3.1.2 椭圆的性质（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.1.2椭圆知识点一椭圆的离心率【【解题思路】求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．【例1-1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由点在上，，即，所以，又椭圆过点，则故椭圆方程为，所以离心率，故选：C.【例1-2】（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因为为等边三角形，则，，因为，所以椭圆的离心率为．故选：A.【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

如图，因为是钝角三角形，所以，所以，即，则椭圆的离心率的取值范围是，故A，B，C错误.故选：D.【变式】1（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为所以,在中,所以,所以,所以.故选：A.2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为．【答案】/【解析】由已知，所以，又点C在椭圆上，所以，所以，所以椭圆的离心率为.故答案为：.3（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为．【答案】/【解析】由，，得，而，由勾股定理有，所以，所以，故．故答案为：.4（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.【答案】/0.4【解析】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则，由，得，于是，则，，由直线的斜率为，得，即，而，解得，即，，于是，解得，所以的离心率为.故答案为：5（23-24重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为【答案】【解析】由椭圆性质可知，当点位于短轴端点时取得最大值，要使椭圆上总存在点，使得，

只需满足，且，记，则有，且，所以，解得（舍去）或，所以，即，整理得，所以，所以.知识点二点与椭圆的位置关系【【解题思路】点P与椭圆的位置关系【例2-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（

）A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定【答案】B【解析】由于，所以在内，故选：B【例2-2】（2024·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为点在椭圆的外部，所以,解得,故选：B.【变式】1（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【解析】点与点关于原点对称，点与关于轴对称，点与关于轴对称，若点在椭圆上，根据椭圆的对称性，，，三点都在椭圆上，故选：C2（2024吉林长春·阶段练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（

）A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外【答案】D【解析】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外．故选:D.3（2023·山东日照）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】由，即，得，所以，因为点在椭圆上，所以（，），所以，当且仅当时，等号成立.故选：C知识点三直线与椭圆的位置关系【【解题思路】直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（

）A．0 B．1C．2 D．无数个【答案】C【解析】由消去y并整理得，显然，所以直线与椭圆相交，有2个公共点.故选：C【例3-2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴，解得，又，故选：C．【例3-3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，因为是焦点在轴上的椭圆，所以，直线过定点，因为直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，所以点在椭圆上或椭圆内部，所以，解得，综上所述，.故选：D.【变式】1．（22-23高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定【答案】C【解析】联立，消去，整理得到，该方程判别式，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.故选：C2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切【答案】D【解析】直线：，令，解得：，，所以直线恒过定点，，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.故选：D3．（2024河南）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（

）A．0 B．1C．2 D．需根据a，b的取值来确定【答案】C【解析】因为直线和圆没有公共点，所以原点到直线的距离，即，所以点是在以原点为圆心，为半径的圆内的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，所以点在椭圆的内部，所以过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：C.4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，联立，得，化解得，因为直线与椭圆相切，所以，化简整理得，所以.故选：C.5（22-23高二上·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由题意椭圆的短轴长为，离心率为，可知，，解得，所求椭圆的方程为；（2）由可得，，当即时，直线与椭圆相切，只有一个公共点；当即时，直线与椭圆相交，有两个公共点；当即或时，直线与椭圆相离，无公共点；综上所述，当时，直线与椭圆只有一个公共点；当时，直线与椭圆有两个公共点；当或时，直线与椭圆无公共点.知识点四弦长【【解题思路】求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．【例4-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可设，则，即，且，可得，所以椭圆方程为.（2）设，将直线与椭圆联立，得，解得或所以弦长.【例4-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．

(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．【答案】(1)(2)．【解析】（1）因为，长轴的长为4，所以，，，所以椭圆的方程为．（2）因为，，若直线l过椭圆的上顶点A和右焦点.所以l：，则点到直线l的距离为，由得，所以，，则，所以．【变式】1（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，解得，椭圆的方程为；（2）由（1）得，椭圆的左焦点，右焦点，则直线的方程为：，设，，联立，消去，得，显然，则，所以．2（23-24高二下·江苏连云港·期末）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积【答案】(1)(2)【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由得，，过点，，又，联立，解得，，，所以椭圆方程为：.（2）由题意知，直线的斜率存在，设为，又直线过点则直线的方程为，设，，由得，由，得，，又，有，即，整理得，所以，解得，满足，又因为，点到直线的距离，则，即，代入得，，故的面积为.3（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得，，故，又，故，设，，则，即，，故当时，取得最小值，最小值为，故，则，椭圆方程为；（2）当过点的直线的斜率为0时，，不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设为，

联立得，恒成立，设，则，故，故，解得故直线的方程为.知识点五中点弦【【解题思路】【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点.(1)求双曲线方程；(2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为渐近线方程为，设双曲线方程为，又因为双曲线经过点，可得，即，所以双曲线方程为，即.（2）设，因为线段的中点为，则，又因为A，是双曲线上的两点，则，两式相减可得，整理得，可得，即直线的斜率，所以直线的方程，即，联立方程，消去x得，可得，即直线与双曲线相交，直线符合题意，综上所述：直线的方程为.

【例5-2】（23-24高二·江苏·假期作业）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设直线与椭圆相交于，两点，因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在，则，，直线的斜率．由，得，，，故椭圆的离心率．故选：B．【例5-3】．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则有，两式相减，得，因为线段AB的中点为，所以，因此由，即直线AB的斜率为，方程为，代入双曲线方程中，得，因为，所以线段存在.故选：C.【例5-4】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设椭圆方程为，由题意得：，两式作差得：，整理得：，因为AB的中点为，，所以，所以，所以，又因为，所以.故选：A．【例5-5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，，则，，，所以，所以，将，两点坐标代入椭圆方程可得：，两式作差可得：，所以，则，故选：D【变式】1．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，，，，则，又，所以，即，即，又，，所以.故选：A2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，设，代入椭圆方程，可得两式相减可，变形可得，又过点的直线交椭圆于两点，且的中点为，所以，代入上式可得，，又，解得，所以椭圆的方程为.故选：C3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即，由消去并整理得：，则，即，设，则，而弦的中点为，即，于是，解得，此时所以椭圆的离心率.故选：C4（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，又，两式相减得，整理得，所以以点为中点的弦所在的直线方程为，即.故选：C.5（23-24高二上·四川凉山·期末）过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分.(1)求该弦所在的直线方程；(2)求该弦的弦长.【答案】(1)(2)【解析】（1）设过点的弦与椭圆相交于，两点，∵为的中点，∴，又∵，两点在椭圆上，∴，，两式相减得，即由题意当时，不能平分该弦，因此，故直线AB的斜率为，∴该弦所在的直线方程为，即；（2）联立直线与椭圆方程得，得，解得或1，不妨取，，则或，即，，∴.知识点六由椭圆的几何性质求标准方程【【解题思路】利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．(4)写出椭圆标准方程．【例6-1】（22-23高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．【答案】(1)；(2)或；(3)；(4).【解析】（1）由题意，可知，，得，，从而，又长轴在x轴上，故所求椭圆的标准方程为．（2）若焦点在x轴上，则，由，得，所以，此时椭圆的标准方程为，若焦点在y轴上，则，由，得，此时椭圆的标准方程为，故椭圆的标准方程为或．（3）分析知，，故椭圆的标准方程为．（4）椭圆可化为，可知焦点在y轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的方程为，则，又，即，所以，则所求椭圆的标准方程为．【变式】（2024广东云浮）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)经过两点.(4)过点且与椭圆有相同焦点.（5）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；（6）经过点，且离心率；【答案】(1)(2)(3)(4)（5）或；（6）或；【解析】（1）由题意知，且焦点坐标分别为，.由，得，可得，所以.又焦点在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为.（2）设椭圆的方程为（，，）.将两点的坐标代入方程，得，解得，故所求椭圆的标准方程为.（3）设所求的椭圆方程为．把两点代入，得：，解得，∴椭圆方程为．（4）依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入得，所以，则所求椭圆的标准方程为.（5）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意可知，结合可解得a＝5，b＝4，c＝3．因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．（6）①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得，因为，所以，从而，所以所求椭圆的标准方程为；②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为，由题意，得，因为，解得，从而，所以所求椭圆的标准方程为．综上，所求椭圆的标准方程为或．【题组一椭圆的离心率】1（2024山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得椭圆，此时离心率为，此时充分性成立；若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，即必要性不成立；综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.故选：A2（2024·陕西渭南）已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限，由，解得，则，而，由，得，解得，，所以椭圆C的离心率.故选：C3（2024·陕西铜川）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，得，，当分别位于的左、右顶点时，有最大值，又因为不重合，所以，即，解得，所以的离心率的取值范围为．故选：C．4（23-24高二下·重庆·阶段练习）椭圆的右顶点为，右焦点为为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，11延长直线交线段于，若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，设点，则，，，由知，为线段的中点，则，由三点共线，故，化简得到，故.故选：A.5（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，设，又，所以，解得，即，又由三点共线可知当斜率不存在时，由对称性可知垂直于x轴，所以，所以，即，整理得，即；当时，所以，整理得，所以.选：B.6（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因为，所以，，由对称性可得，又，所以，所以，，又，所以，，又，所以由余弦定理，所以，的离心率.故选：A.7（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为.【答案】/【解析】设，则由题意可得，，，所以，在中，，因为，所以，解得，所以，，因为，所以，所以，解得，所以离心率.故答案为：8（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为.【答案】/【解析】由题知直线的方程为，即，所以到直线的距离，又因为的内切圆面积为，则半径，所以由等面积可得，解得.故答案为：.【题组二点与椭圆的位置关系】1（2024宁夏银川·阶段练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，所以故选：B.2（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（

）A．点在圆O内 B．点在圆O上C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上【答案】BC【解析】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离，即，所以点在圆O上，并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.故选：BC3（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】BC【解析】由题意知，解得．故选：BC4（2024湖北）已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为.【答案】【解析】因为点P(k，1)在椭圆=1外，所以>1，解得k<或k>，故实数k取值范围为.故答案为：【题组三直线与椭圆的位置关系】1（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【解析】因为直线过点，而为椭圆的右端点和上端点，故直线与椭圆相交.故选：C.2（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【答案】B【解析】，即，令，解得，则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内，则直线与椭圆的位置关系为相交.故选：B.3（22-23高二下·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【解析】直线过定点在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.【题组四弦长】1（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为.【答案】/【解析】椭圆的右焦点，因为直线的倾斜角为且过点，所以直线，设，，联立，消去得，所以，，所以，，所以，，所以.故答案为：2（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为.【答案】【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为，设直线为，，由，得，整理得，因为，所以，所以，，解得，所以直线为斜率为，故答案为：.3（23-24高二上·上海·期末）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为．【答案】【解析】设直线，直线与椭圆的交点为，联立方程，消去y得，则，解得，可得，由题意可得：，解得，所以直线的方程为.故答案为：.4（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为【答案】【解析】设，，由，消去整理得，解得或，则，，则，，所以，所以当，即时取最大值.5（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，．【答案】【解析】由，得，需满足，设，，则，，．又O到直线AB的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积取得最大值．此时，．故答案为：6（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意可得：，即，可得，且椭圆焦点在x轴上，所以所求的椭圆方程为.（2）联立方程，消去y得.由，得，则.所以当时，直线与椭圆有公共点.7（22-23高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【解析】（1）解：由题意知，点为椭圆的右顶点，且，，可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）解：设直线的方程为，且，联立方程组，整理得，则，且，可得，解得，可得，所以直线的方程为，即或.8（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）椭圆过点，得①，，，即②，由①②联立解得，则椭圆方程为（2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形，故直线的斜率存在，则设直线为：，设，联立，得，则，即或，，则，点到直线的距离为，则，令，则，则，当且仅当，即，即时等号成立，故面积的最大值为.【题组五中点弦】1（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，设直线，且则，作差得：由，所以，①因为为直线与圆的切点，所以，②由①②消去可得，所以.故选：A.2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设则将点代入椭圆方程,两式作差得即直线的斜率为直线的方程为即.故选：.3（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设则，两式作差得：，线段AB的中点为，故，所以，且直线AB过和，则直线AB的斜率：,故，解得.故选：B4（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）已知椭圆的右焦点为，且离心率为．三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（

）A．－1 B．C． D．【答案】C【解析】因为椭圆的右焦点为，且离心率为，所以，，解得，所以椭圆方程为，设，则，两式相减得：，即，即，同理，，，又直线､､的斜率之和为1，所以，，故C正确.故选：C.5（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（

）A．B．若，则直线l的方程为C．若直线l的方程为，则D．若直线l的方程为，则【答案】BD【解析】A.设，，，，两式相减得，整理为，即，故A错误；B.由，以及，可知，，则，所以直线的方程为，则，故B正确；C.由，且直线l的方程为，所以，即，且，解得：，，即，故C错误；D.联立，得，得或，弦长，故D正确.故选：BD6（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分