吉林省东北师范大附属中学2025届初三4月联考数学试题试卷含解析

吉林省东北师范大附属中学2025届初三4月联考数学试题试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．2．下列各式中计算正确的是（）A．x3•x3=2x6 B．（xy2）3=xy6 C．（a3）2=a5 D．t10÷t9=t3．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根 D．没有实数根4．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）A．3：2 B．9：4 C．2：3 D．4：95．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．① B．② C．③ D．④6．已知二次函数y＝ax1+bx+c+1的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＞0；②b1﹣4ac＝0；③a＞1；④ax1+bx+c＝﹣1的根为x1＝x1＝﹣1；⑤若点B（﹣，y1）、C（﹣，y1）为函数图象上的两点，则y1＞y1．其中正确的个数是（）A．1 B．3 C．4 D．57．如图，在▱ABCD中，AB＝1，AC＝4，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F．若AC⊥AB，则FD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．68．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线（）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①；②当0＜x＜3时，；③如图，当x=3时，EF=；④当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．下列计算，结果等于a4的是（）A．a+3aB．a5﹣aC．（a2）2D．a8÷a210．小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单价为b元/千克，且a＞b.根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）甲种糖果乙种糖果混合糖果方案1235方案2325方案32.52.55则最省钱的方案为（）A．方案1 B．方案2C．方案3 D．三个方案费用相同二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝60t﹣1.2t2，那么飞机着陆后滑行_____秒停下．12．分解因式：_____．13．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．14．若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是_____．15．百子回归图是由1，2，3，…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为______．百子回归16．若不等式组的解集为，则________.17．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于__________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；（2）若某函数是反比例函数（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；（3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_____，写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？_____．（本小题只需直接写出答案）19．（5分）如图，半圆D的直径AB＝4，线段OA＝7，O为原点，点B在数轴的正半轴上运动，点B在数轴上所表示的数为m．当半圆D与数轴相切时，m＝．半圆D与数轴有两个公共点，设另一个公共点是C．①直接写出m的取值范围是．②当BC＝2时，求△AOB与半圆D的公共部分的面积．当△AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时，求tan∠AOB的值．20．（8分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生总数为_____人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是_____小时，众数是_____小时；并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是_____；（3）若全校九年级共有学生800人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？21．（10分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；（3）若，求证：CD＝DH．22．（10分）吴京同学根据学习函数的经验，对一个新函数y＝的图象和性质进行了如下探究，请帮他把探究过程补充完整该函数的自变量x的取值范围是．列表：x…﹣2﹣10123456…y…m﹣1﹣5n﹣1…表中m＝，n＝．描点、连线在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象：观察所画出的函数图象，写出该函数的两条性质：①；②．23．（12分）综合与探究：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点在二次函数的图像上．（1）求二次函数的表达式；（2）求点A，B的坐标；（3）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积．24．（14分）如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB=8，AC=，求⊙O半径的长．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】本题考查的是三视图．左视图可以看到图形的排和每排上最多有几层．所以选择A．2、D【解析】试题解析：A、原式计算错误，故本选项错误；B、原式计算错误，故本选项错误；C、原式计算错误，故本选项错误；D、原式计算正确，故本选项正确；故选D．点睛：同底数幂相除，底数不变，指数相减.3、A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4、A【解析】试题解析：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.∵AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，又AB:AC=3:2，故选A.点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.5、A【解析】

由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【详解】将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，故选A．本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．6、D【解析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：，∴，由抛物线与轴的交点可知：，∴，∴，故①正确；②抛物线与轴只有一个交点，∴，∴，故②正确；③令，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故③正确；④由图象可知：令，即的解为,∴的根为，故④正确；⑤∵，∴，故⑤正确；故选D．考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.7、C【解析】

利用平行四边形的性质得出△ADF∽△EBF，得出=，再根据勾股定理求出BO的长，进而得出答案．【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴BO=DO,AO=OC,AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴=，∵AC=4，∴AO=2，∵AB=1，AC⊥AB，∴BO===3，∴BD=6，∵E是BC的中点，∴==，∴BF=2，FD=4.故选C.本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.8、C【解析】试题分析：对于直线，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA和△CDA中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC，OA=AD，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C（2，2），把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即，由函数图象得：当0＜x＜2时，，选项②错误；当x=3时，，，即EF==，选项③正确；当x＞0时，随x的增大而增大，随x的增大而减小，选项④正确，故选C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．9、C【解析】

根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【详解】A．a+3a=4a，错误；B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．（a2）2=a4，正确；D．a8÷a2=a6，错误．故选C．本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．10、A【解析】

求出三种方案混合糖果的单价，比较后即可得出结论.【详解】方案1混合糖果的单价为，方案2混合糖果的单价为，方案3混合糖果的单价为.∵a＞b，∴，∴方案1最省钱.故选：A.本题考查了加权平均数，求出各方案混合糖果的单价是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解析】

飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．【详解】由题意，s=﹣1.2t2+60t=﹣1.2（t2﹣50t+61﹣61）=﹣1.2（t﹣1）2+750即当t=1秒时，飞机才能停下来．故答案为1．本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t=2时，s取最大值．12、【解析】分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：．13、【解析】

求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是，故答案为．本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比几何概率．14、6【解析】试题分析：设所求正n边形边数为n，则120°n=（n﹣2）•180°，解得n=6；考点：多边形内角与外角．15、505【解析】

根据已知得：百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10，代入求解即可．【详解】1～100的总和为：=5050，

一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：n=5050÷10=505，故答案为505.本题是数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案16、-1【解析】分析：解出不等式组的解集，与已知解集-1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．详解：由不等式得x＞a+2，x＜b，∵-1＜x＜1，∴a+2=-1，b=1∴a=-3，b=2，∴（a+b）2009=（-1）2009=-1．故答案为-1．点睛：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．17、3【解析】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan∠BOD=3.考点：解直角三角形．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,对应的抛物线分别为；；,偶数.【解析】

（1）设正方形ABCD的边长为a，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=，求出a，

（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，

（3）本问的抛物线解析式不止一个，求出其中一个．【详解】解：（1）∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，∴AO=1，BO=1，∴正方形ABCD的边长为,当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，设正方形的边长为a，得3a=,∴，所以伴侣正方形的边长为或；（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，知△ADE≌△BAO≌△CBF，此时，m＜2，DE=OA=BF=mOB=CF=AE=2﹣m∴OF=BF+OB=2∴C点坐标为（2﹣m，2），∴2m=2（2﹣m）解得m=1，反比例函数的解析式为y=，（3）根据题意画出图形，如图所示：过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，∵C（3，4），即CF=4，OF=3，∴EG=3，DE=4，故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1，则D坐标为（﹣1，3）；设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b，把D和C的坐标代入得：，解得，∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+；同理可得D的坐标可以为：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），；对应的抛物线分别为；；，所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.本题考查了二次函数的综合题.灵活运用相关知识是解题关键.19、（1）；（2）①；②△AOB与半圆D的公共部分的面积为；（3）tan∠AOB的值为或．【解析】

（1）根据题意由勾股定理即可解答（2）①根据题意可知半圆D与数轴相切时，只有一个公共点，和当O、A、B三点在数轴上时，求出两种情况m的值即可②如图，连接DC，得出△BCD为等边三角形，可求出扇形ADC的面积，即可解答（3）根据题意如图1，当OB＝AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，列出方程求解即可解答如图2，当OB＝OA时，内心、外心与顶点O在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，列出方程求解即可解答【详解】（1）当半圆与数轴相切时，AB⊥OB，由勾股定理得m＝，故答案为．（2）①∵半圆D与数轴相切时，只有一个公共点，此时m＝，当O、A、B三点在数轴上时，m＝7+4＝11，∴半圆D与数轴有两个公共点时，m的取值范围为．故答案为．②如图，连接DC，当BC＝2时，∵BC＝CD＝BD＝2，∴△BCD为等边三角形，∴∠BDC＝60°，∴∠ADC＝120°，∴扇形ADC的面积为，，∴△AOB与半圆D的公共部分的面积为；（3）如图1，当OB＝AB时，内心、外心与顶点B在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，则72﹣（4+x）2＝42﹣x2，解得x＝，OH＝，AH＝，∴tan∠AOB＝，如图2，当OB＝OA时，内心、外心与顶点O在同一条直线上，作AH⊥OB于点H，设BH＝x，则72﹣（4﹣x）2＝42﹣x2，解得x＝，OH＝，AH＝，∴tan∠AOB＝．综合以上，可得tan∠AOB的值为或．此题此题考勾股定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内心和外心，解题关键在于作辅助线20、（1）50；4；5；画图见解析；（2）144°；（3）64【解析】

（1）根据统计图可知，课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，由此可得出总人数；求出课外阅读时间4小时与6小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可得出结论；根据求出的人数补全条形统计图即可；

（2）求出课外阅读时间为5小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆心角度数；

（3）求出总人数与课外阅读时间为6小时的学生人数的百分比的积即可．【详解】解：（1）∵课外阅读达3小时的共10人，占总人数的20%，∴=50（人）．∵课外阅读4小时的人数是32%，∴50×32%=16（人），∴男生人数=16﹣8=8（人）；∴课外阅读6小时的人数=50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3=1（人），∴课外阅读3小时的是10人，4小时的是16人，5小时的是20人，6小时的是4人，∴中位数是4小时，众数是5小时．补全图形如图所示．故答案为50，4，5；（2）∵课外阅读5小时的人数是20人，∴×360°=144°．故答案为144°；（3）∵课外阅读6小时的人数是4人，∴800×=64（人）．答：九年级一周课外阅读时间为6小时的学生大约有64人．本题考查了统计图与中位数、众数的知识点，解题的关键是熟练的掌握中位数与众数的定义与根据题意作图.21、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解析】

（1）连接OA，证明△DAB≌△DAE，得到AB＝AE，得到OA是△BDE的中位线，根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明；（2）利用正弦的定义计算；（3）证明△CDF∽△AOF，根据相似三角形的性质得到CD＝CE，根据等腰三角形的性质证明．【详解】（1）证明：连接OA，由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB，∵∠ADE＝∠ACB，∴∠ADE＝∠ADB，∵BD是直径，∴∠DAB＝∠DAE＝90°，在△DAB和△DAE中，，∴△DAB≌△DAE，∴AB＝AE，又∵OB＝OD，∴OA∥DE，又∵AH⊥DE，∴OA⊥AH，∴AH是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD，∴∠E＝∠ACD，∴AE＝AC＝AB＝1．在Rt△ABD中，AB＝1，BD＝8，∠ADE＝∠ACB，∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝；（3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线，∴OA∥DE，OA＝DE．∴△CDF∽△AOF，∴＝，∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE，∵AC＝AE，AH⊥CE，∴CH＝HE＝CE，∴CD＝CH，∴CD＝DH．本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的