5.2.1任意角三角函数的定义课件高一上学期数学

第5章三角函数任意角三角函数的定义湘教版

数学

必修第一

册课标要求1.理解并掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切函数)的定义.2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值.3.理解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.4.能利用三角函数线的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.5.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点一三角函数的概念1.概念

前提如图,设α是一个任意角,在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P,利用点P的坐标(x,y)定义定义正弦

,其中r=

余弦

,其中r=

正切

2.三角函数的解析式和定义域

三角函数解析式定义域正弦函数y=sinα

余弦函数y=cosα

正切函数y=tanα

RR过关自诊

B2.(多选题)若角α的终边过点(0,1),则下列说法正确的是(

)A.sinα=-1B.cosα=0C.tanα不存在D.cosα=13.三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关?提示

三角函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.

BC知识点二三角函数线的概念前提设单位圆的圆心为直角坐标系的原点O,角α的终边与单位圆交于点P,过点P作x轴的垂线,垂足为D,过点A(1,0)作单位圆的切线x=1,如果tanα存在,设该切线与角α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T(1,y1)定义正弦线有向线段DP称为角α的正弦线,DP=y=sinα余弦线有向线段OD称为角α的余弦线,OD=x=cosα定义正切线有向线段AT称为角α的正切线,AT==tanα三角函数线正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线过关自诊1.如果角α的终边落在坐标轴上,你能否发现其正弦线、余弦线的变化特点?提示

当角α的终边在x轴上时,点P与点D重合,这时正弦线变成了一点,它的数量为零,而余弦线的数量OD=1或-1.当角α的终边在y轴上时,余弦线变成了一点,它的数量为零,而正弦线的数量DP=1或-1.2.如何根据三角函数线确定三角函数值?提示

三角函数线与坐标轴正方向同向则三角函数为正值,反向则三角函数为负值,而三角函数的绝对值等于三角函数线的长度.知识点三三角函数值的符号sinα,cosα,tanα在各个象限的符号.角的终边在坐标轴上时不适合,要利用定义求值名师点睛

1.正弦值的符号取决于纵坐标y的符号,它在x轴上方为正,下方为负;余弦值的符号取决于横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切值符号取决于横、纵坐标符号,同号为正,异号为负.2.三角函数值符号的口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.过关自诊在单位圆中,确定下列三角函数值的符号:重难探究·能力素养速提升探究点一利用三角函数的定义求三角函数值【例1】

(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0),且cosθ=x,求sinθ+tanθ.变式探究1将本例(2)的条件“x+y=0(x<0)”改为“y=2x”,其他条件不变,结果又如何?变式探究2将本例(2)的条件“落在直线

x+y=0上”改为“过点P(-3a,4a)(a≠0)”,求2sinα+cosα.规律方法

1.已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:(1)在α的终边上任选特殊点的坐标,求出点到原点的距离后利用定义求三角函数值;(2)在α的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0),2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.探究点二三角函数值符号的运用1.根据角的象限确定三角函数值的符号【例2】

判断下列各式的符号:(1)sin105°cos230°;解

∵105°,230°分别为第二、第三象限角,∴sin

105°>0,cos

230°<0.于是sin

105°cos

230°<0.规律方法

根据确定的角判断其相应三角函数值的符号,首先利用终边相同的角将所给角转化为[0,2π)内的角,判断其所在象限后,结合三角函数特征确定符号.2.根据三角函数值的符号确定角所在的象限

A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C解析

由sin

αtan

α<0可知sin

α,tan

α异号,从而α为第二、第三象限角.从而α为第三、第四象限角.综上可知,α为第三象限角,故选C.规律方法

根据三角函数值的符号确定角所在的象限,应分别根据三角函数值的符号确定所在象限后取交集.3.含绝对值的三角函数值域

A.3 B.-3 C.1

D.-1BC规律方法

涉及三角函数的绝对值问题,求解时要根据角所在的象限,去掉绝对值号分类讨论.变式训练1(1)若角θ满足sinθ<0,tanθ<0,则角θ是(

)A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.第二象限角或第四象限角B解析

sin

θ<0时,角θ可以是第三、四象限角,或终边在y轴负半轴上;又tan

θ<0时,角θ可以是第二、四象限角,因此角θ是第四象限角.故选B.A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角C(3)判断下列各式的符号:①sin105°·cos230°;解

105°,230°分别为第二、第三象限角,所以sin

105°>0,cos

230°<0,所以sin

105°·cos

230°<0.探究点三利用三角函数线定义求三角函数值【例5】

作出

的正弦线、余弦线和正切线,并利用三角函数线求出它们的正弦、余弦和正切.规律方法

1.作正弦线、余弦线的步骤:(1)在坐标系中,作角α的终边与单位圆交点P;(2)过点P作x轴的垂线,设垂足为D,得正弦线DP、余弦线OD.2.作正切线的步骤:过点A(1,0)作单位圆的切线,与角α的终边或其反向延长线的交点设为T,得角的正切线AT.变式训练2分别作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线,并求出它们的正弦、余弦和正切.(1)(2)探究点四利用三角函数线比较三角函数值的大小规律方法

利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:①准确作出角的终边与单位圆的交点并作出相应的三角函数线;②比较三角函数线的长度;③确定有向线段的正负.变式训练3(1)若a=sin2,b=cos2,则a,b的大小关系为(

)A.a<b

B.b<aC.a=b

D.不能确定B解析

因为

<2<π,作出2弧度角的正弦线、余弦线如图所示分别为DP,OD.易知DP>0,OD<0,因此sin

2>cos

2.(2)sin4,cos4,tan4的大小关系是(

)A.sin4<tan4<cos4 B.tan4<sin4<cos4C.cos4<sin4<tan4 D.sin4<cos4<tan4D探究点五利用三角函数线解三角不等式【例7】

在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.规律方法

利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式,通常采用数形结合的方法,求解关键是恰当地寻求点,一般来说,对于sin

x≥b,cos

x≥a(或sin

x≤b,cos

x≤a),只需作直线y=b,x=a与单位圆相交,连接原点和交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x的范围;对于tan

x≥c(或tan

x≤c),则取点(1,c),连接该点和原点即得角的终边所在的位置,并反向延长,结合图象可得.变式训练4用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合.学以致用·随堂检测促达标A级必备知识基础练1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920B12345678910111213141516171819203.若角α的终边经过点P(-1,-1),则(

)

A12345678910111213141516171819204.已知点P(tanα,sinα)在第三象限,则角α的终边在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D12345678910111213141516171819205.用三角函数线比较sin50°和cos50°的大小,正确的结果为(

)A.sin50°>cos50° B.sin50°<cos50°C.sin50°=cos50° D.sin50°和cos50°无法比较A解析

如图所示,50°角的正弦线为DP,余弦线为OD,△POD中,∠POD=50°,根据大角对大边知,DP>OD,即sin

50°>cos

50°.故选A.12345678910111213141516171819206.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边(

)A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x,或y=-x上D解析

由题意可知,|AT|=1,∴AT=±1.则tan

α=±1,角α的终边在直线y=±x上,故选D.1234567891011121314151617181920A.正弦线 B.余弦线C.正切线 D.不能确定

C12345678910111213141516171819208.(多选题)下列说法中正确的是(

)A.α一定时,单位圆中的正弦线一定B.单位圆中,有相同正弦线的角相等C.α和α+π有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上AD12345678910111213141516171819209.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,3)是角θ终边上一点,则sinθ=

.

123456789101112131415161718192010.在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(-

,-1),则tanα=

;cosα-sinα=

.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181920B级关键能力提升练12.在△ABC中,若sinAcosBtanC<0,则△ABC是(

)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形C解析

因为sin

A>0,所以cos

B,tan

C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.1234567891011121314151617181920B1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192014.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是(

)A.(-2,3] B.(-2,3)C.[-2,3) D.[-2,3]A123456789101112131415161718192015.(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是(

)A.sin165°>0 B.cos280°>0C.tan170°>0 D.tan310°<0ABD解析

165°是第二象限角,因此sin

165°>0,A正确;280°是第四象限角,因此cos

280°>0,B正确;170°是第二象限角,因此tan

170°<0,故C错误;310°是第四象限角