江苏省灌南县2024年中考猜题数学试卷（含解析）

江苏省灌南县2024年中考猜题数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，A、B、C>D四个点均在。O上，NAOD=50。，AO〃DC,则NB的度数为（）

2.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现，摸到

红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有（）

A.16个B.15个C.13个D.12个

3.有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体，若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图

和左视图不变，最多可以再添加小正方体的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

4.2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大

载客人数168人，最大航程约5550公里.数字5550用科学记数法表示为（）

A.0.555X104B.5.55X103C.5.55xl04D.55.5X103

5.如图：将一个矩形纸片ABC。，沿着助折叠，使C、。点分别落在点G，。处.若NG5A=50°,则/钻石的度

数为（）

6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（-5,2）,先把△ABC向右平移4个单位长

度得到AA1B1C1,再作与△AiBiCi关于于x轴对称的4A2B2C2,则点B的对应点B2的坐标是（）

7.如图，是半圆。的直径，点C、。是半圆。的三等分点，弦CD=2.现将一飞镖掷向该图，则飞镖落在阴影区

8.两个一次函数%=以+6,y2=bx+a,它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）

D.

9.如图，AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=1.点P是斜边AB上一点.过点P作PQLAB,垂足为P,交边

AC（或边CB）于点Q,设AP=x,AAPQ的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）

@Z2=90°；②N1=NAEC；@AABE^Z\ECF；®ZBAE=Z1.

A.1个B.2个C.1个D.4个

11.图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正

方体的位置是（）

图1

A.①B.②C.③D.④

12.主席在2018年新年贺词中指出，2017年，基本医疗保险已经覆盖1350000000人.将1350000000用科学记数法

表示为（）

A.135X107B.1.35X109C.13.5xl08D.1.35X1014

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.在平面直角坐标系xOy中，位于第一象限内的点A（1,2）在x轴上的正投影为点A，，则cosNAOA，=_.

14.如图，a//b,Zl=110°,N3=40。，则N2=

15.把抛物线y=x2-2x+3沿x轴向右平移2个单位，得到的抛物线解析式为

16.已知正方形ABCD的边长为8,E为平面内任意一点，连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90。得到DG,当

点B,D,G在一条直线上时，若DG=2后'，则CE的长为.

17.如图，已知△ABC中，ZABC=50°,P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M

在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则NAPC的度数为

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：

今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数，物价各几何？

译文为：

现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格

是多少？

请解答上述问题.

20.（6分）在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球，这些球除颜色外均相同

⑴搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率是.

⑵甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球，记录颜色后不放回，试求出乙摸到白球的概率

21.（6分）平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax?+bx+3与y轴相交于点C,与x轴正半轴相交于点A,

OA=OC,与x轴的另一个交点为B,对称轴是」直线x=l,顶点为P.

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M,求NPMC的正切值，；

（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标.

22.（8分）如图，现有一块钢板余料ABCED,它是矩形缺了一角，

NA=NB=ND=90°,AB=6dm,AD=10dm,BC=4dm,ED=2曲?.王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形

AFPQ（尸为线段CE上一动点）.^AF=x,矩形人尸尸。的面积为V.

（1）求y与X之间的函数关系式，并注明x的取值范围；

（2）x为何值时，y取最大值？最大值是多少？

B

23.（8分）发现

如图1,在有一个“凹角/44必3”“边形AM2A3A4……4中（〃为大于3的整数），/44必3=

NA1+NA3+NA4+NA5+NA6+.........+NA”-(n-4)xl80°.

验证如图2,在有一个“凹角乙430的四边形ABC。中，证明：ZABC^ZA+ZC+ZD.证明3,在有一个“凹角NA3cM

的六边形A5CZJE歹中，证明；ZABC=ZA+ZC+Z£)+ZE+ZF-360°.

延伸如图4,在有两个连续“凹角A1A2A3和NA1A344”的四边形44243A4.…4中（”为大于4的整数）,

NAiA2A3+NAM3A4=NA1+NA4+NA5+NA6......+NA"-(n)xl80°.

24.(10分)问题探究

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使AAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形AAPD,并求出此时BP的长；

(2)如图②，在△ABC中，ZABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=ND=90。，AB=270m,

AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

25.(10分)随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟

通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统

计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

⑴这次统计共抽查了名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一°;

⑵将条形统计图补充完整；

(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

(4)甲、乙两名同学从微信，QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求

出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.

26.(12分)已知：如图，口ABCD中，BD是对角线，AE_LBD于E,CF_LBD于F.求证：

D

F

BE=DF.

27.（12分）如图，港口B位于港口A的南偏东37。方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南

方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45。方向上，这时，E处

距离港口A有多远？（参考数据：sin37o^0.60,cos37o^0.80,tan37o^0.75）

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

试题分析：连接OC,根据平行可得：ZODC=ZAOD=50°,则NDOC=80。，则NAOC=130。，根据同弧所对的圆周角

等于圆心角度数的一半可得：NB=130*2=65。.

考点：圆的基本性质

2、D

【解析】

由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.

【详解】

解：设白球个数为：x个，

•.•摸到红色球的频率稳定在25%左右，

/.口袋中得到红色球的概率为25%,

41

------=—,

4+x4

解得：x=12,

经检验x=12是原方程的根，

故白球的个数为12个.

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题的关键.

3、C

【解析】

若要保持俯视图和左视图不变，可以往第2排右侧正方体上添加1个，往第3排中间正方体上添加2个、右侧两个正

方体上再添加1个，

即一共添加4个小正方体，

故选C.

4、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中lW|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【详解】

解：5550=5.55x1.

故选B.

【点睛】

本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中心同＜10,"为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

5、B

【解析】

根据折叠前后对应角相等可知.

解：设NABE=x,

根据折叠前后角相等可知，ZClBE=ZCBE=50°+x,

所以50°+x+x=90°,

解得x=20°.

故选B.

“点睛”本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠

前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

6、D

【解析】

首先利用平移的性质得到△AiBiCi中点B的对应点Bi坐标,进而利用关于x轴对称点的性质得到AA2B2c2中B2的坐

标，即可得出答案.

【详解】

解：把△ABC向右平移4个单位长度得到△AiBiCi,此时点B(-5,2)的对应点Bi坐标为(-1,2),

则与△AiBiCi关于于x轴对称的△A2B2c2中B2的坐标为(-1,-2),

故选D.

【点睛】

此题主要考查了平移变换以及轴对称变换，正确掌握变换规律是解题关键.

7、D

【解析】

连接OC、OD、BD,根据点C,O是半圆0的三等分点，推导出。且A30。是等边三角形，阴影部分面积转

化为扇形的面积，分别计算出扇形30。的面积和半圆的面积，然后根据概率公式即可得出答案.

【详解】

解：如图，连接。C、0D、BD,

•.•点C、O是半圆。的三等分点,

•*.AC=CD=DB>

:.NAOC=NCOZ>=NOO3=60。，

,:OC=OD,

是等边三角形，

:.OC=OD=CD,

•/CD=2,

：.OC=OD=CD=2,

"：OB=OD,

：./\BOD是等边三角形，则N003=60。，

:.ZODB=ZCOD^6Q0,

：.OC//BD,

•・sBCD=sBOD,

.60%-OD260%x222乃

•*s阴影=s扇形OBD=--——----=----——---=——>

3603603

22

兀■OD%x2

5半圆。=------------=----------=2n,

22

飞镖落在阴影区域的概率=2?万-2万=；1,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是把求不规则图形的面积

转化为求规则图形的面积.

8、B

【解析】

根据各选项中的函数图象判断出a、b的符号，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解.

【详解】

解：由图可知，A、B、C选项两直线一条经过第一三象限，另一条经过第二四象限，

所以，a、b异号，

所以，经过第一三象限的直线与y轴负半轴相交，经过第二四象限的直线与y轴正半轴相交，

B选项符合，

D选项，a、b都经过第二、四象限，

所以，两直线都与y轴负半轴相交，不符合.

故选:B.

【点睛】

本题考查了一次函数的图象，一次函数y=kx+b(k/0),k>0时，一次函数图象经过第一三象限，k<0时，一次函数

图象经过第二四象限，b>0时与y轴正半轴相交，b<0时与y轴负半轴相交.

9、D

【解析】

2

解：当点。在AC上时，•.,NA=30。，AP=x,.•.P2=xtan3(r=:：,：.y={xAPxPQ=^xxx-Z=^x；

，••，$

当点。在8c上时，如下图所示:

'：AP=x,AB=1,ZA=30°,：.BP=l-x,N3=60°,...PQuB尸•tan60°=s'Z(1-x),二二二二二=iAP»PQ=-Z-.7，一二

=-二二；-。匚二，，该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下.故选D.

点睛：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点。在BC上这种情况.

10、C

【解析】

VZ1+Z1=Z2,Zl+Zl+Z2=180°,

.*.Z1+Z1=Z2=9O°,故①正确；

VZ1+Z1=Z2,...NIRNAEC.故②不正确；

VZ1+Z1=9O0,Zl+ZBAE=90°,

：.Z1=ZBAE,

又TN5=NC,

故③，④正确；

故选C.

11,A

【解析】

由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.

【详解】

将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体，

故选A.

【点睛】

本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意：只要有“田”字格的

展开图都不是正方体的表面展开图.

12、B

【解析】

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中K|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时,

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝

对值VI时，n是负数.

【详解】

将1350000000用科学记数法表示为：1350000000=1.35xl09,

故选B.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式,其中K|a|V10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值及n的值.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、好.

5

【解析】

依据点A(1,2)在x轴上的正投影为点A，，即可得到A，O=1,AA'=2,AO=J5.进而得出cosNAOA，的值.

【详解】

如图所示，点A(1,2)在x轴上的正投影为点A，，

K

AA0=1,AA=2,

JAO=出,

MAOA，*—/

AOy/55

故答案为：f.

【点睛】

本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题

的基本方法和规律.

14、1

【解析】

试题解析：如图,

；a〃b,Z3=40°,

,•.Z4=Z3=40°.

VZ1=Z2+Z4=11O°,

:.Z2=110o-Z4=110o-40o=l0.

故答案为：1.

15、y=(x-3)2+2

【解析】

根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.

【详解】

解：y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其顶点坐标为(1,2).

向右平移2个单位长度后的顶点坐标为(3,2),得到的抛物线的解析式是y=(x-3)2+2,

故答案为：y=(x-3)2+2.

【点睛】

此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.

16、2屈或2底.

【解析】

本题有两种情况，一种是点G在线段3。的延长线上，一种是点G在线段3。上，解题过程一样，利用正方形和三角

形的有关性质，求出MD、MG的值，再由勾股定理求出AG的值，根据SAS证明AGD咨.CED,可得CE=AG,

即可得到CE的长.

【详解】

解：

E

D

图3

当点G在线段的延长线上时，如图3所示.

过点6作。0，4£）于

BD是正方形ABCD的对角线，

:.ZADB=ZGDM=45°,

GM1AD,DG=2桓,

:.MD=MG=2,

在RJAMG中，由勾股定理，得:

AG=y/AM^+MG2=2726，

在一AGO和一CEO中，GD=ED,AD=CD,

ZADC=ZGDE=90°,

:.ZADG=/CDE

:._AGD^CED

CE=AG=2726，

当点G在线段3D上时，如图4所示.

过G作GAfLAD于M.

瓦)是正方形ABCD的对角线，

..ZA£)G=45。

GM±AD,DG=272,

:.MD=MG=2,

:.AM^AD-MD=6

在HJAMG中，由勾股定理，得：

AG=VAM2+MG2=2M

在AGO和.C£D中，GD=ED,AD=CD,

ZADC=ZGDE=90°,

:.ZADG=/CDE

AGD^CED

CE=AG=2M，

故答案为2JIU或2房.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.

17、115°

【解析】

根据三角形的内角和得到NBAC+NACB=130。，根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形

的性质得到NMAP=NAPM,ZCPN=ZPCN,推出NMAP+NPCN=NPAC+/ACP=Lxl30。=65。，于是得到结论.

2

【详解】

VZABC=50°,

:.ZBAC+ZACB=130°,

\•若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，

；.AM=PM,PN=CN,

/.ZMAP=ZAPM,ZCPN=ZPCN,

,.,ZAPC=180°-ZAPM-ZCPN=180°-ZPAC-ZACP,

/.ZMAP+ZPCN=ZPAC+ZACP=-xl30°=65°,

2

.,.ZAPC=115°,

故答案为：115。

【点睛】

本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解

题的关键.

18、a(a-3)2

【解析】

根据因式分解的方法与步骤，先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可.

【详解】

解：«3-6«2+9a

=a(a2-6a+9)

=a(«-3)2

故答案为：«(a-3)2.

【点睛】

本题考查因式分解的方法与步骤，熟练掌握方法与步骤是解答关键.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、共有7人，这个物品的价格是53元.

【解析】

根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.

【详解】

解：设共有x人，这个物品的价格是y元,

68x-+34==y,"x=7,

。=53,

答：共有7人，这个物品的价格是53元.

【点睛】

本题考查了二元一次方程的应用.

21

20、(l)y;(2)—.

【解析】

(1)直接利用概率公式求解;

(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出乙摸到白球的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】

2

解：(1)搅匀后从袋中任意摸出1个球，摸出红球的概率是§；

2

故答案为：—；

3

红白

/\/\

红白红红

白红红红

共有6种等可能的结果数，其中乙摸到白球的结果数为2,

2I

所以乙摸到白球的概率=：=；；.

63

【点睛】

本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数

目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

21、(1)(1,4)(2)(0,工)或(0,-1)

2

【解析】

试题分析：(1)先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用

待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；

(2)由OC//PM,可得/PMC=/MCO,求tanZMCO即可；

(3)分情况进行讨论即可得.

试题解析：(1)当x=0时,抛物线y=ax?+bx+3=3,所以点C坐标为(0,3),.*.OC=3,

VOA=OC,，OA=3,.,.A(3,0),

,:A、B关于x=l对称，AB(-1,0),

,:A、B在抛物线y=ax?+bx+3上，

9iz+3b+3=0tz=—1

a-b+3=Q，'[b=2，

抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

顶点P(1,4)；

(2)由(1)可知P(1,4),C(0,3),所以M(1,0),/.OC=3,OM=1,

VOC//PM,AZPMC=ZMCO,

OM1

...tanNPMC=tan/MCO=——=-；

OC3

(3)Q在C点的下方，NBCQ=/CMP,

CM=V10,PM=4,BC=V10»

•-B-C-=-C--M----B--C-=-C--M-

"CQPMCQPM'

5T

..CQ=a或4,

•,.Qi(0,(0,-1).

(1)x=U时，y取最大值，为忠.

26

【解析】

PHx-46-z—

(1)分别延长DE,FP,与BC的延长线相交于G,H,由AF=x知CH=x-4,根据——=——，即^―=----可

CGGE64

得Z=^三生，利用矩形的面积公式即可得出解析式;

3

(1)将(1)中所得解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质解答可得.

【详解】

与BC的延长线相交于G,H,

.\CH=x-4,

设AQ=z,PH=BQ=6-z,

VPH/7EG,

CHPHx-46-z

——=——，即an

CGGE64

26-2x

化简得Z-

3

26-2x2,26,、

••y=•x=--xx+—X(4<x<10)；

333

2,262"3,

(1)y="-xl+—x="—

33326

当x=»dm时，y取最大值，最大值是乎dmL

26

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质得出矩形另一边AQ的长及二次函数的性质.

23、(1)见解析；(2)见解析；(3)1.

【解析】

(1)如图2,延长A3交CD于E,可知NA3C=N3EC+NC,NBEC=NA+ND,即可解答

(2)如图3,延长A8交于G,可知NABC=N8GC+NG即可解答

(3)如图4,延长A2A3交4以4于C,延长4弘2交A14于8,可知NAiA2A3+NA243A4=/4+/2+/4+/4,再找

出规律即可解答

【详解】

(1)如图2,延长交C£>于E,

贝！|NA5C=N5EC+NC,ZBEC^ZA+ZD,

：.ZABC=ZA+ZC+ZD；

(2)如图3,延长AB交CD于G,贝|NABC=NJBGC+NC,

VZBGC=1800-ZBGC,ZBGZ>=3xl80°-(NA+NO+NE+N尸)，

:.ZABC=ZA+ZC+ZD+ZE+ZF-310°；

(3)如图4,延长A2A3交于C,延长A3A2交414于5,

则2^A1A2A3+A2A3A4—NA1+N2+NA4+N4,

VZ1+Z3=(n-2-2)xl80°-(ZA5+ZA1……+ZAn),

而N2+N4=310。-(Z1+Z3)=310。-[(n-2-2)xl80°-(NA5+NA1……+ZA„)],

；・NAiA2A3+NAIAJA4=NA1+NA4+NA5+NA1.......+NA〃-Cn-1)xl80°.

故答案为1.

1

5

A4

图4

FA

E

Bl

此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型

24、(1)1；2-77;"(1)4+73；(4)(200-2573-4072)米.

【解析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作。O,易证OO与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足NAMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,

贝！JPA=PD.

/.△PAD是等腰三角形.

•.•四边形ABCD是矩形,

；.AB=DC,ZB=ZC=90°.

,."PA=PD,AB=DC,

ARtAABP^RtADCP(HL).

；.BP=CP.

VBC=2,

.,.BP=CP=1.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，，如图①,

贝！JDA=DP'.

•••△PAD是等腰三角形.

•四边形ABCD是矩形，

；.AD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

，DC=4,DPr=2.

.•5="—32="

:.BP，=2-币.

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P”,如图①，

贝！]AD=AP".

.•.△P"AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=J7.

综上所述：在等腰三角形AADP中，

若PA=PD,贝!)BP=1；

若DP=DA,贝!]BP=2-77；

若AP=AD,贝!|BP=近.

(1)VE,F分别为边AB、AC的中点，

；.EF〃BC,EF=-BC.

2

VBC=11,

AEF=4.

以EF为直径作。O,过点O作OQLBC,垂足为Q,连接EQ、,如图②.

A

BGD0C

图②

VAD±BC,AD=4,

AEF与BC之间的距离为4.

.\OQ=4

/.OQ=OE=4.

.•.(DO与BC相切，切点为Q.

；EF为。O的直径，

.,.ZEQF=90°.

过点E作EGLBC,垂足为G,如图②.

VEG1BC,OQ1BC,

，EG〃OQ.

；EO〃GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,

/.四边形OEGQ是正方形.

/.GQ=EO=4,EG=OQ=4.

VZB=40°,ZEGB=90°,EG=4,

；.BG=6.

.•.BQ=GQ+BG=4+3

.•.当NEQF=90。时，BQ的长为

(4)在线段CD上存在点M,使NAMB=40。.

理由如下：

以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG,

作GP_LAB,垂足为P,作AK_LBG,垂足为K.

设GP与AK交于点O,以点。为圆心，OA为半径作。O,

过点。作OHLCD,垂足为H,如图③.

则。0是4ABG的外接圆，

,••△ABG是等边三角形，GP±AB,

1

AAP=PB=-AB.

2

VAB=170,

AAP=145.

VED=185,

.*.OH=185-145=6.

二•△ABG是等边三角形，AK±BG,

.\ZBAK=ZGAK=40o.

；・OP=AP*tan40°

=145x1

3

=25G

.*.OA=lOP=9073.

/.OH<OA.

...（DO与CD相交，设交点为M,连接MA、MB,如图③.

:.NAMB=NAGB=40。，OM=OA=906..

VOH±CD,OH=6,OM=905

**-HM=y/oM2-OH2=7（90A^）2-1502=40五•

VAE=200,OP=256,

.\DH=200-25V3.

若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=200-256+40夜.

V200-2573+400>420,

/.DM>CD.

.•.点M不在线段CD上，应舍去.

若点M在点H的右边，则DM=DH-HM=200-25逝-400.

V200-2573-40^2<420,

/.DM<CD.

点M在线段CD上.

综上所述：在线段CD上存在唯一的点M,使NAMB=40。，

此时DM的长为(200-256-40&)米.

【点睛】

本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周

角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探

究等能力，综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

25、(1)120,54；(2)补图见解析；(3)660名；(4)；.

【解析】

⑴用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用360。乘以样本中电话人数所占比例；

⑵先计算出喜欢使用短信的人数，然后补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可；

(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数，然后根据概率公

式求解.

【详解】

1Q

解：(1)这次统计共抽查学生24+20%=120(人)，其中最喜欢