度下学期辽宁省普通高中期末考试模拟试题详解详析

20232024学年度下学期辽宁省普通高中期末考试模拟试题高二数学详解详析注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．B【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值，在上的最小值，再结合已知及恒成立问题求解即得.【详解】当时，函数，则当时，，函数在上单调递增，，由，，使得成立，得，所以实数的取值范围是.故选：B2．B【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解.【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.从而有，整理得，，，，，由于皆为正整数，所以（i）当时，，当时，，（iii）当时，，（iv）当时，只有符合题意，即的值为2.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键.3．C【分析】利用可得，由知①正确；由知②正确；利用反例可说明③错误；令，利用导数可求得，知④正确.【详解】对于①，当时，由得：，即；，故①正确；对于②，由得：，即，，故②正确；对于③，由得：；当时，，此时，则，即不成立，故③错误；对于④，令，则，令，则，在上单调递增，又，，，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，即，，④正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略：形如求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.4．B【分析】根据指数对数运算及单调性分别判断各个选项即可.【详解】对于不成立，对于B.成立，对于C：不成立；对于D:不成立；故选：B.5．D【分析】由题意可得，可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出.【详解】因为，所以，由于，则，所以，所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，所以，所以，所以，故选：D6．A【分析】设出数列中的一项，然后分被3除余1，余2，余0三种情况进行讨论，借助给出的递推关系式进行推证即可判断①，结合递推关系式得到符合的形式，然后保证即可判断②．【详解】不妨设数列中的一项为，①若被3除余1，则由已知可得，若被3除余2，则由已知可得，若被3除余0，则由已知可得，所以对任意的，，则，所以对数列中的任一项，若，则，因为，所以，所以数列中必存在某一项（否则与上述结论矛盾），若，结论得证；若，则，，结论得证；若，则，得证；所以不论论取何值，总有；故①正确；②若是3的倍数，则，若被3除余1，则由已知可得，若被3除余2，则由已知可得，所以连续7项构成的等比数列的公比为，因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项）设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得，因为，所以或，由递推关系式可知，在该数列的前k1项中，满足小于等于2022的项只有：或，或所以首项的所有可能取值的集合为，故的所有可能取值有6个，故②正确．故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推关系式，考查学生的抽象思维能力，属于难度较大题．7．D【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围.【详解】由题意可得：，且，即，对A、B：由题意可得：，∵开口向下，对称轴，，则，故，即，不存在，，A错误；例如，则，即存在，，，B错误；对C：，则，故对任意，，则，C错误；对D：令，则图象开口向下，对称轴，且，故，即，对任意，，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，根据题意得到，，从而得解.8．B【分析】小王至少赢局，小王赢得比赛的概率为，进而逐项判断即可.【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局，因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布，由二项分布的概率公式可得赢局的概率为，赢局的概率为，，赢局的概率为，小王赢的概率为有，有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误；由，又由，可得，可知D选项正确.故选：B【点睛】关键点点睛：由题设得到，利用二项式各项系数和的性质判断可得结论.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．ABD【分析】对于A,利用的奇偶性求得时的解析式，从而求得在实数集上的解析式；对于B,利用导数法结合指数函数的性质即可得解；对于C,D,利用奇偶性和单调性，得到的值域，也可解决函数值大小比较.【详解】对于A,因为当时，，所以当时，，则，是定义在实数集R上的偶函数，，从而，又当时，综上可知，对于，，则A正确；对于B,因为当时，，所以，，，从而，，在上为减函数，故B正确；对于C,由于在上为减函数，是定义在实数集上的偶函数，则上单调递增，则时取得最大值,,函数值域为，故C错误；对于D,是定义在实数集R上的偶函数，，，，又，，由B可知，在上为减函数，，故D正确．故选：ABD.10．BCD【分析】根据正态分布的对称性即可求解A，根据二项分布的概率公式，列不等式即可求解B，由独立性检验的思想即可求解C，根据分组分配问题，即可求解D【详解】对于A，，，故A错误对于B，，，令，解得，又，，即答对7题的概率最大，故B正确；对于C，根据独立性检验可知C正确，对于D,将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有种不同的分派方案，故D正确，故选：BCD11．ABD【分析】对于A：令，代入可得，运算整理即可；对于B：可得，令，可得，运算整理即可；对于C：取特值检验即可；对于D：令，可得，结合等比数列求和公式分析证明.【详解】对于不等式，当且仅当时，等号成立，对于选项A：令，则，可得，其中，所以，A正确；对于选项B：将x替换为，可得，当且仅当时等号成立．令，可得，整理可得，故，即，所以，故B正确；对于选项C：令，可得，即，这显然不成立，故C错误；对于选项D：等价于证明，将中的x替换为，其中，，则，即，可得，当且仅当时，等号成立，则，所以，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：对于已知不等式证明不等式的问题，常常利用代换的思想，结合数列求和进而放缩证明.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【分析】若，则得可能取值为，分别求解概率，再求解数学期望即可；根据题意求解游戏结束时进行到第关的概率为，由可得，于是根据递推关系式可得数列的通项公式.【详解】若，则得可能取值为，又，所以；设未能通关的前提下，游戏结束时进行到第关的概率为；那么有，由可得；即，对两边同时取倒数，可得，即，又，故是首项为1，公比为2的等比数列，从而.故答案为：；.13．0或【分析】先求切线再由切线求参数，把极值点求出导函数无零点即可求范围.【详解】,所以切线为,即,又因为与相切，所以只有一个解，当,,只有一个解符合题意，当a不为零时，符合题意，所以或；无极值点，则无零点，无根，或,或,所以.故答案为：或；.14．【分析】由函数的奇偶性求出函数的解析式，再由题中等差等比数列等条件得到，再分离参数并用导数知识即可求出参数的最小值．【详解】当时，，当时，，，函数是定义在,,上的奇函数，，．又,,,为等差数列，且，设，，，，，，，，且函数是奇函数，，数列,2,3,为等比数列，设公比为，，，，，令，则，令，，观察得：．令，，，在单调递增，即在单调递增，为的唯一零点．当时，单调递减，当时，单调递增，．故的最小值为，故答案为：【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用导数求斜率，然后根据平行直线斜率相等结合点斜式即可得方程（2）构造函数，利用导数求最小值即可得证；（3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解.【详解】（1）由，得，曲线在处的斜率为，直线l与曲线在处的切线方程平行，所以，又直线l过点故方程为（2）记，则，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.所以当时，取得最小值，所以，即.（3），由题知，有且只有两个不相等实数根，即有且只有两个不相等实数根，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减.当x趋近于时，趋近于0，当x趋近于时，趋近于，又，所以可得的图象如图：由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，所以a的取值范围为【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解.16．(1)证明见解析(2)0【分析】（1）设出等差数列的公差，由基本量表示出来，求解即可得证；（2）由（1）知，所以，将转化为，从而可知无正整数解.【详解】（1）证明：设数列的公差为，则，解得，所以原命题得证.（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，因为，所以是偶数，所以无正整数解，故集合中的元素个数为0.17．(1)0.0449；0.0459(2)必须作改进；(3).【分析】（1）根据正态分布求解的概率，以及的概率，再利用对立事件求，再根据二项分布求期望；（2）由可知，，即可作出判断；（3）根据平均数公式和标准差公式，化简求解.【详解】（1）由题意得1次监测镓含量的概率为0.9973，镓含量的概率为0.0027，；（2）由估计得，，发现最小值，该天至少1次监测镓含量中，故必须作改进；（3）设余下的数据的平均数，则，即.18．(1)的单调递增区间是，单调递减区间是，(2)或(3)【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.（3）由题意得，得出的范围，把两点坐标代入函数得与的关系式，借助关系式用来表示，即，构造函数，分析函数单调性可得值域，即的取值范围.【详解】（1），则的单调递增区间是，单调递减区间是，．（2）函数在单调递减，在单调递增，故在的最小值为，同理，在的最小值为，故结合图象可得，函数有两个零点时需满足解得：．或解得：．综上所述：或．（3）由题意得：，则．且，则，因为，，所以，故．所以．又，故单调递增，所以单调递增，故．因此的取值范围为．【点睛】方法点睛：要求的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；判断函数单调性的常用方法：①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；②复合函数的单调性；③多个函数加减的单调性：，，，；19．(1)(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）根据“数列”的定义，求出函数导数，进而求出切线方程，即可求得答案；（2）（i）根据“数列”的含义，结合等比数列定义，即可证明结论；（ii）求出，即可将原不等式转化为，结合，转化为证，由此可结合不等式结构特征，构造函数，利用导数判断函数单调性进行证明即可.【详解】（1）由题意知，，所以，曲线在点处的切线处的斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，令，