高考数学《不等式》练习题（含答案）

新高考数学《不等式》练习题

一、选择题

x-l>0

1.设X,y满足X—2yV0,向量a=（2x,l）,Z>=（l,m-y）,则满足的实数加

2x+y<4

的最小值为（）

121233

A.—B.---C.一D.--

5522

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平面向量垂直的坐标表示，得"=y-2x,根据约束条件画出可行域，再利用机的

几何意义求最值，只需求出直线“2=y-2x过可行域内的点c时，从而得到机的最小值即

可.

【详解】

解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为a=（2x,l）,b=^m-y）,

由a_L6得2x+m-y=。，.•.当直线经过点C时，m有最小值，

'_8

J2x+y=4\X=5."84）

由〈c，得<.>>•^r

x=2y_4（55）

41612

m=y-2x

故选：B.

【点睛】

^0\12\3x

Ix=\2x+y=4

本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及

简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的

问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解.

2.已知等差数列｛为｝中，首项为%（470）,公差为d,前〃项和为第，且满足

卬羽+15=0,则实数d的取值范围是（）

A.[—y/3,s/3];B.(—OO,-A/3]C.+CO)

D.(—cc,—\/3][y/3,+co')

【答案】D

【解析】

【分析】

.3a,八

由等差数列的前n项和公式转化条件得d=-^-—U，再根据％〉。、％<。两种情况

分类，利用基本不等式即可得解.

【详解】

,数列｛4｝为等差数列，

5x4

S5=5ai-1■—―d=5q+10d,/.+15=5%(q+2d)+15=0,

,3a

由qw。可得d.........—},

2%2

当q>0时，d=-—g=一-2，当且仅当q=J§时

2al212q2J、2%2

等号成立；

[__3_>

当。1<0时，d=---一色22=M，当且仅当4=—Q时等号成

2al2<2%{-T

立；

实数d的取值范围为(—00,-6]33,+8).

故选：D.

【点睛】

本题考查了等差数列前"项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档

题.

3.已知关于了的不等式(m—2)f+2(m—2卜+4>0得解集为R,则实数M的取值范

围是()

A.(2,6)B.(^0,2)J(6,+co)

c.(TO,2]D(6,-H»)D.[2,6)

【答案】D

【解析】

【分析】

分根—2=0和加—2,。两种情况讨论，结合题意得出关于心的不等式组，即可解得实数

m的取值范围.

【详解】

当加—2=0时，即当根=2时，则有4>0,该不等式恒成立，合乎题意;

m—2>0

当加一2w0时，贝叫（、2/、，解得2<加<6.

A=4（m-2）-16（m-2）<0

综上所述，实数机的取值范围是［2,6）.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用变系数的二次不等式恒成立求参数，要注意对首项系数是否为零进行分类讨

论，考查运算求解能力，属于中等题.

y>0

4.己知点4（4,3）,点3为不等式组<%-丁〈0所表示平面区域上的任意一点，贝U

x+2j-6<0

\AB\的最小值为（）

A.5B.C.小D.—

55

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的平面区域，标出点A的位置，利用图形可观察出使得|人理最小时点

3的位置，利用两点间的距离公式可求得的最小值.

【详解】

x-y=Ox=2

联立〈解得c

x+2y-6=0b=2

由图知的最小值即为4(4,3)、6(2,2)两点间的距离,

所以|的最小值为J(4—2『+(3—2『=下.

故选：c.

【点睛】

本题考查目标函数为两点之间的距离的线性规划问题，考查数形结合思想的应用，属中等

题.

x+y>l,

5.已知x,y满足约束条件卜-2y2-2,,若公+必》2恒成立，则实数z的最大值为

3x+2y<6,

()

y/21

A.—B.25C.-D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，根据d+y2的几何意义，结合平面区域求得原点到直线

x+y-1=0的距离的平方最小，即可求解.

【详解】

x+y>l

由题意，画出约束条件<》-2丁2-2所表示的平面区域，如图所示，

3x+2y<6

要使得f+3；2»2恒成立，只需Z“％2+y2),

因为％2+y2表示原点到可行域内点的距离的平方，

结合平面区域，可得原点到直线X+y-1=0的距离的平方最小，

其中最小值距离为d=='二,贝!J=—，即z<—

VJl2+।12-222

所以数Z的最大值

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区

域，结合f+y2的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能

力.

x+y>l

6.已知x、y满足约束条件1%-2丁2-2,若2=必+/，则实数z的最小值为（）

3x+2y<6

A.—B.25C,-D.2

22一

【答案】C

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出d+j?的最小值，进而可得

出实数z的最小值.

【详解】

x+y>\

作出不等式组<》-2丁2-2所表示的可行域如下图所示，

3x+2yV6

z=Y+V表示原点到可行域内的点(匹y)的距离的平方，

原点到直线x+y—1=0的距离的平方最小，■2+>2)迪=［当］=1

由于2=—+/,所以，Zmin=g-

因此，实数Z的最小值为

2

故选：C.

【点睛】

本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

7.已知集合4=„—2x—3>0},3=卜恒仁+1)叫，贝|他人)B=()

A.1x|-1<%<3}B.|x|-l<%<9}

C.1x|-l<x<3}D.|x|-1<x<9}

【答案】C

【解析】

【分析】

解出集合A、B,再利用补集和交集的定义得出集合(+A)cB.

【详解】

解不等式无2_2尤一3>0，得％<—1或%>3；

解不等式lg(x+l)Wl,得0<x+lW10,解得—1<%W9.

,A=或x〉3},B=\x\-\<x<9^,则=卜卜1<3},

因此，(aA)c3={H-l<x<3},故选：c.

【点睛】

本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求

解，考查运算求解能力，属于中等题.

8.己知不等式/一4元+4、。对于任意的xe[l,3]恒成立，则实数。的取值范围是()

A.(-co,5]B.[5,+Q0)C.(-<»,4]D.[4,+co)

【答案】C

【解析】

4_

若不等式炉-依+4N0对于任意的％e口,3]恒成立，则a<x+-对于任意的xe[1,3]恒

x

4

成立，•.•当xe[l,3]时，%+-e[4,5],：.a<4,即实数。的取值范围是(—8,4],故选

x

C.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题.不

等式恒成立问题常见方法：①分离参数a2/(%)恒成立(«>/(%)^即可)或a<f(x)

恒成立(。m/⑺而押可)；②数形结合(y=〃x)图象在y=g(九)上方即可)；③

讨论最值/(%)*之0或/(%)1gK0恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得。的

取值范围的.

x+y>2,

9.若实数羽V满足不等式组3x—y«6,则3x+y的最小值等于()

^-y>0,

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】

【分析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值.

【详解】

x+y>2

解：作出实数x,V满足不等式组<3x-yV6表示的平面区域(如图示：阴影部分)

x-y>0

由z=3x+y得y=-3x+z,平移y=-3x,

易知过点A时直线在V上截距最小，

所以%加=3xl+l=4-

故选：A.

【点睛】

本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属

于中档题.

11

10-已知实数X,y满足">y>°'且e+F=1,则x+y的最小值为

().

A3+264+2732+46D3+46

DR.----------c

,-55--5--5-

【答案】B

【解析】

【分析】

2x-y=m

令<,用w表示出x+y,根据题意知—।—=1,利用1的代换后根据基本

x+2y=nmn

不等式即可得x+y的最小值.

【详解】

2x>y>Q,:.2x—y>Q,x+2y>Q,

x=-2m-+-n

2x-y=m

令<二，解得《,则加〉0,〃〉0,一十—=1,

x+2y=n2n—mmn

y=­

2m+n2n-m,3n+m

x+y=------1------xl=-----

555

13nm1-/3nm、

=-x|1+3+一+—|>-X(4+2/-------)

mn5Amn

4+273

5

当且仅当即='，即加=即2%-y=J，(x+2y)

mn

即x=9+78=土诋时取等号.

1515

故选：B.

【点睛】

本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考

查学生的计算能力，是中档题.

x+y<4

11.若X、y满足约束条件y+220,目标函数Z=ax+y取得最大值时的最优解仅

y>0

为(1,3),则。的取值范围为()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(3,1)51,叱)D.(-1,0]

【答案】A

【解析】

【分析】

结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可.

【详解】

结合不等式组，绘制可行域，得到：

目标函数转化为V=-6+z,当一时，则-a<l,此时a的范围为(一1,0]

当—a<0时，则—a>—1,此时a的范围为(0』)，综上所述，a的范围为(-覃)，故选

A.

【点睛】

本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位

置，难度偏难.

12.定义在R上的函数/(x)对任意玉,毛(%都有且函数

y=/(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s满足不等式

/(?-25+3)„-/(5-2?+3),则s的取值范围是()

A.—3,——B.[—3,—2]C.[—2,3)D.[—3,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知可分析出/(%)在R上为减函数且y=/(%)关于原点对称，所以不等式等价于

2_2s+3),,/(_§+2s2—3),结合单调性可得$2_2s+3N—s+2s2—3,从而可求

出s的取值范围.

【详解】

解：因为对任意%,%(%♦4)都有"[)：；(")<°，所以/(X)在R上为减函数；

又y=/(x-l)的图象关于(1,0)成中心对称，所以y=/(尤)关于原点对称，

则/(/—2s+3),,-/(s-2s2+3)=/(—s+2s2—3),所以

s~—2s+3>—s+2s~—3，

整理得s2+s—6<0,解得—3WsW2.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关

键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.

13.已知函数/(x)=gzncos2x+(zn-2)sinx,其中IVm<2,若函数/(%)的最大值

记为g(m),则g(m)的最小值为()

A.--B.1C.-73D.73-1

4

【答案】D

【解析】

【分析】

y(x)=-msin2%+(m-2)sinx+一,令sin%=/,则

2

y=-mt+(m-2)r+—,结合14根＜2可得

g(/〃)=y|11=2m2+(W~2)2+再利用基本不等式即可得到答案.

m~24m4m

【详解】

由已知，/(x)=—m(l-2sin2x)+(m-2)sinx=-msin2x+(m-2)sinx+—,

9­、"7

令sin%=/,则y=-mt+—,因为14根42,

所以对称轴为/=与生=工—所以

2mm22

g（m\=y\ii=2加+（―__=J_m+J__j>21—mx--1=A/3-L当且仅当

'）/一54m4m74m

m=2叵时，等号成立.

3

故选：D

【点睛】

本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用,

考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

2x-y<0

14.已知点A（2,l）,。是坐标原点，点P（x,y）的坐标满足：卜―2y+320,设

y>0

z=OPOA>则z的最大值是（）

A.2B.3c.4D.5

【答案】c

【解析】

【分析】

画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解,

代入约束条件求解即可.

【详解】

"2x-y<0

解：由不等式组<x-2y+3N0可知它的可行域如下图：

y>0

4（2,1）,P（x,y）

z^OPOA=2x+y,可图知当目标函数图象经过点5(1,2)时，z取最大值,

即z=2x+y=4.

故选：C.

【点睛】

本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.

14.y

15.若两个正实数x,y满足一+一=2,且不等式x+2<n9r-机有解，则实数m的取值

xy4

范围是()

A.(-1,2)B.(f,—2)U(l,y)C.(-2,1)

D.(-oo,-l)(2,-KO)

【答案】D

【解析】

【分析】

将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.

【详解】

若不等式X+—<加2—加有解,即苏—m>(x+泰而即可,

4

14cI21

—।——2,——I—=I,

xy2xy

则

1-2I22xy1c2x

x+———A+—=—+—+——+—>l+2?心-=l+2x-=l+l=2

4八2xy)24y8xy42

2xy0。

当且仅当『8P即y=.，即k4x时取等号,此时％=l,y=4,

即(x+=2,

则由苏—zn>2得病一加一2>0，即+1)(〃?-2)>0,

得相>2或

即实数m的取值范围是(TR—l)D(2,+8),

故选D.

【点睛】

本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键.

16.若均不为工的实数。、b满足。>匕>0,且。6>1,贝。()

ab+1a+bba

A.log“3〉10gz,3B.3"+3〃>6c.3>3D.a>b

【答案】B

【解析】

【分析】

举反例说明A,C,D不成立，根据基本不等式证明B成立.

【详解】

当a=93=3时logQvl0gz,3；当a=2,b=1时3"+1=3""；当a=4,L=2时d=/。；

因为a>/?>0,ab>l,所以3。+3">2A/3"3"=2,3"+">253?碗>6，

综上选B.

【点睛】

本题考查比较大小，考查基本分析论证能力，属基本题.

14

17.已知正数x,y满足一+—=/「，则x+y的最小值是()

xy

95

A.9B.6C.-D.一

42

【答案】C

【解析】

【分析】

1/1zh

先把尤+y转化成：(x+y>-+--,展开后利用均值不等式即可求解.

41xJ

【详解】

14,

,正数x,y满足一+—=4,

%y

1.,(14)if14y4%、](/△1y4%)、9

.•.x+y=：(x+y>-+-=-

4(xy)4(X#4(y)4

y_4x

xy33

当且仅当；，即》=—,y=—时，取等号.

14,4'2

-+—=4

11y

故选：c

【点睛】

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好"一正，二定,

三相等”的原则，属于基础题.

18.若函数/(x)=e*-d*+sin2x,则满足了(2f-1)+/(%)〉0的x的取值范围为

()

A.(-1,—)B.(一(»,一1)J(5，+°o)

c.(一万,1)D.(-00,--)0(1,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

判断函数/(力为定义域R上的奇函数，且为增函数，再把/(2/—1)+/(力>。化为

2X2-1>-X，求出解集即可.

【详解】

解：函数/(%)=/-ef+sin2x,定义域为R,

且满足/(-%)=e~x-ex+sin(-2x)=-{ex-ex+sin2x)=-/(x),

/./(%)为R上的奇函数；

又/'(%)=e*+e~x+2cos2x>2+2xcos2x20恒成立,

.♦•〃力为R上的单调增函数；

W/(2X2-1)>-/W=/M-

2x2-1>-%>

即2X2+X-1>0,

解得X<-1或x〉L

2

所以X的取值范围是

故选B.

【点睛】

本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不

等式，是中档题.

x>0

19.若X，V满足约束条件<x+2y23,则2=%—y的最小值是（）

2x+y<3

A.0B.-3C.-D.3

2

【答案】B

【解析】

3

可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A（0,万）,3（0,3）,所以直线