2024-2025学年新教材高中数学 第6章 导数及其应用 6.2 利用导数研究函数的性质 6.2.1 导数与函数的单调性教案 新人教B版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性教案新人教B版选择性必修第三册课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容本节课的教学内容来自于2024-2025学年新教材高中数学第6章导数及其应用的第6.2节利用导数研究函数的性质，具体是6.2.1节导数与函数的单调性。本节课的主要内容有：

1.学习导数的基本概念，理解导数的几何意义；

2.掌握利用导数判断函数的单调性，学会运用导数求解函数的单调区间；

3.能够运用导数分析实际问题中的函数单调性，提高解决实际问题的能力。

教学过程中，我将结合教材内容和学生的学习情况，设计一系列具有针对性的教学活动，帮助学生深入理解导数与函数单调性的关系，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。二、核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等数学核心素养。具体包括：

1.数学抽象：使学生能够从具体实例中抽象出导数的基本概念，理解导数的几何意义。

2.逻辑推理：培养学生运用导数判断函数单调性，并能够运用逻辑推理证明函数的单调性。

3.数学建模：培养学生运用导数分析实际问题中的函数单调性，提高解决实际问题的能力。

4.直观想象：通过图形演示和实际例子，帮助学生直观地理解导数与函数单调性的关系。三、学习者分析1.学生已经掌握了相关知识：在学习本节之前，学生应该已经掌握了导数的基本概念，包括导数的定义、计算方法以及导数的几何意义。此外，学生还应该具备一定的函数知识，如函数的单调性、极值等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：针对本节课的内容，学生可能对利用导数研究函数的单调性产生浓厚兴趣，因为这一部分内容与日常生活和实际应用紧密相连。在能力方面，学生需要具备一定的逻辑推理能力和数学抽象思维，以便能够理解并运用导数判断函数的单调性。在学习风格上，学生可能更倾向于通过实际例子和图形演示来理解抽象的数学概念。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在学习本节课的过程中，学生可能会遇到以下困难和挑战：（1）如何从具体实例中抽象出导数与函数单调性的关系；（2）如何运用逻辑推理证明函数的单调性；（3）如何将导数知识应用于解决实际问题。针对这些困难和挑战，教师需要设计具有针对性的教学活动，引导学生克服困难，提高学生的学习效果。四、教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、黑板、粉笔、导数计算器等。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学课程网站、在线教育平台等。

3.信息化资源：与本节课相关的教学视频、动画、图形演示软件、数学软件等。

4.教学手段：讲授法、案例教学法、问题驱动法、小组讨论法、实践活动法等。五、教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数及其应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道导数是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”

展示一些关于导数的图片或视频片段，让学生初步感受导数的魅力或特点。

简短介绍导数的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解导数的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解导数的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍导数的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.导数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的导数案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解导数在数学和实际问题中的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用导数解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与导数相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数及其应用的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括导数的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调导数在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用导数。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于导数及其应用的短文或报告，以巩固学习效果。六、知识点梳理1.导数的基本概念：

-导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

-导数的计算方法：利用导数的基本公式、导数的四则运算法则、复合函数的导数等。

-导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点的切线斜率。

2.利用导数判断函数的单调性：

-单调增函数：当函数的导数大于0时，函数在该区间内单调递增。

-单调减函数：当函数的导数小于0时，函数在该区间内单调递减。

-单调性变化的点：当函数的导数从正变负或从负变正时，函数在该点单调性发生改变。

3.利用导数求解函数的单调区间：

-求解单调增区间：找出函数导数大于0的区间。

-求解单调减区间：找出函数导数小于0的区间。

4.导数在实际问题中的应用：

-优化问题：利用导数求解函数的最值问题。

-物理学中的应用：速度、加速度、曲线运动等问题。

-生活中的应用：成本、收益、斜率等问题。

5.导数的图像分析：

-单调性分析：通过观察函数图像的斜率变化，判断函数的单调性。

-极值分析：通过观察函数图像的转折点，确定函数的极值。

6.导数的极限概念：

-极限的定义：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于的值。

-极限的计算方法：利用极限的基本性质、运算法则等。

7.导数与函数的凹凸性：

-凹函数：当函数的二阶导数大于0时，函数图像在该区间内向下凹。

-凸函数：当函数的二阶导数小于0时，函数图像在该区间内向上凸。七、课堂小结，当堂检测1.课堂小结：

-导数及其应用是高中数学中的重要内容，通过本节课的学习，学生应掌握导数的基本概念、计算方法、几何意义以及利用导数研究函数的单调性。

-学生应能够运用导数判断函数的单调性，求解函数的单调区间，并理解导数在实际问题中的应用。

-学生应通过案例分析，掌握导数在优化问题、物理学中的应用以及生活中的实际问题解决方法。

-学生应了解导数的图像分析方法，包括单调性分析和极值分析。

-学生应掌握导数的极限概念，理解极限的定义和计算方法。

-学生应了解导数与函数的凹凸性关系，能够判断函数的凹凸性。

2.当堂检测：

-选择题：判断以下说法是否正确，并解释原因。

a.函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。

b.当函数的导数大于0时，函数在该区间内单调递增。

c.函数的二阶导数大于0时，函数图像在该区间内向下凹。

-计算题：求解以下函数的单调区间。

a.f(x)=x^2

b.g(x)=3x^2-2x+1

-应用题：利用导数解决实际问题。

a.一辆汽车从静止开始加速，其速度函数为v(t)=2t+3，求汽车加速到6m/s所需的时间。

b.某商品的售价为100元，商家决定每增加1元售价，销量减少2件，求商品售价与利润的关系。八、教学反思与总结1.教学反思：

在本节课的教学中，我注重了导数基本概念的讲解，通过实例和图形演示，让学生更好地理解了导数的几何意义。在案例分析环节，我选择了与学生生活实际相关的问题，激发了学生的学习兴趣，使他们能够主动参与到课堂讨论中。此外，我还将学生分组进行讨论，培养了他们的合作能力和解决问题的能力。

然而，在教学过程中，我也发现了一些问题。例如，在讲解导数的计算方法时，部分学生对于一些复杂的函数导数计算仍然感到困难。在课堂展示环节，部分学生对于如何清晰、准确地表达自己的思考和结论还存在一定的障碍。这些问题都需要我在今后的教学中加以改进。

2.教学总结：

总体来说，本节课的教学效果还是达到了预期的目标。大部分学生能够理解并掌握导数的基本概念和计算方法，能够运用导数判断函数的单调性，并解决一些实际问题。学生在小组讨论中表现出了较高的合作意识和问题解决能力。

然而，也有部分学生在导数的理解和应用上还存在一定的困难。这可能是因为他们对基础知识掌握不牢，或者是因为思维方式和方法不当。针对这些问题，我计划在今后的教学中加强对基础知识的复习和巩固，同时引导学生运用正确的思维方法，提高他们的数学思维能力。

3.改进措施和建议：

（1）在讲解导数的基本概念和计算方法时，尽量使用简单明了的语言和实例，避免使用过于复杂的数学表达式和证明过程。

（2）在案例分析环节，多选择一些与学生生活实际相关的问题，激发他们的学习兴趣和动力。

（3）在小组讨论环节，引导学生明确自己的思考和结论，并能够清晰、准确地表达出来。

（4）在课后，及时对学生的学习情况进行反馈和评价，鼓励他们总结经验，不断进步。板书设计①导数的概念：f'(x)表示函数f(x)在某一点的导数，即该点的切线斜率。

②导数的计算方法：导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数等。

③导数与函数的单调性：导数大于0时，函数单调递增；导数小于0时，函数单调递减；导数等于0时，函数单调性改变。

2.艺术性和趣味性

①板书设计采用彩色粉笔，突出重点，增加视觉吸引力。

②在讲解导数的几何意义时，利用图形和箭头展示导数与函数图像的关系，使抽象概念形象化。

③在案例分析环节，将实际问题以故事或情景剧的形式呈现，增加课堂趣味性，激发学生学习兴趣。

④利用多媒体设备，展示动态的导数计算过程和函数图像的变化，使学生更直观地理解导数的应用。

⑤设计一些有趣的数学题目或游戏，让学生在轻松愉快的氛围中学习导数知识。典型例题讲解1.例1：求函数f(x)=x^2的导数。

答案：f'(x)=2x。

2.例2：求函数f(x)=3x^2-2x+1的导数。

答案：f'(x)=6x-2。

3.例3：求函数f(x)=e^x的导数。

答案：f'(x)=e^x。

4.例4：求函数f(x)=ln(x)的导数。

答案：f'(x)=1/x。

5.例5：求函数f(x)=sin(x)的导数。

答案：f'(x)=cos(x)。

6.例6：求函数f(x)=cos(x)的导数。

答