2024−2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷含答案

2024−2025学年高二上学期10月阶段检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．命题“对，都有”的否定为（

）A．对，都有 B．对，都有C．，使得 D．，使得2．已知，，则（

）A． B． C． D．3．设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．4．若函数是奇函数，函数是偶函数，则（

）A．函数是奇函数B．函数是奇函数C．函数是奇函数D．函数是奇函数5．正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（

）A．为一条直线 B．为椭圆C．为与圆O相交的圆 D．为与圆O相切的圆7．集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（

）A． B． C． D．8．已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．方程与方程可表示同一直线C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为D．过两点的直线都可用方程表示10．已知函数下列命题正确的是（

）A．的值域为B．若，则为奇函数C．若只有一个零点，则的取值范围为D．若在上单调递减，则的取值范围为11．如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（

）

A．三棱锥的体积为定值 B．直线平面C．当时， D．直线与平面所成角的正弦值为三、填空题（本大题共3小题）12．函数的定义域为.13．已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为.14．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

(1)求直线的方程；(2)求直线的方程及点的坐标.16．在三角形中，内角所对边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若，三角形的面积为，求三角形的周长.17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X⩾2”的事件概率．18．如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．(1)求证：直线过定点；(2)若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．19．在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的正弦值；(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离;(3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；（ii）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

参考答案1．【答案】C【详解】命题“对，都有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求否定是：，使得.故选：C.2．【答案】A【详解】由诱导公式得，又由，可得．故选：A.3．【答案】C【详解】，则，即，故.故选：C4．【答案】C【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数，A选项，，所以是偶函数，A选项错误.B选项，，所以函数是偶函数，B选项错误.C选项，，所以函数是奇函数，C选项正确.D选项，，所以函数是非奇非偶函数，D选项错误.故选：C5．【答案】D【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为，则，解得，所以的取值范围是.故选：D.6．【答案】D【详解】设点坐标为，设Px0,y0，由，可得则，所以，即，把代入圆，则点的轨迹的方程为：，即是圆心为，半径为1的圆，则，由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆O相切的圆.故选：D.7．【答案】B【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，当直线，则，则，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，所以满足条件的有4种情况，所以满足条件的概率.故选：B8．【答案】B【详解】由题意可得，，直线的斜率为．因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．故选：B．9．【答案】AD【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确；对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误；对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，所以直线方程为或，故C错误；对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点Px1,y故选：AD.10．【答案】BCD【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可.【详解】当时，时，，时，，所以的值域不为R，A错误.若时，图象如图，由图可知为奇函数，B正确.当时，时，，时，，有两个零点，当时，时，，只有一个零点，当时，时，，时，，时，，只有一个零点，所以，若只有一个零点，则的取值范围为，C正确.若在R上单调递减，则时，在上单调递减，则有，即的取值范围为，D正确.故选BCD.11．【答案】AD【详解】

对于A，如图1，因,故A正确；

对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,于是，，设平面的法向量为，则，故可取，由知与不垂直，故直线与平面不平行，即B错误；对于C，由上图建系，则,,因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，，由题意，，即，于是，此时，故与不垂直，即C错误；对于D，由图知平面的法向量可取为，因，设直线与平面所成角为，则，故D正确.故选：AD.12．【答案】【详解】要使函数解析式有意义，则有，即，解得，故函数的定义域为.故答案为：.13．【答案】【详解】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系，则，，，，设构成的一次函数为，代入，，得，得，即，因点P在线段BC上，可设，其中，则，，，因，故当时取最小值为.故答案为：14．【答案】【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为，由于直线与x轴的交点为，由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为，①若点M和点A重合，如图：则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，求得.②若点M在点O和点A之间，如图：此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即，即，可得，求得，故有.③若点M在点A的左侧，则，由点M的横坐标，求得.设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即，化简可得，由于此时，所以，两边开方可得，所以，故有.综上可得b的取值范围应是.故答案为：.15．【答案】(1)(2)直线的方程为：，【详解】（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程．（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，，关于角平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为，将、方程联解，得，，因此，可得点的坐标为．16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因为，所以，因此，所以，所以.（2）由的面积为，得，解得，又,则，.由余弦定理得，解得，，所以的周长为.17．【答案】（1）415；（2）1725【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中3号歌手的概率；利用PAB=PA⋅PB求得结果；（2）根据PX⩾2=P【详解】（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”则PA=C2∵事件A与B相互独立，A与B相互独立则AB表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3∴PA即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是415（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则PC依题意，A，B，C相互独立，A，B，C相互独立，且ABC，ABC，ABC∴PX=2PX=3=PABC故“X⩾2”的事件的概率为1725【关键点拨】本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率.18．【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由题知，圆的标准方程为，所以圆心，半径，因为是圆的两条切线，所以，，所以A，B在以PC为直径的圆上，又因为，且PC的中点为，所以以PC为直径的圆M的方程为，化简可得，所以AB为圆C与圆M的公共弦，所以直线AB的方程为，令，解得，所以直线过定点；（2）当PA，PB有一条斜率不存在，即时，不妨设PA的斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，，设直线PB的方程为，由圆心到PB的距离，解得，所以直线PB的方程为，所以，此时，；同理斜率不存在时；当PA，PB斜率均存在，即时，设过点的切线方程为，即，因为PA，PB与圆C相切，所以圆心C到直线的距离，即，，设PA，PB的斜率分别为，，则，，又点在直线上，点在直线上，，，所以而，所以．又因为且，所以当时，，此时．综上，面积的最小值为．19．【答案】(1)(2)(3)（i）16；（ii）【详解】（1）因为直线的标准式方程为，所以直线的方向向量为，又平面的点法式方程可表示为，所以平面的法向量为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（2）因为平面的点法式方程可表示为，所以平面的法向量为，设点是平面上一点，则，不妨令，则，即点是平面上