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文档简介
江苏省灌南县2024年中考猜题数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.如图,A、B、C>D四个点均在。O上,NAOD=50。,AO〃DC,则NB的度数为()
2.在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,他们除颜色外其他完全相同.通过多次摸球实验后发现,摸到
红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有()
A.16个B.15个C.13个D.12个
3.有若干个完全相同的小正方体堆成一个如图所示几何体,若现在你手头还有一些相同的小正方体,如果保持俯视图
和左视图不变,最多可以再添加小正方体的个数为()
A.2B.3C.4D.5
4.2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功,圆了中国人的“大飞机梦”,它颜值高性能好,全长近39米,最大
载客人数168人,最大航程约5550公里.数字5550用科学记数法表示为()
A.0.555X104B.5.55X103C.5.55xl04D.55.5X103
5.如图:将一个矩形纸片ABC。,沿着助折叠,使C、。点分别落在点G,。处.若NG5A=50°,则/钻石的度
数为()
6.如图,在平面直角坐标系中,△ABC位于第二象限,点B的坐标是(-5,2),先把△ABC向右平移4个单位长
度得到AA1B1C1,再作与△AiBiCi关于于x轴对称的4A2B2C2,则点B的对应点B2的坐标是()
7.如图,是半圆。的直径,点C、。是半圆。的三等分点,弦CD=2.现将一飞镖掷向该图,则飞镖落在阴影区
8.两个一次函数%=以+6,y2=bx+a,它们在同一直角坐标系中的图象大致是()
D.
9.如图,AABC中,ZACB=90°,ZA=30°,AB=1.点P是斜边AB上一点.过点P作PQLAB,垂足为P,交边
AC(或边CB)于点Q,设AP=x,AAPQ的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为()
@Z2=90°;②N1=NAEC;@AABE^Z\ECF;®ZBAE=Z1.
A.1个B.2个C.1个D.4个
11.图1和图2中所有的正方形都全等,将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置,所组成的图形不能围成正
方体的位置是()
图1
A.①B.②C.③D.④
12.主席在2018年新年贺词中指出,2017年,基本医疗保险已经覆盖1350000000人.将1350000000用科学记数法
表示为()
A.135X107B.1.35X109C.13.5xl08D.1.35X1014
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.在平面直角坐标系xOy中,位于第一象限内的点A(1,2)在x轴上的正投影为点A,,则cosNAOA,=_.
14.如图,a//b,Zl=110°,N3=40。,则N2=
15.把抛物线y=x2-2x+3沿x轴向右平移2个单位,得到的抛物线解析式为
16.已知正方形ABCD的边长为8,E为平面内任意一点,连接DE,将线段DE绕点D顺时针旋转90。得到DG,当
点B,D,G在一条直线上时,若DG=2后',则CE的长为.
17.如图,已知△ABC中,ZABC=50°,P为△ABC内一点,过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N.若M
在PA的中垂线上,N在PC的中垂线上,则NAPC的度数为
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:
今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数,物价各几何?
译文为:
现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元,问共有多少人?这个物品的价格
是多少?
请解答上述问题.
20.(6分)在一个不透明的布袋中装两个红球和一个白球,这些球除颜色外均相同
⑴搅匀后从袋中任意摸出1个球,摸出红球的概率是.
⑵甲、乙、丙三人依次从袋中摸出一个球,记录颜色后不放回,试求出乙摸到白球的概率
21.(6分)平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax?+bx+3与y轴相交于点C,与x轴正半轴相交于点A,
OA=OC,与x轴的另一个交点为B,对称轴是」直线x=l,顶点为P.
(1)求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标;
(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点M,求NPMC的正切值,;
(3)点Q在y轴上,且△BCQ与△CMP相似,求点Q的坐标.
22.(8分)如图,现有一块钢板余料ABCED,它是矩形缺了一角,
NA=NB=ND=90°,AB=6dm,AD=10dm,BC=4dm,ED=2曲?.王师傅准备从这块余料中裁出一个矩形
AFPQ(尸为线段CE上一动点).^AF=x,矩形人尸尸。的面积为V.
(1)求y与X之间的函数关系式,并注明x的取值范围;
(2)x为何值时,y取最大值?最大值是多少?
B
23.(8分)发现
如图1,在有一个“凹角/44必3”“边形AM2A3A4……4中(〃为大于3的整数),/44必3=
NA1+NA3+NA4+NA5+NA6+.........+NA”-(n-4)xl80°.
验证如图2,在有一个“凹角乙430的四边形ABC。中,证明:ZABC^ZA+ZC+ZD.证明3,在有一个“凹角NA3cM
的六边形A5CZJE歹中,证明;ZABC=ZA+ZC+Z£)+ZE+ZF-360°.
延伸如图4,在有两个连续“凹角A1A2A3和NA1A344”的四边形44243A4.…4中(”为大于4的整数),
NAiA2A3+NAM3A4=NA1+NA4+NA5+NA6......+NA"-(n)xl80°.
24.(10分)问题探究
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使AAPD为等腰三角形,那么请画出满足
条件的一个等腰三角形AAPD,并求出此时BP的长;
(2)如图②,在△ABC中,ZABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6
时,BC边上存在一点Q,使NEQF=90。,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用
来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知NA=NE=ND=90。,AB=270m,
AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。?若存在,请求出符合条件的DM
的长,若不存在,请说明理由.
25.(10分)随着通讯技术迅猛发展,人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟
通方式”调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统
计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
⑴这次统计共抽查了名学生,最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一°;
⑵将条形统计图补充完整;
(3)运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名?
(4)甲、乙两名同学从微信,QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系,请用列表或画树状图的方法求
出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.
26.(12分)已知:如图,口ABCD中,BD是对角线,AE_LBD于E,CF_LBD于F.求证:
D
F
BE=DF.
27.(12分)如图,港口B位于港口A的南偏东37。方向,灯塔C恰好在AB的中点处,一艘海轮位于港口A的正南
方向,港口B的正西方向的D处,它沿正北方向航行5km到达E处,测得灯塔C在北偏东45。方向上,这时,E处
距离港口A有多远?(参考数据:sin37o^0.60,cos37o^0.80,tan37o^0.75)
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、D
【解析】
试题分析:连接OC,根据平行可得:ZODC=ZAOD=50°,则NDOC=80。,则NAOC=130。,根据同弧所对的圆周角
等于圆心角度数的一半可得:NB=130*2=65。.
考点:圆的基本性质
2、D
【解析】
由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率,进而求出白球个数即可.
【详解】
解:设白球个数为:x个,
•.•摸到红色球的频率稳定在25%左右,
/.口袋中得到红色球的概率为25%,
41
------=—,
4+x4
解得:x=12,
经检验x=12是原方程的根,
故白球的个数为12个.
故选:D.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率,根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题的关键.
3、C
【解析】
若要保持俯视图和左视图不变,可以往第2排右侧正方体上添加1个,往第3排中间正方体上添加2个、右侧两个正
方体上再添加1个,
即一共添加4个小正方体,
故选C.
4、B
【解析】
科学记数法的表示形式为axlOn的形式,其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移
动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负
数.
【详解】
解:5550=5.55x1.
故选B.
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式,其中心同<10,"为整数,表示时关键
要正确确定a的值以及n的值.
5、B
【解析】
根据折叠前后对应角相等可知.
解:设NABE=x,
根据折叠前后角相等可知,ZClBE=ZCBE=50°+x,
所以50°+x+x=90°,
解得x=20°.
故选B.
“点睛”本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠
前后图形的形状和大小不变,如本题中折叠前后角相等.
6、D
【解析】
首先利用平移的性质得到△AiBiCi中点B的对应点Bi坐标,进而利用关于x轴对称点的性质得到AA2B2c2中B2的坐
标,即可得出答案.
【详解】
解:把△ABC向右平移4个单位长度得到△AiBiCi,此时点B(-5,2)的对应点Bi坐标为(-1,2),
则与△AiBiCi关于于x轴对称的△A2B2c2中B2的坐标为(-1,-2),
故选D.
【点睛】
此题主要考查了平移变换以及轴对称变换,正确掌握变换规律是解题关键.
7、D
【解析】
连接OC、OD、BD,根据点C,O是半圆0的三等分点,推导出。且A30。是等边三角形,阴影部分面积转
化为扇形的面积,分别计算出扇形30。的面积和半圆的面积,然后根据概率公式即可得出答案.
【详解】
解:如图,连接。C、0D、BD,
•.•点C、O是半圆。的三等分点,
•*.AC=CD=DB>
:.NAOC=NCOZ>=NOO3=60。,
,:OC=OD,
是等边三角形,
:.OC=OD=CD,
•/CD=2,
:.OC=OD=CD=2,
":OB=OD,
:./\BOD是等边三角形,则N003=60。,
:.ZODB=ZCOD^6Q0,
:.OC//BD,
•・sBCD=sBOD,
.60%-OD260%x222乃
•*s阴影=s扇形OBD=--——----=----——---=——>
3603603
22
兀■OD%x2
5半圆。=------------=----------=2n,
22
飞镖落在阴影区域的概率=2?万-2万=;1,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查扇形面积的计算和几何概率问题:概率=相应的面积与总面积之比,解题的关键是把求不规则图形的面积
转化为求规则图形的面积.
8、B
【解析】
根据各选项中的函数图象判断出a、b的符号,然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置,即可得解.
【详解】
解:由图可知,A、B、C选项两直线一条经过第一三象限,另一条经过第二四象限,
所以,a、b异号,
所以,经过第一三象限的直线与y轴负半轴相交,经过第二四象限的直线与y轴正半轴相交,
B选项符合,
D选项,a、b都经过第二、四象限,
所以,两直线都与y轴负半轴相交,不符合.
故选:B.
【点睛】
本题考查了一次函数的图象,一次函数y=kx+b(k/0),k>0时,一次函数图象经过第一三象限,k<0时,一次函数
图象经过第二四象限,b>0时与y轴正半轴相交,b<0时与y轴负半轴相交.
9、D
【解析】
2
解:当点。在AC上时,•.,NA=30。,AP=x,.•.P2=xtan3(r=::,:.y={xAPxPQ=^xxx-Z=^x;
,••,$
当点。在8c上时,如下图所示:
':AP=x,AB=1,ZA=30°,:.BP=l-x,N3=60°,...PQuB尸•tan60°=s'Z(1-x),二二二二二=iAP»PQ=-Z-.7,一二
=-二二;-。匚二,,该函数图象前半部分是抛物线开口向上,后半部分也为抛物线开口向下.故选D.
点睛:本题考查动点问题的函数图象,有一定难度,解题关键是注意点。在BC上这种情况.
10、C
【解析】
VZ1+Z1=Z2,Zl+Zl+Z2=180°,
.*.Z1+Z1=Z2=9O°,故①正确;
VZ1+Z1=Z2,...NIRNAEC.故②不正确;
VZ1+Z1=9O0,Zl+ZBAE=90°,
:.Z1=ZBAE,
又TN5=NC,
故③,④正确;
故选C.
11,A
【解析】
由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题.
【详解】
将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面,所以不能围成正方体,
故选A.
【点睛】
本题考查了展开图折叠成几何体,解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形.注意:只要有“田”字格的
展开图都不是正方体的表面展开图.
12、B
【解析】
科学记数法的表示形式为ax10"的形式,其中K|a|V10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,
小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝
对值VI时,n是负数.
【详解】
将1350000000用科学记数法表示为:1350000000=1.35xl09,
故选B.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式,其中K|a|V10,n为整数,表示时
关键要正确确定a的值及n的值.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、好.
5
【解析】
依据点A(1,2)在x轴上的正投影为点A,,即可得到A,O=1,AA'=2,AO=J5.进而得出cosNAOA,的值.
【详解】
如图所示,点A(1,2)在x轴上的正投影为点A,,
K
AA0=1,AA=2,
JAO=出,
MAOA,*—/
AOy/55
故答案为:f.
【点睛】
本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题
的基本方法和规律.
14、1
【解析】
试题解析:如图,
;a〃b,Z3=40°,
,•.Z4=Z3=40°.
VZ1=Z2+Z4=11O°,
:.Z2=110o-Z4=110o-40o=l0.
故答案为:1.
15、y=(x-3)2+2
【解析】
根据题意易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.
【详解】
解:y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其顶点坐标为(1,2).
向右平移2个单位长度后的顶点坐标为(3,2),得到的抛物线的解析式是y=(x-3)2+2,
故答案为:y=(x-3)2+2.
【点睛】
此题主要考查了次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.
16、2屈或2底.
【解析】
本题有两种情况,一种是点G在线段3。的延长线上,一种是点G在线段3。上,解题过程一样,利用正方形和三角
形的有关性质,求出MD、MG的值,再由勾股定理求出AG的值,根据SAS证明AGD咨.CED,可得CE=AG,
即可得到CE的长.
【详解】
解:
E
D
图3
当点G在线段的延长线上时,如图3所示.
过点6作。0,4£)于
BD是正方形ABCD的对角线,
:.ZADB=ZGDM=45°,
GM1AD,DG=2桓,
:.MD=MG=2,
在RJAMG中,由勾股定理,得:
AG=y/AM^+MG2=2726,
在一AGO和一CEO中,GD=ED,AD=CD,
ZADC=ZGDE=90°,
:.ZADG=/CDE
:._AGD^CED
CE=AG=2726,
当点G在线段3D上时,如图4所示.
过G作GAfLAD于M.
瓦)是正方形ABCD的对角线,
..ZA£)G=45。
GM±AD,DG=272,
:.MD=MG=2,
:.AM^AD-MD=6
在HJAMG中,由勾股定理,得:
AG=VAM2+MG2=2M
在AGO和.C£D中,GD=ED,AD=CD,
ZADC=ZGDE=90°,
:.ZADG=/CDE
AGD^CED
CE=AG=2M,
故答案为2JIU或2房.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.
17、115°
【解析】
根据三角形的内角和得到NBAC+NACB=130。,根据线段的垂直平分线的性质得到AM=PM,PN=CN,由等腰三角形
的性质得到NMAP=NAPM,ZCPN=ZPCN,推出NMAP+NPCN=NPAC+/ACP=Lxl30。=65。,于是得到结论.
2
【详解】
VZABC=50°,
:.ZBAC+ZACB=130°,
\•若M在PA的中垂线上,N在PC的中垂线上,
;.AM=PM,PN=CN,
/.ZMAP=ZAPM,ZCPN=ZPCN,
,.,ZAPC=180°-ZAPM-ZCPN=180°-ZPAC-ZACP,
/.ZMAP+ZPCN=ZPAC+ZACP=-xl30°=65°,
2
.,.ZAPC=115°,
故答案为:115。
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和,熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解
题的关键.
18、a(a-3)2
【解析】
根据因式分解的方法与步骤,先提取公因式,再根据完全平方公式分解即可.
【详解】
解:«3-6«2+9a
=a(a2-6a+9)
=a(«-3)2
故答案为:«(a-3)2.
【点睛】
本题考查因式分解的方法与步骤,熟练掌握方法与步骤是解答关键.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、共有7人,这个物品的价格是53元.
【解析】
根据题意,找出等量关系,列出一元一次方程.
【详解】
解:设共有x人,这个物品的价格是y元,
68x-+34==y,"x=7,
。=53,
答:共有7人,这个物品的价格是53元.
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用.
21
20、(l)y;(2)—.
【解析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2)画树状图展示所有6种等可能的结果数,再找出乙摸到白球的结果数,然后根据概率公式求解.
【详解】
2
解:(1)搅匀后从袋中任意摸出1个球,摸出红球的概率是§;
2
故答案为:—;
3
红白
/\/\
红白红红
白红红红
共有6种等可能的结果数,其中乙摸到白球的结果数为2,
2I
所以乙摸到白球的概率=:=;;.
63
【点睛】
本题考查列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数
目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.
21、(1)(1,4)(2)(0,工)或(0,-1)
2
【解析】
试题分析:(1)先求得点C的坐标,再由OA=OC得到点A的坐标,再根据抛物线的对称性得到点B的坐标,利用
待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标;
(2)由OC//PM,可得/PMC=/MCO,求tanZMCO即可;
(3)分情况进行讨论即可得.
试题解析:(1)当x=0时,抛物线y=ax?+bx+3=3,所以点C坐标为(0,3),.*.OC=3,
VOA=OC,,OA=3,.,.A(3,0),
,:A、B关于x=l对称,AB(-1,0),
,:A、B在抛物线y=ax?+bx+3上,
9iz+3b+3=0tz=—1
a-b+3=Q,'[b=2,
抛物线解析式为:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,
顶点P(1,4);
(2)由(1)可知P(1,4),C(0,3),所以M(1,0),/.OC=3,OM=1,
VOC//PM,AZPMC=ZMCO,
OM1
...tanNPMC=tan/MCO=——=-;
OC3
(3)Q在C点的下方,NBCQ=/CMP,
CM=V10,PM=4,BC=V10»
•-B-C-=-C--M----B--C-=-C--M-
"CQPMCQPM'
5T
..CQ=a或4,
•,.Qi(0,(0,-1).
(1)x=U时,y取最大值,为忠.
26
【解析】
PHx-46-z—
(1)分别延长DE,FP,与BC的延长线相交于G,H,由AF=x知CH=x-4,根据——=——,即^―=----可
CGGE64
得Z=^三生,利用矩形的面积公式即可得出解析式;
3
(1)将(1)中所得解析式配方成顶点式,利用二次函数的性质解答可得.
【详解】
与BC的延长线相交于G,H,
.\CH=x-4,
设AQ=z,PH=BQ=6-z,
VPH/7EG,
CHPHx-46-z
——=——,即an
CGGE64
26-2x
化简得Z-
3
26-2x2,26,、
••y=•x=--xx+—X(4<x<10);
333
2,262"3,
(1)y="-xl+—x="—
33326
当x=»dm时,y取最大值,最大值是乎dmL
26
【点睛】
本题考查了二次函数的应用,解题的关键是根据相似三角形的性质得出矩形另一边AQ的长及二次函数的性质.
23、(1)见解析;(2)见解析;(3)1.
【解析】
(1)如图2,延长A3交CD于E,可知NA3C=N3EC+NC,NBEC=NA+ND,即可解答
(2)如图3,延长A8交于G,可知NABC=N8GC+NG即可解答
(3)如图4,延长A2A3交4以4于C,延长4弘2交A14于8,可知NAiA2A3+NA243A4=/4+/2+/4+/4,再找
出规律即可解答
【详解】
(1)如图2,延长交C£>于E,
贝!|NA5C=N5EC+NC,ZBEC^ZA+ZD,
:.ZABC=ZA+ZC+ZD;
(2)如图3,延长AB交CD于G,贝|NABC=NJBGC+NC,
VZBGC=1800-ZBGC,ZBGZ>=3xl80°-(NA+NO+NE+N尸),
:.ZABC=ZA+ZC+ZD+ZE+ZF-310°;
(3)如图4,延长A2A3交于C,延长A3A2交414于5,
则2^A1A2A3+A2A3A4—NA1+N2+NA4+N4,
VZ1+Z3=(n-2-2)xl80°-(ZA5+ZA1……+ZAn),
而N2+N4=310。-(Z1+Z3)=310。-[(n-2-2)xl80°-(NA5+NA1……+ZA„)],
;・NAiA2A3+NAIAJA4=NA1+NA4+NA5+NA1.......+NA〃-Cn-1)xl80°.
故答案为1.
1
5
A4
图4
FA
E
Bl
此题考查多边形的内角和外角,,解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质,属于中考常考题型
24、(1)1;2-77;"(1)4+73;(4)(200-2573-4072)米.
【解析】
(1)由于△PAD是等腰三角形,底边不定,需三种情况讨论,运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可
解决问题.
(1)以EF为直径作。O,易证OO与BC相切,从而得到符合条件的点Q唯一,然后通过添加辅助线,借助于正方
形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.
(4)要满足NAMB=40。,可构造以AB为边的等边三角形的外接圆,该圆与线段CD的交点就是满足条件的点,然
后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识,就可算出符合条件的DM长.
【详解】
(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,
贝!JPA=PD.
/.△PAD是等腰三角形.
•.•四边形ABCD是矩形,
;.AB=DC,ZB=ZC=90°.
,."PA=PD,AB=DC,
ARtAABP^RtADCP(HL).
;.BP=CP.
VBC=2,
.,.BP=CP=1.
②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P,,如图①,
贝!JDA=DP'.
•••△PAD是等腰三角形.
•四边形ABCD是矩形,
;.AD=BC,AB=DC,ZC=90°.
VAB=4,BC=2,
,DC=4,DPr=2.
.•5="—32="
:.BP,=2-币.
③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P”,如图①,
贝!]AD=AP".
.•.△P"AD是等腰三角形.
同理可得:BP"=J7.
综上所述:在等腰三角形AADP中,
若PA=PD,贝!)BP=1;
若DP=DA,贝!]BP=2-77;
若AP=AD,贝!|BP=近.
(1)VE,F分别为边AB、AC的中点,
;.EF〃BC,EF=-BC.
2
VBC=11,
AEF=4.
以EF为直径作。O,过点O作OQLBC,垂足为Q,连接EQ、,如图②.
A
BGD0C
图②
VAD±BC,AD=4,
AEF与BC之间的距离为4.
.\OQ=4
/.OQ=OE=4.
.•.(DO与BC相切,切点为Q.
;EF为。O的直径,
.,.ZEQF=90°.
过点E作EGLBC,垂足为G,如图②.
VEG1BC,OQ1BC,
,EG〃OQ.
;EO〃GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,
/.四边形OEGQ是正方形.
/.GQ=EO=4,EG=OQ=4.
VZB=40°,ZEGB=90°,EG=4,
;.BG=6.
.•.BQ=GQ+BG=4+3
.•.当NEQF=90。时,BQ的长为
(4)在线段CD上存在点M,使NAMB=40。.
理由如下:
以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,
作GP_LAB,垂足为P,作AK_LBG,垂足为K.
设GP与AK交于点O,以点。为圆心,OA为半径作。O,
过点。作OHLCD,垂足为H,如图③.
则。0是4ABG的外接圆,
,••△ABG是等边三角形,GP±AB,
1
AAP=PB=-AB.
2
VAB=170,
AAP=145.
VED=185,
.*.OH=185-145=6.
二•△ABG是等边三角形,AK±BG,
.\ZBAK=ZGAK=40o.
;・OP=AP*tan40°
=145x1
3
=25G
.*.OA=lOP=9073.
/.OH<OA.
...(DO与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③.
:.NAMB=NAGB=40。,OM=OA=906..
VOH±CD,OH=6,OM=905
**-HM=y/oM2-OH2=7(90A^)2-1502=40五•
VAE=200,OP=256,
.\DH=200-25V3.
若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=200-256+40夜.
V200-2573+400>420,
/.DM>CD.
.•.点M不在线段CD上,应舍去.
若点M在点H的右边,则DM=DH-HM=200-25逝-400.
V200-2573-40^2<420,
/.DM<CD.
点M在线段CD上.
综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使NAMB=40。,
此时DM的长为(200-256-40&)米.
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周
角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探
究等能力,综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.
25、(1)120,54;(2)补图见解析;(3)660名;(4);.
【解析】
⑴用喜欢使用微信的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数,再用360。乘以样本中电话人数所占比例;
⑵先计算出喜欢使用短信的人数,然后补全条形统计图;
(3)利用样本估计总体,用1200乘以样本中最喜欢用QQ进行沟通的学生所占的百分比即可;
(4)画树状图展示所有9种等可能的结果数,再找出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的结果数,然后根据概率公
式求解.
【详解】
1Q
解:(1)这次统计共抽查学生24+20%=120(人),其中最喜欢
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