个女生的概率为：．【点睛】本题考查了频率分布表、频率分布直方图、样本估计总体的统计思想、利用树状图或列表法求概率问题，解题的关键是：能从图表中获取信息，会画树状图列出所有的情况，利用概率公式求概率．9．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加。中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的6000名用户(男性4000人，女性2000人)，从中随机抽取了60名(女性20人），统计他们出门随身携带现金(单位：元)，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”（1）①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中b=30，c=8）手机支付非手机支付合计男ab女cd合计60②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是多少？（2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元：方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同)的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取)，若摸到1个红球则打9折，若摸到2个红球则打8.5折，若未摸到红球按原价付款.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算.【答案】（1）①40，20，18，42；②；（2）选择方案二更划算.【分析】（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，进而可以补充表格数据；②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可；（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，根据从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图分别求出摸到1个红球，摸到2个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可．【解析】解：（1）①因为随机抽取了60名（女性20人），所以男性40人，∵b=30，c=8，∴a=10，d=12，补充表格如下：手机支付非手机支付合计男ab40女cd20合计184260故答案为：18，42，40，20；②由①可得，女性用户中随机抽取1位，这1位女性用户是“手机支付族”的概率是；（2）若选方案一：则需付款：1200-100=1100元；若选方案二：设实际付款x元，则x取值为：1200元，1080元，1020元，∵从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为A、B，白球为C、D，画出树状图为：根据树状图可知：所有可能的结果共16种，摸到1个红球的有8种，摸到2个红球的有4种，未摸到红球的有4种，所以摸到1个红球的概率为：，则打9折，摸到2个红球的概率为：，则打8.5折，未摸到红球的概率为：，按原价付款．所以实际付款的平均金额为：1080×+1020×+1200×=1095（元）．因为1100元＞1095元，所以选择方案二更划算．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、算术平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率．10．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．学生平均每天阅读时长情况统计表平均每天阅读时长x/min人数学生平均每天阅读时长情况扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．【答案】(1)100，30(2)(3)名(4)【分析】（1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出的值；（2）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数；（3）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可估计平均每天阅读时长为“”的学生人数；（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解析】（1）解：∵组的人数为，占比为，且，∴本次调查共抽取了名学生；∵组占比，，∴，故答案为：，．（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”有名，且，∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为．（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为人，且（名），∴估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为名．（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有种可能的情况，∴．【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．题型03：用频率估计概率11．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下：x（℃)15≤x<2020≤x<2525≤x<3030≤x≤35天数610113y（瓶）270330360420以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率．(1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；(2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？【答案】（1）0.9；（2）瓶【分析】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率；（2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．【解析】解：（1）依题意可知，今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为；（2）根据题意可知：该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则：当时，，当时，，当时，，当时，，当时，与时比较，六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多，所以其每天的平均利润比时平均每天利润少．综上所述：时，的值达到最大．即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率．12．某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录特级柑橘的售价（元/千克）1415161718特级柑橘的日销售量（千克）1000950900850800（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；（2）按此市场调节的观律，①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．【答案】（1）9000千克；（2）①当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克，理由见解析；②最大利润售价为19元/千克，每日的最大利润为7500元，理由见解析【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率，根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可．（2）①根据表格求出销售量y与售价x的函数关系式，代入x=16.5计算即可；②12天内售完9000千克完好的柑橘，求出日最大销售量即可求出售价的范围，再根据利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式即可；【解析】（1）由图可知损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定故所求为千克（2）①设销售量y与售价x的函数关系式为由题意可得函数图像过及两点得∴与的函数关系式为把代入，∴当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克②依题意得：12天内售完9000千克柑橘故日销售量至少为：（千克）∴解得设利润为w元，则∴对称轴为∴当时w随x的增大而增大∴当时销售利润最大，最大利润为（元）【点睛】此题考查了利用频率估计概率，以及二次函数销售利润问题．解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；并利用等量关系：利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式．13．数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；第四步：估算出π的值．为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．【解析】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，可以用图中正方形区域表示，∴，再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1，可以用图中（3）区域表示，∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，∴，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，∴根据①概率计算方法可以得到：，又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，∴，解得，故选：D．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．14．市工商部门对某批次产品的质量进行了抽样检查，结果如下表所示：随机抽取的产品数1020501002005001000合格的产品数9194793467935合格率解答下列问题：(1)表格中，________，________；(2)根据上表，在下图中画出产品合格率变化的折线统计图；

(3)根据图表可得，从这批产品中，任意抽取一个，它是合格品的概率约为________；(4)如果重新抽取1000个该产品进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？产品的合格率变化有什么共同的规律？【答案】(1)，187(2)见解析(3)(4)结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右【分析】（1）根据合格率等于进行计算即可；（2）结合表格中的数据，画出折线图即可；（3）结合折线图，利用频率估计概率即可；（4）根据频率估计概率作答即可．【解析】（1）解：，；故答案为：，187；（2）画出折线图如图：

（3）由折线图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在，∴概率为；故答案为：；（4）结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右．【点睛】本题考查利用频率估计概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键．15．如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下：转动转盘的次数200300400100016002000转到黄色区域的频数7293130334532667转到黄色区域的频率0.360.3250.33250.3335(1)下列说法错误的是______（填写序号）．①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域；②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数；③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10.(2)求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）；(3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的可能性相同，写出一种方案即可．【答案】(1)①③(2)0.3(3)将一个绿色区域改为蓝色区域【分析】（1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案；（2）根据频率可得，的值，再利用频率来估计概率即可；（3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．【解析】（1）解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误；②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确；③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误；故答案为：①③．（2），，（3）将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同．【点睛】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．题型04：概率的应用16．计数问题是我们经常遇到的一类问题，学会解决计数问题的方法，可以使我们方便快捷，准确无误的得到所要求的结果，下面让我们借助两个问题，了解计数问题中的两个基本原理---加法原理、乘法原理.问题1.从青岛到大连可以乘坐飞机、火车、汽车、轮船直接到达.如果某一天中从青岛直接到达大连的飞机有3班，火车有4班，汽车有8班，轮船有5班，那么这一天中乘坐某种交通工具从青岛直接到达大连共有种不同的走法：问题2.从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有4条路，那么从甲地经过乙地到丙地，共有种不同的走法：方法探究加法原理：一般的，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法,这就是分步乘法计数原理.实践应用1问题3.如图1，图中线段代表横向、纵向的街道，小明爸爸打算从A点出发开车到B点办事(规定必须向北走,或向东走，不走回头路)，问他共有多少种不同的走法？其中从A点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出.(1)根据以上原理和图2的提示，算出从A出发到达其余交叉点的走法数，如果将走法数填入图2的空圆中，便可以借助所填数字回答：从A点出发到B点的走法共有种：(2)根据上面的原理和图3的提示，请算出从A点出发到达B点，并禁止通过交叉点C的走法有种.(3)现由于交叉点C道路施工,禁止通行．小明爸爸如果任选一种走法,从A点出发能顺利开车到达B点(无返回)概率是实践应用2问题4.小明打算用5种颜色给如下图的5个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色，问共有种不同的染色方法.【答案】问题1：20；问题2：12；问题3：（1）35；（2）17；（3）；问题4：240种.【分析】问题1.根据一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，再由加法原理求解即可，问题2.根据乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，再由乘法原理求解即可，问题3.（1）根据完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，则到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和．从而计算出从A点到达其余各交叉点的走法数；（2）此题有两种计算方法：方法一是先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它；方法二是删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法；（3）结合（1）和（2）的结论，即可求得概率．问题4.因为A与其它4个区域都相邻，所以先填A区域，有5种选择；那么B区域，有4种选择；由于C区域与A和B都相邻，所以有3种选择；同理，E区域与A、B、C都相邻，所以有2种选择；而D区域只与A、C、E相邻，不与B相邻，因此可以和B区域同色，所以D区域有2种选择；根据乘法原理可得共有：5×4×3×2×2=240（种）染色方法．【解析】问题1.一天中乘飞机有3种走法，乘火车有4种走法，乘汽车有8种走法，轮船有5种走法，每一种走法都可以从青岛直接到达大连，按加法原理，所以共有3+4+8+5=20种不同的走法．问题2.因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，按乘法原理，共有3×2=6种不同的走法．问题3.（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．答：从A点到B点的走法共有35种．（2）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；算出从C点到B点的走法为6种，见图3，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35-18=17种．方法二：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数见图4，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35-18=17种．（3）P（顺利开车到达B点）=．答：任选一种走法，顺利开车到达B点的概率是．问题4.解：乘法原理可得：5×4×3×2×2=240（种）．答：共有240种染色方法．【点睛】此题考查了加法原理与乘法原理．此题难度较大，理解题意，能利用题意中的方法进行计算是解此题的关键，注意利用画图的方法求解比较简单．17．有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率）(1)用列表法求；(2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由．【答案】(1)(2)张亮的想法是错的，见解析(3)【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可；（2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案；（3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可．【解析】（1）由题得，列表为：第1个第2个1331130211043124所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，；（2）由（1）得：，，，，，∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：，∵，所以张亮的想法是错的．（3）∵，∴（答案不唯一）【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键．18．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．

(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少?(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少?(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大?【答案】(1)(2)小玲胜小军的概率是(3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可；（2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率；（3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论．【解析】（1）解：根据题意，画出树状图：

共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个，所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是；（2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为；（3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜，∴小玲胜小军的概率是；②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜，∴小玲胜小军的概率是；③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜，小玲胜小军的概率是；④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜，∴小玲胜小军的概率是；∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键．19．计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量x（年入流量：一年内．上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上．过去50年的年入流量的统计情况如下表（假设各年的年入流量不相互影响）．年入流量x40＜x＜8080≤x＜120120≤x＜160x≥160年数103082以过去50年的年入流量的统计情况为参考依据．（1）求年入流量不低于120的概率；（2）若水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量x的限制，并有如表关系：年入流量x40＜x＜8080≤x＜120120≤x＜160x≥160发电机量多可运行台数1234若某台发电机运行，则该台发电机年利润为6000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损2000万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由．【答案】（1）；（2）2台，理由见解析．【分析】（1）根据概率的计算公式计算即可；（2）先分别计算各段年入流量的概率，再根据概率计算安装2台发电机和3台发电机对应的年利润的加权平均数，比较之，则可得出答案．【解析】（1）年入流量不低于120的年数为:，总的年数为50年．年入流量不低于120的概率为：．（2）根据题意，能安装2台发电机对应的年入流量为不低于80，年入流量低于的概率为：，只能运行1台发电机；年入流量不低于80的概率为：，能2台发电机都运行；安装2台发电机时的利润为：万元．能安装3台发电机对应的年入流量为不低于120，由（1）可知：，只能运行1台发电机，当年入流量时，，只能运行2台发电机；当年入流量时，，能运行3台发电机，安装3台发电机时的利润为：万元，因为，故安装2台发电机．【点睛】本题考查了概率的计算，将概率当做权数计算平均数，计算出各段的概率是解题的关键．20．为了解两种分别含有甲、乙离子的待检药物在实验白鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只白鼠随机分成两组，每组100只，其中组白鼠给服甲离子溶液，组白鼠给服乙离子溶液．每只白鼠给服的溶液体积与浓度均相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在白鼠体内离子的百分比．按离子残留百分比数据分段整理，描述这两组样本原始数据如下表：

离子残留百分比分组给服甲离子白鼠（只数1827302212给服乙离子白鼠（只数）5a15b2015（注：表中表示实验数据的范围为）若记为事件：“