2024年广东省广州市市中考数学试卷真题（含答案解析）

秘密★启用前2024年广州市初中学业水平考试数学考生号：姓名：本试卷共8页，25小题，满分120分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名;将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3.非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域;不准使用铅笔(作图除外)、涂改液和修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.四个数-10,-1,0,10中,最小的数是()A.-10B.-1C.0D.102.下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是()3.若a≠0,则下列运算正确的是()A.a2+a3=aC.2a⋅3a=54.若a＜b,则()A.a+3＞b+3B.a-2＞b-2C.-a＜-bD.2a＜2b5.为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4,4＜x≤8,8＜x≤12,12＜x≤16,16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是()A.a的值为20B.用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多C.用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为()A.1.2x+1100=35060B.1.2x-1100=35060C.1.2(x+1100)=35060D.x-1100=35060×1.27.如图,在VABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为()A.18B.92C.98.函数y₁=ax²+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当()时，y₁，y₂A.x＜-1B.-1＜x＜0C.0＜x＜2D.x＞19.如图,eO中,弦AB的长为.43,点C在eO上,OC⊥AB,∠ABC=30°.eO所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与eOA.点P在eO上B.点P在eO内C.点P在eO外D.无法确定10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是()A.3118πB.118πC.第二部分非选择题(共90分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)11.如图,直线l分别与直线a,b相交,aPb,若∠1=71°,则∠2的度数为.12.如图,把R₁,R₂,R₃三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为U,则U=IR₁+IR₂+IR₃.当R₁=20.3,R₂=31.13.如图,YABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=14.若a²-2a-515.定义新运算:a⊗b=a2-ba≤0-a+ba0)例如：16.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y=kxx0)的图象上,A(1,0),C(0,2).将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'(点A平移后的对应点为A'),A'B'交函数y=kxx0)的图象于点①k=2;②VOBD的面积等于四边形ABDA'的面积;③A'E的最小值是.2④∠B'BD=∠BB'O.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.解方程:118.如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.19.如图,Rt△ABC中,∠ABC=900(1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图中,将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证:四边形ABCD是矩形.20.关于x的方程x²-2(1)求m的取值范围;(2)化简:121.善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下(单位：分)：A组75788282848687889395B组75778083858688889296(1)求A组同学得分的中位数和众数；(2)现从A、B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率.22.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米,BD=10米.(1)求CD的长;(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.(参考数据：sin23.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：脚长x(cm)…232425262728…身高y(cm)…156163170177184191…(1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)；(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=kxk≠(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高.24.如图,在菱形ABCD中,∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B,点C重合),△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段AD的数量和位置关系，并说明理由；(2)若AB=6+63,eO为△AEF①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与eO相切?如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.25.已知抛物线(G:y=ax²-6ax-a³+2a²+1a0)过点A(x₁,2)和点B(x₂,2),直线l:y=m²x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记VCDA的周长为C₁,(1)求抛物线G的对称轴；(2)求m的值;(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t＜45)得到直线l',当l'∥AB时,直线l'交抛物线G于E,F两点.①求t的值;②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析2024年广州市初中学业水平考试数学试卷共8页,25小题,满分120分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.3.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔(作图除外)、涂改液和修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.四个数-10,-1,0,10中,最小的数是()A.-10B.-1C.0D.10【答案】A【解析】【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.【详解】解:Q-10＜-1＜0＜10,∴最小的数是-10,故选:A.2.下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是()第1页/共27页【答案】C【解析】【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点O判断即可.【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点O对称的是C，故选:C.3.若a≠0,则下列运算正确的是()A.a2+C.2a⋅【答案】B【解析】【分析】本题考查了分式的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键.通分后变为同分母分数相加，可判断A选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D选项.【详解】解:A、B、C、D、故选:B.4.若a＜b,则()A.a+3＞b+3B.a-2＞b-2C.-a＜-bD.2a＜2b【答案】D【解析】第2页/共27页【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键.根据不等式的基本性质逐项判断即可得.【详解】解:A.∵a＜b,∴a+3＜b+3,则此项错误,不符题意;B.∵a＜b,∴a-2＜b-2,则此项错误,不符题意;C.∵a＜b,∴-a＞-b,则此项错误,不符合题意;D.∵a＜b,∴2a＜2b,则此项正确,符合题意;故选:D.5.为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照0＜x≤4,4＜x≤8,8＜x≤12,12＜x≤16,16＜x≤20的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是()A.a的值为20B.用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数最多C.用地面积在4＜x≤8这一组的公园个数最少D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷【答案】B【解析】【分析】本题考查的是从频数分布直方图获取信息，根基图形信息直接可得答案.【详解】解:由题意可得:a=50-4-16-12-8=10,故A不符合题意;用地面积在8＜x≤12这一组的公园个数有16个，数量最多，故B符合题意；第3页/共27页用地面积在0＜x≤4这一组的公园个数最少，故C不符合题意；这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D不符合题意；故选B6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为()A.1.2x+1100=35060B.1.2x-1100=35060C.1.2(x+1100)=35060D.x-1100=35060×1.2【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键.设该车企去年5月交付新车x辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可.【详解】解：设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意得:1.2x+1100=35060,故选:A.7.如图,在VABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为()A.18B.92C.9【答案】C【解析】【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键.连接AD，根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VADE≌VCDF，将四边形AEDF的面积转化为三角形ADC的面积再进行求解.【详解】解:连接AD,如图:第4页/共27页∵∠BAC=90°,AB=AC=6,,点D是BC∴∠BAD=∠B=∠C=45°,AD=BD=DC∴VADE≌VCDF,∴又:∴故选:C8.函数y₁=ax²+bx+c与y2=kx的图象如图所示，当()时，y₁，yA.x＜-1B.-1＜x＜0C.0＜x＜2D.x＞1【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键.由函数图象可知，当x＞1时，y₁随着x的增大而减小；y₂位于在一、三象限内，且y₂均随着x的增大而减小，据此即可得到答案.【详解】解：由函数图象可知，当x＞1时，y₁随着x的增大而减小；y₂位于一、三象限内，且在每一象限内y₂均随着x的增大而减小，∴当x＞1时,y₁,y₂均随着x的增大而减小,故选:D.9.如图,eO中,弦AB的长为.43,点C在eO上,OC⊥AB,∠ABC=30°.第5页/共27页一点P,若OP=5,则点P与eO的位置关系是()A.点P在eO上B.点P在eO内C.点P在eO外D.无法确定【答案】C【解析】【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键.由垂径定理可得AD=23,由圆周角定理可得∠AOC=60【详解】解:如图,令OC与AB的交点为D,QOC为半径,AB为弦,且OC⊥AB,∴AD=Q∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°,在△ADO中,∠ADO=90°,∠AOD=60°,AD=23,Q∴OA=ADsin60∘QOP=5＞4,∴点P在eO外,故选:C.第6页/共27页

10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积是()A.3118πB.118【答案】D【解析】【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解Q圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长为=2π，进而得出γ=1，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.【详解】解：设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为2πr，Q圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，且扇形的半径l是5，∴扇形的弧长为72Q圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，∴2πr=2π,∴r=1,∴圆锥的高为5∴圆锥的体积为1故选:D.第二部分非选择题(共90分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)11.如图,直线l分别与直线a,b相交,aPb,若∠1=71°,则∠2的度数为.第7页/共27页【答案】109【解析】【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明∠1【详解】解:如图,∵aPb,∠∴∠∴∠故答案为：10912.如图,把.R₁,R₂,R₃三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR₁+IR₂+IR₃.当R₁=20.3,R₂=31【答案】220【解析】【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键.根据U=IR₁+IR₂+IR₃,将数值代入计算即可.第8页/共27页【详解】解:QU=IR₁+IR₂+IR₃,当R₁=20U=20.3×2.2+31.9×2.2+47.8×2.2=(20.3+31.9+47.8)×2.2=220,故答案为:220.13.如图,YABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=【答案】5【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键.由平行四边形的性质可知，AD=BC=2,BC‖AD,进而得出∠BAE=∠EBA,，再由等角对等边的性质,得到BE=AE=3,即可求出【详解】解:在YABCD中,BC=2,∴AD=BC=2,BC∥AD,∴∠CBA=∠BAE,QBA平分∠EBC,∴∠CBA=∠EBA,∴∠BAE=∠EBA,∴BE=AE=3,∴DE=AD+AE=2+3=5,故答案为:5.14.若a²-2a-5【答案】11【解析】【分析】本题考查了因式分解，提取公因式，得出条件的等价形式是解题关键.由a²-2a-5=0,得第9页/共27页答案.【详解】解:Qa²-∴a²-∴故答案为:11.15.定义新运算:a⊗b=a2-ba≤0-a+ba0)例如：【答案1-17【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义.根据新定义运算法则列出方程求解即可.【详解】解::a⊗b=而x⊗∴①当x≤0时,则有x解得，x=-②当x＞0时,-x+解得，x=综上所述，x的值是-12或故答案为：-12或16.如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y=kxx0)的图象上,A(1,0),C(0,2).将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'(点A平移后的对应点为A'),A'B'交函数y=kxx0)的图象于点第10页/共27页①k=2;②VOBD的面积等于四边形ABDA'的面积;③A'E的最小值是2④∠B'BD=∠BB'O.其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)【答案】①②④【解析】【分析】由B(1,2),可得k=1×2=2,故①符合题意;如图,连接OB,OD,BD,OD与AB的交点为K，利用k的几何意义可得VOBD的面积等于四边形ABDA'的面积；故②符合题意；如图，连接AE，证明四边形A'DEO为矩形，可得当OD最小，则A'E最小，设Dx2xx0),可得A'E的最小值为2,故③不符合题意；如图，设平移距离为n，可得.B'【详解】解:∵A(1,0),C(0,2),四边形OABC是矩形;∴B(1,2),∴k=1×2=2,故①符合题意;如图,连接OB,OD,BD,OD与AB的交点为K,第11页/共27页∵∴∴∴VOBD的面积等于四边形.ABDA'的面积；故②符合题意；如图,连接A'∵DE⊥y轴,∠D∴四边形A'DEO为矩形,∴A'E=OD,∴当OD最小,则A'E最小,设D∴O∴OD≥2,∴A'E的最小值为2,故③不符合题意;如图，设平移距离为n，∴∵反比例函数为y=2x,四边形A'B∴∠B∴B∴第12页/共27页∴V∴∠∵∴∠CB'O=∠A'OB',∴∠B故答案为:①②④【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.解方程:1【答案】x=3【解析】【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验.依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案.【详解】解:1去分母得:x=3(2x-5),去括号得:x=6x-15,移项得:x-6x=-15,合并同类项得:-5x=-15,解得:x=3,经检验，x=3是原方程的解，∴该分式方程的解为x=3.18.如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3第13页/共27页△ABE∽△ECF.【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键.根据正方形的性质，得出.∠B=∠C=90°,AB=CB=9,【详解】解:QBE=3,EC=6,∴BC=9,Q四边形ABCD是正方形，∴AB=CB=9,∠B=∠C=90°,Q∴又Q∠B=∠C=90°,∴VABE∽VECF.19.如图,Rt△ABC中,?B90?.(1)尺规作图：作AC边上的中线BO(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证:四边形ABCD【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【解析】【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，旋转的性质；第14页/共27页(1)作出线段AC的垂直平分线EF,交AC于点O,连接BO,则线段BO即为所求;(2)先证明四边形ABCD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论.【小问1详解】解：如图，线段BO即为所求；【小问2详解】证明：如图，∵由作图可得:AO=CO,由旋转可得:BO=DO,∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形.20.关于x的方程x²-2(1)求m的取值范围;(2)化简:1【答案】(1)m＞3(2)-2【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；(1)根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；(2)根据(1)的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可.【小问1详解】解：∵关于x的方程.x²-2第15页/共27页∴Δ=解得:m＞3;【小问2详解】解:∵m＞3,∴==-2;21.善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对A，B两组同学进行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下(单位：分)：A组75788282848687889395B组75778083858688889296(1)求A组同学得分的中位数和众数；(2)现从A、B两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同一组的概率.【答案】(1)A组同学得分的中位数为85分，众数为82分；(2)1【解析】【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键.(1)根据中位数和众数的定义求解即可；(2)由题意可知，A、B两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可.【小问1详解】解：由题意可知，每组学生人数为10人，∴中位数为第5、6名同学得分的平均数，∴A组同学得分的中位数为84+Q82分出现了两次，次数最多，第16页/共27页∴众数为82分;【小问2详解】解：由题意可知，A、B两组得分超过90分的同学各有2名，令A组的2名同学为A₁、A₂，B组的2名同学为.B₁、由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种，∴这2名同学恰好来自同一组的概率422.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米,BD=10米.(1)求CD的长;(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间.(参考数据：sin【答案】(1)CD的长约为8米;(2)模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒.【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键.(1)过点B作BE∥CD交AD于点E,根据余弦值求出CD的长即可;第17页/共27页(2)先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出BC的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即可求出下降时间.【小问1详解】解:如图,过点B作BE∥CD交AD于点E,由题意可知,∠DBE=36.87°,∴∠BDC=36.87°,在△BCD中,∠C=90°,BD=10米,Qc∴CD=BD⋅cos36.87°≈10【小问2详解】解:QAD=17米,CD=8米,∴AC=A在△BCD中,∠C=90°,BD=10米,Q∴BC=BD·sin36.87°≈10×0.60≈6米,∴AB=AC-BC=15-6=9米,Q模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，∴模拟装置从A点下降到B点的时间为9÷2=4.5秒，即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒.23.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表：脚长··232425262728第18页/共27页x(cm)身高y(cm)…156163170177184191…(1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)；(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y=kxk≠(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高.【答案】(1)见解析(2)y=7x-5(3)175.6cm【解析】【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键.(1)根据表格数据即可描点；(2)选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系,将点(23,156),(24,163)代入即可求解;(3)将25.8cm代入y=7x-5代入即可求解;【小问1详解】解：如图所示：第19页/共27页解：由图可知：y随着x的增大而增大，因此选择函数y=ax+b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系，将点(23,156),(24,163)代入得:156解得：a=∴y=7x-5【小问3详解】解:将25.8cm代入y=7x-5得:y=7×25.8-5=175.6cm∴估计这个人身高175.6cm24.如图,在菱形ABCD中,∠C=120°.点E在射线BC上运动(不与点B,点C重合),△AEB关于AE的轴对称图形为△AEF.(1)当∠BAF=30°时，试判断线段AF和线段(2)若AB=6+63,eO为△AEF①求r的取值范围；②连接FD，直线FD能否与eO相切?如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.【答案】(1)AF=AD,AF⊥AD第20页/共27页2circle1【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得∠BAD=∠C=120°,AB=AD,再结合轴对称的性质可得结论;(2)①如图,设△AEF的外接圆为eO,连接AC交BD于H.连接OA,OE,OF,OC,证明VABC为等边三角形,A,E,F,C共圆,∠AOE=2∠AFE=120°,∠AEO=∠EAO=30°,过O作OJ⊥AE于J,当AE⊥BC时,AE最小,则AO最小,再进一步可得答案;②如图,以A为圆心,AC为半径画圆,可得B,C,F,D在eA上,延长CA与eA交于L,连接DL,证明.∠CFD=180°-30°=∠BAF=120°-30°=90°,,可得:∠BAE=∠FAE=45°,BE=EF,过E一步可得答案.【小问1详解】解:AF=AD,AF⊥AD;理由如下:∵在菱形ABCD中,∠C=120°,∴∠BAD=∠C=120°,AB=AD,∵∠BAF=30°,∴∠FAD=∴AF⊥AD,由对折可得:AB=AF,∴AF=AD;【小问2详解】解:①如图,设△AEF的外接圆为eO,连接AC交BD于H.连接OA,OE,OF,OC,∵四边形ABCD为菱形,∠BCD=120°,∴AC⊥BD,∠BCA=60°,BA=BC,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠AFE=60°=∠ACB,第21页/共27页∴A,E,F,C共圆,∠AOE=2∠AFE=120°,,O在BD上,∵AO=OE,∴∠AEO=∠EAO=30°,过O作OJ⊥AE于J,∴AJ=EJ,AO=∴AO=当AE⊥BC时,AE最小,则AO最小,∵AB=6+6∴AE=AB⋅∴AO=∴r的取值范围为r≥3+3②DF能为eO的切线，理由如下：如图，以A为圆心，AC为半径画圆，∵AB=AC=AF=AD,∴B,C,F,D在eA上,延长CA与eA交于L,连接DL,第22页/共27页同理可得VACD为等边三角形，∴∠CAD=60°,∴∠CLD=30°,∴∠CFD=180°-30°=150°,∵DF为eO的切线,∴∠OFD=90°,∴∠OFC=60°,∵OC=OF,∴△OCF为等边三角形,∴∠COF=60°,∴∠CAF=∴∠DAF=60°-30°=30°,∴∠BAF=120°-30°=90°,由对折可得:∠BAE=∠FAE=45°,BE=EF,过E作EM⊥AF于M,∴设AM=EM=x,∵∠EFM=60°,∴FM=第23页/共27页∴x+解得：x=6∴FM=∴BE=EF=2FM=12.【点睛】本题考查的是轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，切线的性质，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.25.已知抛物线(G:y=ax²-6ax-a³+2a²+1a0)过点A(x₁,2)和点B(x₂,2),直线ll:y=m²x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记VCDA的周长为C₁,△CDB的周长为C₂,且(1)求抛物线G的对称轴；(2)求m的值;(3)直线l绕点C以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t＜45)得到直线l',当l'∥AB时,直线l'交抛物线G于E,F两点.①求t的值;②设△AEF的面积为S，若对于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线G的解析式.【答案】(1)对称轴为直线:x=3;(2)m=±1(3)①t=15,②k的最大值为22,抛物线G为【解析】【分析】(1)直接利用对称轴公式可得答案；(2)如图,由C₁=C₂+2,可得A在B的左边,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2,证明CA=CB,可得AD=BD+2,设D(p,2),建立x1+x2=2×3p-x1=x2(3)①如图,当l'∥AB时,与抛物线交于E,F,由直线y=x+n,可得∠DCF=45°,可得3t=45,从而可得答案;②计算S∨AEF=12EF⋅第24页/共27页x²-6x-a²+2a=0,则x₁+x₂=6,x₁x₂=-a²+2a,可得EF=|x1-x2|=x1+x22【小问1详解】解：∵抛物线G:y=ax²-6ax-a³+2a²+1∴抛物线对称轴为直线：x=-【小问2详解】解:∵直线l:y=m²x+n过点C(3,1),∴3m²+n=1,如图，∵直线l:y=m²x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记VCDA的周长为(C₁,△CDB的周长为C₂,且C₁=C₂+2,∴A在B的左边,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2,∵C在抛物线的对称轴上，∴CA=CB,∴AD=BD+2,设D(p,2),∴第25页/共27页解得:p=4,∴D(4,2),∴∴m²=1,解得:m=±1;【小问3详解】解:①如图,当l'‖AB时，与抛物线交于E，∵直线y=x+n,∴∠DCF=45°,∴3t=45,解得:t=15,circle2∵当y=1时,ax²-∴x²-∴x₁+x₂=∴EF=|==第26页/共27页=∵∴当a=1时,EF的最小值为4∴此时S∵对于任意的a＞0，均有S≥k成立，∴k的最大值为2∴抛物线G为y=x²-【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键.若二次根式若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≤．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：3﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为cm．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．15．关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝﹣．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，再由x12+x22＝变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2＝，即可得到4m2﹣m＝，然后解此方程即可．【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣2m，x1x2＝，∵x12+x22＝，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝，∴4m2﹣m＝，∴m1＝﹣，m2＝，∵Δ＝16m2﹣8m＞0，∴m＞或m＜0时，∴m＝不合题意，故答案为：﹣．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是2．【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，进而得P1A＝P1F1＝AF1＝，求得点F1的坐标为（，0），当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，﹣4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，再由线段中垂线性质得出F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得×OF1×OF2＝×F1F2×h，即××4＝××h，解得h＝2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．【解答】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝PA，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．【点评】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．三、解答题：本题共6个小题，满分72分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）先化简再求值：（m+2﹣）×，其中m＝4．（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．【分析】（1）直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简得出答案；（2）直接解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．【解答】解：（1）原式＝×＝×＝（m﹣3）（m﹣1）＝m2﹣4m+3，当m＝4时，原式＝42﹣4×4+3＝3；（2），解①得：x＞2，解②得：x≤4，故不等式组的解集是：2＜x≤4，解集在数轴上表示：．【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可；（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（负数舍去），所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．19．（12分）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．请根据统计图提供的信息，回答如下问题：（1）x＝30%，y＝16%，并将直方图补充完整；（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是95，众数是94；（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．【分析】（1）先求出被调查的总人数，继而可求得y、x的值；（2）将数据重新排列，再根据中位数和众数的概念求解即可；（3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可；（4）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），∴优秀对应的百分比y＝×100%＝16%，则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），∴其对应的百分比x＝×100%＝30%，补全图形如下：第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．第I卷（选择题36分）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．1.计算：的结果是（）A.5 B.1 C.-1 D.-52.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（）A B. C. D.4.如图所示的几何体的俯视图可能是（）A B. C. D.5.在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（）．A. B. C. D.6.下列计算正确的是（）A. B. C. D.7.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（）A B. C. D.8.日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（）（结果精确到，参考数据：，）A. B. C. D.9.已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（）A. B. C. D.大小无法确定10.若关于的方程解为正数，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且11.在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t大小关系为（）A. B. C. D.12.数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．13.分解因式：_________．14.若点在第四象限，则m的取值范围是__________．15.已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值__________．16.如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：本题共6个小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）化简：；（2）先化简，再求值：，其中．18.2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第