2024年高考数学试卷（新课标Ⅱ卷）【解析版】

2024年高考数学（新课标n卷）【解析版】

本试卷共10页，19小题，满分150分.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证

号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草

稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知z=-1—i,则目=（）

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若Z=—l—i,则目=—

故选：C

2.已知命题p：VxeR,Ix+11>1；命题］：Hx〉0,汇3=%,则（）

A.p和夕都是真命题B.「夕和q都是真命题

C.p和一1夕都是真命题D.和「9都是真命题

【答案】B

【解析】

【分析】对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=l,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.

【详解】对于0而言，取x=—1,则有n+1|=0<1,故P是假命题，「。是真命题，

对于q而言，取X=l,则有x3=F=l=x，故q是真命题，「夕是假命题，

综上，/和q都是真命题.

故选：B.

3.已知向量痴满足问=1点+2可=2,且仅-2山＞,则同=（）

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】B

【解析】

【分析】由伍—2Z）点得片=2鼠5,结合同=1,（+2*2,得1+4＞石+4片=1+6石2=4,由此即可

得解.

【详解】因为伍-2））11,所以（B—2同％=0,即片=2遍，

又因为.=1,卜+2w=2,

所以1+47另+4片=1+6片=4,

从而w=q.

故选：B.

4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并

部分整理下表

亩产

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)

量

频数612182410

据表中数据，结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

【答案】C

【解析】

【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计

算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.

【详解】对于A,根据频数分布表可知，6+12+18=36<50,

所以亩产量的中位数不小于1050kg,故A错误；

对于B,亩产量不低于1100kg的频数为24+10=34,

所以低于1100kg的稻田占比为w=66%,故B错误；

100

对于C,稻田亩产量的极差最大为1200-900=300,最小为1150-950=200,故C正确;

对于D,由频数分布表可得，亩产量在［1050,1100)的频数为100—(6+12+18+24+10)=30,

所以平均值为六乂(6义925+12*975+18义1025+30*1075+24*1125+10><1175)=1067,故口错误.

故选；C.

5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0),从C上任意一点尸向x轴作垂线段PP,P'为垂足，则线段尸尸'

的中点M的轨迹方程为()

2222

A.—+—=1(y>0)B.—+^-=1(7>0)

164168

2222

C.匕+二=1(y>0)D.上+上=1(y>0)

164168

【答案】A

【解析】

【分析】设点”(x,y),由题意，根据中点的坐标表示可得尸(x,2y),代入圆的方程即可求解.

【详解】设点M(x,y),则尸(x,%),P(x,o),

因为"为尸尸'的中点，所以为=2了，即P(x,2y),

又尸在圆x2+y2=16(y>0)上，

22

所以—+4/=16(y〉0),BP—+—=l(y>0),

164

22

即点M的轨迹方程为土+匕=l(y>0).

164

故选：A

6.设函数/(X)=Q(X+1)2—1,g(x)=cosx+2ax,当工£(一1,1)时，曲线歹=/(x)与y=g(x)恰有一个

交点，则。=()

A.—1B.—C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】解法一：令歹(x)=ax?+"l,G(x)=cosx,分析可知曲线y=厂(》)与y=G(x)恰有一个交点,

结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得。=2,并代入检验即可；解法二：令

A(x)=f{x)-g(x),xe(-1,),可知"x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知〃(x)的零点只能为0,

即可得。=2,并代入检验即可.

【详解】解法一：令/(x)=g(x),即a(x+l)2-1=cosx+2ox,可得渡+q_i=cosx，

令尸(x)=ax1+a-1,G(%)=cosx,

原题意等价于当xe(―1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，

注意到尸(x),G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得万(0)=G(0),即a-l=l,解得°=2,

若a=2,令/(x)=G(x),可得2丁+1-cosx=0

因为xe(-1,1),则2X2»0,1—COSXN0,当且仅当x=0时，等号成立，

可得ZV+i—cosxNO，当且仅当x=0时，等号成立，

则方程2X2+1-COSX=0有且仅有一个实根0,即曲线y=尸(x)与y=G(x)恰有一个交点，

所以a=2符合题意；

综上所述：a=2.

解法二：令h(x)=/(x)-g(x)=ax~+a-cosx,xe(-1,1),

原题意等价于/z(x)有且仅有一个零点，

因为//(-x)=a(-x)~+a-1-cos(-x)=ax2+a-1-cosx=h(x),

则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知〃(x)的零点只能为0,

即"(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,则/z(x)=lx+1-cosx,xe(-1,1),

又因为2必20,1—cosxNO当且仅当x=0时，等号成立,

可得〃(x"0,当且仅当x=0时，等号成立，

即〃(x)有且仅有一个零点0,所以。=2符合题意；

故选：D.

52

7.已知正三棱台44cl的体积为§，AB=6,4g=2,则2/与平面/台。所成角的正切值为

()

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高的=述，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求

3

得4M=逑,进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台44G补成正三棱锥

3

P-ABC,2/与平面所成角即为R4与平面/2C所成角，根据比例关系可得=18,进而可

求正三棱锥P-A8C的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取8C,B]G的中点，则AD==V3,

可知

△Ab。=-2x6x6x—2=973,5,£s>|cC/J=-2x2xV3=V3.

设正三棱台ABC-44G的为人，

则%CWG=19—+G+J9四=解得力=乎，

如图，分别过4,2作底面垂线，垂足为M,N,设=

则AAX=4M2DN=AD-AM-MN=2y/3-x

可得DR=^DN2+D,N2=^（2V3-x）2+y，

结合等腰梯形BCC,BX可得BB：=［一］+DD；,

即/+个=（2省—》了+个+4,解得手，

所以A.A与平面ABC所成角的正切值为tanDA.AD=&4=1；

1AM

解法二：将正三棱台ABC-451G补成正三棱锥P—/BC,

则4Z与平面48c所成角即为R4与平面4BC所成角,

因为以1=2=!，则殳如L=L,

PAAB3VP_ABC27

2652

可知匕IBC-A］BiG=P_ABC=了，则—P.4BC=18,

设正三棱锥P—48。的高为d,则兀““=LdxLx6x6x也=18,解得d=2百，

PH322

取底面4BC的中心为0,则尸。上底面N2C,且/。=26，

P0

所以R4与平面ABC所成角的正切值tanZPAO=—=1.

A0

故选：B.

8.设函数/（》）=0+。）111（》+6）,若f（x）N0,则/+〃的最小值为（）

111

A.—B.—C.-D.1

842

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由题意可知：/（X）的定义域为（一七+8）,分类讨论-。与-6,1-6的大小关系，结合符号

分析判断，即可得6=a+1,代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln(x+6)的符号，进而可

得x+a的符号，即可得6=a+1,代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：/(x)的定义域为(-仇+8),

令x+a=0解得％=-。；令1no+5)=0解得％=1—6；

若一aV—b,当X£(一九1一人)时，可知x+a>0,ln(x+/?)<0,

此时/(x)<0,不合题意；

若一—力，当％£(一。,1一人)时，可知x+a>O,ln(x+Z?)<0,

此时/(x)<0,不合题意;

若一〃二1一/7,当工£(—九1一人)时，可知x+a<0,ln(x+b)<0,此时/(x)>0；

当工£[1-仇+8)时，可知x+a20,ln(x+Z?)20,此时/(x)20；

可知若一。二1一b,符合题意；

若一。>1一6,当XE(1-仇一a)时，可知x+a<0,ln(x+6)〉0,

此时/(x)<0,不合题意；

综上所述：-a=l-b,即b=a+l,

则/+/=/+(4+1)2=214+4〕+工21,当且仅当。=—工/=!时，等号成立,

\(2)2222

所以/+〃的最小值为g；

解法二：由题意可知：/(x)的定义域为(—九+8),

令x+a=0解得*=一。；令ln(x+b)=0解得》=1一6；

则当xe(-Z?,l-b)时，ln(x+Z))<0,故x+aWO,所以1—b+aVO；

xe(l—Z?,+oo)时，ln(x+&)>0,故x+aNO,所以1—b+aNO；

故1—6+a=0,则/+〃=片+(。+ip=2.+g]+X>1.,

当且仅当。=-工,6=工时，等号成立，

22

所以/+〃的最小值为

故选：c.

【点睛】关键点点睛：分别求x+a=O、ln(x+6)=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨

论，结合符号性分析判断.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

7T

9.对于函数/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x—1),下列正确的有()

A./(x)与g(x)有相同零点B./(x)与g(X)有相同最大值

C./(x)与g(x)有相同的最小正周期D.“X)与g(x)的图像有相同的对称轴

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.

【详解】A选项，令/(x)=sin2x=0,解得x=]■，左eZ,即为“幻零点，

令g(x)=sin(2x—工)=0,解得x=包+工，1eZ,即为g(无)零点，

428

显然/(x),g(x)零点不同，A选项错误；

B选项，显然/(')max=g(x)max=1，B选项正确；

2兀

C选项，根据周期公式，/(x),g(x)的周期均为飞-=兀，C选项正确；

-JrKTTTT

D选项，根据正弦函数的性质/(x)的对称轴满足2x=kn+—=x=—+—,keZ,

224

g(x)的对称轴满足2x—巴=也+工=x=@+型，左eZ,

4228

显然/(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.

故选：BC

10.抛物线C：j2=4x的准线为/,P为。上的动点，过尸作。/:一+3一4)2=1的一条切线，。为切点,

过P作/的垂线，垂足为2,则()

A./与相切

B.当尸，A,2三点共线时，|尸0|=衣

C.当|尸8|=2时，PALAB

D.满足|PA|=|尸切的点尸有且仅有2个

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，抛物线准线为x=-l,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,43三点共线时，先

求出产的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|必|=2先算出产的坐标，然后验证七AB=T是否成立;

D选项，根据抛物线的定义，|必|=|「修，于是问题转化成|/训=|?人的尸点的存在性问题，此时考察/尸

的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.

【详解】A选项，抛物线/=4x的准线为x=—1,

OZ的圆心(0,4)到直线x=—1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和。Z相切，A选项正确；

B选项，P,43三点共线时，即则尸的纵坐标方>=4,

由，=4%尸，得到xp=4,故P(4,4),

此时切线长归@=^\PA\2-r2=底-俨=715-B选项正确；

C选项，当|必|=2时，%=1,止匕时"=4%=4,故尸(1,2)或尸(1,-2),

当P(1,2)时，2(0,4),8(—1,2),kpA='=-2,kAB=-^-=2,

0—10—(—1)

不满足怎/KB=-1；

当尸(1,一2)时，2(0,4),8(—1,2),原4=与午2=一6,的8=廿3=6,

0—10—(—1)

不满足原•以阳B=-1；

于是尸2,48不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|必|=|尸尸|,这里E(l,0),

于是|/训=|必|时P点的存在性问题转化成归=|PF|时P点的存在性问题，

2(0,4),/(1,0),/方中点]1,2],/尸中垂线的斜率为一4=。，

12)kAF4

O।1<

于是/方的中垂线方程为：j=——,与抛物线/=4x联立可得16y+30=0,

8

A=162-4X30=136>0.即//的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个p点，使得|24|=|尸刊，D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

设P—,t,由必邛可得以―1,。，又40,4),又|尸/|=归同,

(4J

根据两点间的距离公式，J—+(t-4)2=-+1，整理得/―16/+30=0,

V164

A=16?—4x30=136〉0，则关于/的方程有两个解，

即存在两个这样的P点，D选项正确.

故选：ABD

11.设函数/(幻=2%3—3a?+i,贝I]()

A.当a>l时，“X)有三个零点

B.当。<0时，x=0是/(刈的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在°,使得点(1,/。))为曲线了=/(尤)的对称中心

【答案】AD

【解析】

【分析】A选项，先分析出函数的极值点为x=0,x=〃，根据零点存在定理和极值的符号判断出/(x)在

(-1,0),(0,a),(a,2a)上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存

在这样的a,6,使得x=b为/(x)的对称轴，则/(x)=/(2b-x)为恒等式，据此计算判断；D选项，若存

在这样的。，使得(1,3-3a)为"X)的对称中心,则/(x)+/(2—x)=6—6a,据此进行计算判断，亦可利

用拐点结论直接求解.

【详解】A选项，f(x)=6x2-6ax=6x(x-a),由于a>l,

故xe(—oo,0)u(a,+oo)时f\x)>0,故/(x)在(—oo,0),(a,+")上单调递增，

xe(O,a)时,f'(x)<0,/O)单调递减,

则f(x)在x=o处取到极大值，在x=a处取到极小值，

由/(0)=1〉0,/(a)=l-«3<0,则/(0)/(a)<0,

根据零点存在定理f(x)在(0,a)上有一个零点，

X/(-l)=-l-3a<0,/(2a)=4/+i>0,则/(—1)/(0)<0J(a)/(2a)<0,

则/(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一个零点，于是a>1时，/⑴有三个零点，A选项正确;

B选项,f'(x')=6x(x-a),a<0时，xe(a,0),/'(x)<0,，(幻单调递减,

xe(0,+co)时f'(x)>0,fix)单调递增,

此时/(x)在x=0处取到极小值，B选项错误；

C选项，假设存在这样的人，使得x=b为/(x)的对称轴，

即存在这样的使得/(%)=/(2b-x),

即2/—3aY+1=2(26-x)3-3a(2b-x)2+l,

根据二项式定理，等式右边(2b-4展开式含有V的项为2C；(2A)°(-x)3=-2x3,

于是等式左右两边｛的系数都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在这样的凡人，使得x=b为/(x)的对称轴，C选项错误；

D选项，

方法一：利用对称中心的表达式化简

/(1)=3-3«,若存在这样的。，使得(1,3—3a)为/(x)的对称中心，

则/(x)+/(2-x)=6-6。，事实上，

/(x)+/(2-x)=2d-3ax2+1+2(2-x)3-3o(2-x)2+1=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a，

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12«

12-6a=0

即12a—24=0,解得a=2,即存在a=2使得(1J⑴)是/⑴的对称中心，D选项正确.

18-12o=6-6a

方法二：直接利用拐点结论

任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，

f(x)=2x3-3ax2+1(f'(x)=6x2-6ax»=12x-6a,

n

由/"(%)=0x=—,于是该三次函数的对称中心为

a

由题意(1J⑴)也是对称中心，故土=1。。=2,

2

即存在a=2使得(1,/(1))是Ax)的对称中心，D选项正确.

故选：AD

【点睛】结论点睛：(1)/(x)的对称轴为x=bo/(x)=/(2b—x)；(2)/(x)关于(a,6)对称

=/(x)+/(2a—x)=2b；(3)任何三次函数/(x)=a/+小2+cx+d都有对称中心，对称中心是三次

函数的拐点，对称中心的横坐标是/"(x)=0的解,是三次函数的对称中心

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.记S"为等差数列｛4｝的前"项和，若。3+%=7，3%+%=5,则Eo=.

【答案】95

【解析】

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出4,d,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.

a,+2d+(7,+3d=7<7,=—4

【详解】因为数列为等差数列，则由题意得八一u，解得<：.,

3(«1+d)+aA+4d=5[d=3

10x9

则Sio=10q+-^―d=10义(一4)+45义3=95.

故答案为：95.

13.已知戊为第一象限角，£为第三象限角，tana+tan/?=4,tanatan6=0+1,则

sin(a+/?)=.

【答案】—翌1

3

【解析】

【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tan（a+m=-2应，再缩小a+6的范围，最后结合同角

的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

/、tan。+tan,4i-

【详解】法-：由题意得tan（a+m=]Tanatan：=]_（^+]]-2-2,

因为a£^2A71,2ATI+^,^e[2冽兀+兀,2加兀+费）,k.meZ,

则a+尸£（（2加+2左）兀+兀,（2加+2左）兀+2兀）,k,meZ,

又因为tan（a+〃）=-2后＜0,

则尸((

a+ef2m+2k^TI+,2m+2k^TI+2TIj,k,meZ,则sin(a+,)<0,

sin(cr+/?)

则=-2V2,联立sin?(a+6)+cos~(a+力)=1,解得sin(a+q)=—.

cos(cr+夕)

法二：因为a为第一象限角，A为第三象限角，贝！Icosa〉0,cos，＜0,

cosa1cos,-1

cosa=/cosp=i=/=

Vsin2a+cos2a71+tan2a[sin?0+cos20Jl+tan2/3

贝ijsin(a+〃)=sinacos°+cosasin/3=cosacos/(tana+tan]3)

_____________-4______________-423

=4cosacos0=/一/.=

V1+tan2aJl+tan2/?^/(tana+tan^)2+(tanatan-1)2S+2~T~

故答案为：_巫.

3

14.在如图的4x4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法,

在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是

11213140

12223342

13223343

15243444

【答案】①.24②.112

【解析】

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果,

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法;

每种选法可标记为(小仇G”)，a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.

故答案为：24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列

举法写出所有的可能结果.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记的内角aB,C的对边分别为a,b,c,已知sinZ+Geos/=2.

(1)求

(2)若a=2,®sinC=csin25，求“BC的周长.

TT

【答案】(1)A=-

6

(2)2+76+372

【解析】

【分析】(1)根据辅助角公式对条件sinZ+百cosZ=2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角

三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；

(2)先根据正弦定理边角互化算出3,然后根据正弦定理算出4c即可得出周长.

【小问1详解】

方法一：常规方法(辅助角公式)

由sin/+A/Jcos4=2可得Lsin4+-^cos4=1，即sin(Z+£)=l,

223

，十1/人、i兀/兀4兀、,.7171,.71

由于Ze(0,7i)nZ+-e(一,-),故/+—=一，解z得2=一

333326

方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系)

由sin/+JJcosZ=2，又sin2Z+cos?4=1,消去sinZ得到：

4cos2A-4^/3COS力+3=00(2cosA-V3)2=0，解得cosA--y，

TT

又/£(0,兀)，故/二一

6

方法三：利用极值点求解

设/(x)-sinx+V3cosx(0<x<兀)，则/(x)=2sin[x+g](0<x<兀)，

显然x=4时，/(x)max=2，注意到f(A)=sinA+y/3cosA=2=2sin(A+—)f

63

/(Mmax=/(/)，在开区间(°，兀)上取到最大值，于是X=4必定是极值点，

即ff(A)=0=cos4一Gsin4,即tan/=当，

jr

又/£(0,兀)，故/二一

6

方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式)

设a=(1,6)花二(sincosA),由题意，a-b=sinA+V3cosA-2，

根据向量的数量积公式，a-b=BMCOS(N,B)=2cosG，B),

则2cos=2ocos"B=1,此时落B=0,即同向共线，

根据向量共线条件，Leos/=J^・sin/otan/=——，

3

jr

又/e(0,兀)，故/=一

6

方法五：利用万能公式求解

设/=tang,根据万能公式，sinZ+GcosZ=2=&+®q，

21+产1+J

整理可得，?2-2(2-V3)/+(2-V3)2=0=(Z-(2-V3))2,

解得tanW=/=2—G，根据二倍角公式，tanA=^=—

21"3

TT

又/e(0,7t),故/=—

6

【小问2详解】

由题设条件和正弦定理

41bsinC=csin2Bo拒sin5sinC=2sinCsinBcosB，

又民Ce(0,兀)，则sinBsinCwO,进而cosB=4Z，得到3=百

24

7兀

于是。=兀—Z—8=—

12

sinC=sin(7i-A-B)=sin(/+B)=sinAcos5+sin5cosA=近+瓜

4

2b

a_b_c

由正弦定理可得,即.兀.717兀

sinAsinBsinCsin一sm—sm一

6412

解得b=2A/2,C=V6+V2，

故以8C的周长为2+指+3收

16.已知函数/(x)=e"-办一/.

(1)当。=1时，求曲线V=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程;

(2)若/(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

【答案】(1)(e-l)x-j-l=0

(2)(l,+oo)

【解析】

【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；

(2)解法一：求导，分析a<0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得力+ina-1>0,

构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知/'(x)=e*-a有零点，可得a>0,进而利用导数求/(x)的

单调性和极值，分析可得力+ina-1>0,构建函数解不等式即可.

【小问1详解】

当a=l时，则/(x)=e-x—1,/'(x)=e、—1,

可得〃D=e-2,/'(l)=e-1,

即切点坐标为(l,e-2),切线斜率后=e-1,

所以切线方程为歹一(e—2)=(e—l)(x—1),即(e—l)x—y—1=0.

【小问2详解】

解法一：因为/(x)的定义域为R,且/'(x)=e、—。，

若aWO,则/'(x)20对任意xeR恒成立，

可知Ax)在R上单调递增，无极值，不合题意；

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-oo,lna)内单调递减，在(Ina,+00)内单调递增，

则/(x)有极小值/(lna)=a-alna—/,无极大值，

由题意可得：f(\na)=a-a\na-ai<0,即/+ina—l>0,

构建g(a)="+lna-l,a>0,则g'(a)=2a+4〉0,

a

可知g(a)在(0,+“)内单调递增，且g(l)=0,

不等式小+如.—1>0等价于g(a)>g⑴,解得a>1，

所以a的取值范围为(1,+QO);

解法二：因为“X)的定义域为R,且/'(x)=ex-a,

若/(x)有极小值,则/'(x)=e「a有零点,

令/，(x)=e£—a=O,可得，

可知>=e，与>=。有交点，则。>0,

若a>0,令/'(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-oo,lna)内单调递减，在(Ina,+00)内单调递增，

则/(x)有极小值/(lna)=a-alna—/,无极大值，符合题意,

3

由题意可得：f(ina)=a-a]na-a<0,即6+]114一1>0,

构建g(a)=a?+lna-l,«>0,

因为则y==lna-l在(0,+e)内单调递增，

可知g(a)在(0,+。)内单调递增,且g⑴=0,

不等式J+lnq—1>0等价于g(a)>g⑴,解得。>1,

所以°的取值范围为(1,+s).

17.如图，平面四边形中，AB=8,CD=3,AD=573>ZADC=90°，NBAD=30°，点E,

厂满足近=-7万，AF=-AB,将△ZEE沿跖对折至！PEE,使得尸。=46.

52

(1)证明：EF1PD；

(2)求面PCD与面P5尸所成的二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵8海

65

【解析】

【分析】(1)由题意，根据余弦定理求得所=2,利用勾股定理的逆定理可证得，则

EFLPE,EFLDE,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PEJ_E。，建立如图空间直角坐标系E-盯z,利

用空间向量法求解面面角即可.

【小问1详解】

由48=8,4。=53',亚=215,万;=上而，

52

得ZE=26,N尸=4,又N84D=30°，在△ZEE中，

由余弦定理得EF=y^AE2+AF2-2AE-AFcosABAD=jl6+12-2-4-2^-三=2,

所以4£2+.2=4^2，则即EE140，

所以EF_LPE,EF_LDE,又PE^DE=E,PE、OEu平面P£)£,

所以所上平面P£>£,又？。u平面PQ£,

板EF工PD；

【小问2详解】

连接C£,由//。。=90",£7)=36,0)=3,贝!JCE2=EZ)2+CZ>2=36,

在APEC中，PC=4>j3,PE=7.^3,EC=6,得EC?+PE?=PC?，

所以P£_L£C,由(1)知PELEE,又ECCEF=E,EC、EFu平面ABCD,

所以PEL平面/BCD,又EDu平面/BCD,

所以PE_LEQ,则尸瓦ERED两两垂直，建立如图空间直角坐标系E-盯z,

则5(0,0,0),P(0,0,2我,£)(0,36,0),C(3,36,0),根(2,0,0),4(0,-26,0),

由口是48的中点，得5(4,26,0),

所以PC=(3,36,-2石)，丽=(0,36,-26),而=(4,2也-2⑻，而=(2,0,-2@,

设平面PCD和平面PBF的一个法向量分别为“=(X],%,zj,加=(x2,y2,z2),

则n-PC=3%j+3y/3y1-2y/3z1=0m-PB=4x2+2yf3y2-2A/3Z2=0

n-PD=3也y[-2也z、=bm-PF=2x2-2A/3Z2=0

令必=2,X2=^3,得&=0,Z]=3,J^2=-1,Z2=1,

所以3=(0,2,3),而=(6,-1,1),

fiCh,i应•司_1_V65

1HITV5-V1365

设平面PCD和平面PBF所成角为6,则sin6=Vl-cos2^=包至，

65

即平面PCD和平面PAT所成角的正弦值为WH.

65

z,

p\

*xB

18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名

队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶

段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总

和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为0,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相

互独立.

(1)若夕=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

(2)假设0<p<q,

(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

(ii)为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

【答案】(1)0.686

(2)(i)由甲参加第一阶段比赛；(i)由甲参加第一阶段比赛；

【解析】

【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)(i)首先各自计算出编=[1-(1-pF]/,2=[i_Q_q)3].p3,再作差因式分解即可判断；5)

首先得到X和V的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.

【小问1详解】

甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，

二比赛成绩不少于5分的概率P=(l-0.63)(l-0.53)=0.686.

【小问2详解】

(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为偏=[1-(1-2)3][3,

若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为％=[1-(1-

0<p<q,

；•%一生=q3_(q_pq)3_p3+(p_pq)3

=(q—p)(q2+pq+p2)+(p-q)-[(p-pq¥+(q—pq¥+(p-pq)(q-pq)\

=(p-q)(3,2q2-3p-q-3m2)

=3Pq(P-q)(pq-p-q)=3Pq(p-q)[(l一2)(1-q)—1]>0,

...埼>与，应该由甲参加第一阶段比赛.

(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X的所有可能取值为0,5,10,15,

P(X=0)=(l-^)3+[l-(l-^)3].(l-^)3,

P(X=5)=[1—(1-夕产]*.<_4,

P(X=10)=[l-(1-p)3]C/(l-q),

P(X=15)=[1-(1-桓

：.E(X)=15[l-(l-p)3~\q=15(p3-3p2+3p\q

记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩y的所有可能取值为0,5,10,15,

同理E(y)=15(/—3d+34.夕

E(X)-EQ")=15[pq(p+q)(p-q)-3Pq(p-q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因为0<P<g,则夕一q<0,夕+q—3<1+1—3<0,

^(p-q)pq(p+q-3)>0,

应该由甲参加第一阶段比赛.

【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大

小关系，最后得到结论.

19.已知双曲线Uf—丁=加(加>()),点4(5,4)在0上，左为常数，0(左<1.按照如下方式依次构

造点£(〃=2,3,...),过P“_\作斜率为k的直线与C的左支交于点Qz，令月,为2T关于>轴的对称点，

记勺的坐标为

(1)若k=—,求//2；

（2）证明：数列｛%-%｝是公比为的等比数列；

\-k

（3）设S"为△々a+C+z的面积，证明：对任意的正整数〃，Sn=Sn+x.

【答案】（1）x2=3,y2=0

（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出鸟的坐标即可；

（2）根据等比数列的定义即可验证结论；

（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S"的取值为与〃无关的定值即可.思路二：使用

等差数列工具，证明J的取值为与〃无关的定值即可.

【小问1详解】

由已知有切=5?-4?=9,故。的方程为/=%

当4=g时，过4（5,4）且斜率为—勺直线为了=苫3，与=9联立得到=9.

解得x=-3或x=5,所以该直线与。的不同于4的交点为。i（-3,0）,该点显然在C的左支上.

故A（3,0）,从而％=3,%=0.

【小问2详解】

由于过勺（%,此）且斜率为左的直线为歹=左（%—％）+以，与——/=9联立，得到方程

22

x-（k（x-xn）+yn）=9.

展开即得（1—左2）/—2曲刃—自/x—（券—丘"—9=0,由于勺（当,匕）已经是直线y=