空间点、直线、平面之间的位置关系-2025年高考数学备考复习

第七章立体几何与空间向量

第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

课标要求命题点五年考情命题分析预测

平面的基2020新高考卷IT16；该讲是立体几何的基础，

借助长方体，在直观

本性质及2020全国卷UT16；主要以客观题的形式出

认识空间点、直线、

应用2020全国卷niT19现，考查平面的基本性质

平面的位置关系的基

及应用（如作截面），线

础上，抽象出空间空间直

2023上海春季T15；线位置关系的判定等，难

点、直线、平面的位线、平面

2021新高考卷IITIO；度中等.在2025年高考备

置关系的定义，了解间的位置

2019全国卷IHT8考中要侧重对基本性质的

4个基本事实和定理.关系

理解和应用.

n学生用书P142

1.平面的基本性质

（1）三个基本事实

基本事实1过①不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面.

基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3如果两个不重合的平面②有一个公共点，那么它们有且只有③一条

过该点的公共直线.

（2）三个推论

利用基本事实1和基本事实2,结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条④相交直线,有且只有一个平面.

推论3经过两条⑤平行直线,有且只有一个平面.

2.空间中直线间的位置关系

古小（相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点•

共面直线《

I平行直线：在同一平面内，没有公共点.

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

助情（1）过平面外一点/和平面内一点2的直线，与平面内不过点3的直线是异面直

线；（2）异面直线既不平行，也不相交；（3）异面直线不具有传递性，即若直线。与6

是异面直线，6与c是异面直线，则。与c不一定是异面直线.

3.空间中直线、平面间的位置关系

图形语言符号语言公共点

相交aGa=Z1个

直线与平面----a

平行4___/a//a0个

在平面内/——/⑥无数个

平行Z___/a〃P⑦0个

/B/

平面与平面

相交会anp=7无数个

说明分另在两个平行平面内的直线平行或异面.

「二正目

1.如图，anp=/,A,BWa,Cep,且。生/,直线/gn/=M,过/,B,C三点的平面记

作Y，则丫与［3的交线必通过（D）一二5

A.点/B.点3'.」一~7

C.点C但不过点MD.点C和点M

2.［多选］以下说法正确的是（CD）

A.若一条直线上有两个点到一个平面距离相等，则这条直线与该平面平行

B.若一个平面上有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行

C.若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线/于4,B,C三点，则这四条直线共面

D.不共面的四点中，任意三点都不共线

解析对于A,直线也可能在平面内或与平面相交；对于B,两平面也可能相交；易知

C,D正确.

3.［多选］如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是（CD）

A.AF马CN平行B.3M与/N是异面直线

C.N厂与AW■是异面直线D.BN与£>£是异面直线

解析把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，AF

与CN是异面直线，故A错误；

BM与AN平行,故B错误；

BMU平面BCMF,FG平面BCMF,/生平面3cM£F年BM,故AF与

8M是异面直线，故C正确；

DEU平面ADNE,NG平面ADNE,B年平面ADNE,N年DE,故BN与DE是异面直线，故

D正确.

a学生用书P143

命题点1平面的基本性质及应用

例1已知在正方体N8CD—/iSGA中，E,月分别为。Ci,CiS的中点，ASBD=P,

AiCiHEF^Q.

求证：(1)。，B,F,E四点共面.

(2)若小。交平面DATE于点尺，则P,Q,R三点共线.

(3)DE,BF,CG三线交于一点.

解析(1)如图所示，连接囱Di.由题意知所是△D/iCi的中位线，所:一

以斯〃31D1.在正方体48。。一413口01中，BiDi//BD,所以EF〃BD,

所以昉，3。确定一个平面，即。，B,F,E四点共面.,,<

(2)记4,C,G三点确定的平面为平面a,平面8DE尸为平面0.因为；」,

Q^AiCi,所以QGOL又QGEF,所以所以。是a与p的公共点.同理，P是a与|3的公

共点，所以aCp=P。.又NiCnp=R,所以RG4C,RGa,且RGp,则RGPQ,故P,

Q,R三点共线.

(3)因为EF〃BD且EFVBD,所以DE与相交，设交点为则由DEU

平面。QCCi,得Md平面AOCG,同理，"G平面313CG.

又平面。⑷CGD平面BiBCCi=CCi,所以“eCCi.

所以BF,CG三线交于一点.

方法技巧

1.证明点共线问题的常用方法

基本事先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3

实法证明这些点都在交线上.

纳入直

选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

线法

2.证明线共点问题的常用方法

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.

3.证明点、直线共面问题的常用方法

纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.

先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面P，最后证明平

辅助平面法

面a,p重合.

训练1如图，已知正方体4BCD—中,E,尸分别是棱CG,AAi

的中点.“•

(1)画出平面BEDF与平面N8CD的交线，并说明理由.

(2)设立为直线BLD与平面BEA尸的交点，求证：B,H,。三点共线.

解析(1)如图1所示，直线尸3为平面3££>诉与平面/BCD的交一

线，理由如下：，.J

在正方体/BCD-N/iCiA中，

因为D/u平面44必0,OFU平面440点，且ZX4与。i/不平行，图1

所以在平面44口。内分别延长。1尸，DA,则。砂与。/必相交于一点，不妨设为点尸，

所以PG/。，PGDF.

因为LMU平面/BCD,DiFu平面BEDiF,

所以pe平面48。，PG平面BEDF,

即P为平面ABCD和平面BEDiF的公共点.

连接P3,又8为平面N3CD和平面BEDiF的公共点、,

所以直线P8为平面BEDiF与平面ABCD的交线.

(2)如图2所示，连接5D1,BD,BxDi,在正方体48cz)—4SGD1中，

因为BBi//DDi,且BBi=DDi,V：vjVI

所以四边形551Ao为平行四边形.]

因为H为直线30与平面BEA尸的交点，所以HWBiD,图2

入BiDu平面BBQ©,所以//G平面

又“G平面BEDxF,平面8£Z>i尸C平面BBXD\D=BD\,

所以HGBDI,

所以8,H,A三点共线.

命题点2空间直线、平面间的位置关系

例2(1)[2023上海春季高考]如图，在正方体NBC。一/由1GA中，尸是

/Ci上的动点，则下列直线中，始终与直线3尸异面的是(B)A'\\\\

A.DZ)iB.ACC.AD1D.SiC/L--\-LJC

解析对于A,如图1,当点P为4G的中点时，连接SDi,BD,则P在K-----Y

2boi上，BPU平面BDDIBI,又。£>iu平面台。。出，所以AP与共面，故A错误；

图1图2

对于B,如图2,连接/C,易知/C<=平面/CG/1,8PC平面NCG4,且3尸（~1平面

ACCxAi=P,P不在NC上,所以与NC为异面直线，故B正确；当点P与点G重合

时，连接4D1,BiC（图略）,由正方体的性质，易知5P〃4,与3c相交，故C,

D错误.故选B.

（2）[2023高三名校联考（一）]设01是空间中的一个平面，I,m,〃是三条不同的直线,

则下列说法正确的是（B）

A.若〃zu。，〃Ua,l.Lm,I.Ln,则l.La

B.若/〃m//n,Z±a,贝！］〃J_a

C.若/〃wXa,则/_L〃

D.若加Ua,〃J_a,l.Ln,则/〃m

解析A选项，若"?Ua,nca,/J_m,/J_〃，则/与a相交、平行或/Ua,如图1,m//n,

且满足加Ua,〃Ua,/_!_〃?，/_!_〃，但此时/与a斜交，故A错误；B选项，因为/〃%,

m//n,所以/〃“，因为/_La,所以"J_a,故B正确；C选项，因为〃_zl_a,n±a,所以

m//n,因为/〃/,所以/〃“，故C错误；D选项，若mu。，〃_La,I-Ln,则/与加相

交、平行或异面，如图2,满足机Ua,〃J_a,ILn,但此时/与机异面，故D错误.故选B.

图1图2

方法技巧

1.判断空间直线、平面间的位置关系时，注意对平面的基本性质及有关定理的应用.

2.判断空间直线、平面间位置关系的命题的真假时，常借助几何模型（长方体、正方体）

或实物（墙角、桌面等）.

3.注意反证法在判断空间两直线位置关系时的应用.

训练2若直线/i和/2是异面直线，人在平面a内，/2在平面B内，/是平面a与平面B的交线,

则下列命题正确的是（D）

A./与/1，，2都不相交

B./与/”/2都相交

C./至多与/1，/2中的一条直线相交

D./至少与儿/2中的一条直线相交

解析解法一（反证法）若/〃/l,l//h,则/1〃/2,这与/1,/2是异面直线矛盾.故/至少

与/1,/2中的一条直线相交.

解法二（模型法）如图1,/1与/2是异面直线，与/平行，/2与/相交，故A,B不正

确；如图2,/1与办是异面直线，/1,/2都与/相交，故C不正确.

ciritai•番2威电）

I.［命题点1］到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为（C）

A.lB.4C.7D.8

解析当空间四点/,B,C,。不共面时，则四点构成一个三棱锥.当平面一侧有一个点，

另一侧有三个点时，如图1,当平面过/D,BD,CD的中点时，满足条件.因为三棱锥有4

个面，则此时满足条件的平面有4个.

图1图2

当平面一侧有两个点，另一侧有两个点时,如图2,当平

面过N3,BD,CD,NC的中点时，满足条件.因为三棱锥的相对棱有3对，则此时满足条

件的平面有3个.所以满足条件的平面共有7个.故选C.

2.［命题点2/多选］已知G,N,M,〃分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则下列表示

解析A中，鱼统GH//MN;B中，G,H,N三点共面，但M守平面G//N,因此直线G8

与跖V异面；C中，连接MG,GM//HN,因此G8与跖V共面；D中，G,M,N三点共

面，但X生平面GMN,因此G//与ACV异面.

（-----------------------------（练习帮练透好题精准分层---------------------------

6学生用书•练习帮P331

目叁础愫

1.［2024广东省深圳市第二高级中学模拟］已知平面a,0,丫两两垂直，直线a,b,c满足

0Ua,6up,cj,则直线a,b,c不可能满足以下哪种关系(B)

A.两两垂直B.两两平行

C.两两相交D.两两异面

解析如图1,可得a,b,c可能两两垂直；如图2,可得a,b,c可能两两相交；如图

3,可得a,b,c可能两两异面.故选B.

图1图2图3

2.［2024河南焦作模拟］已知"?，〃为异面直线，平面a,〃_L平面0.若直线/满足/_!_〃?，

ILn,13,/邙，贝|(B)

A.a/7p,I//a

B.a与p相交，且交线平行于/

C.a±p,/邛

D.a与B相交，且交线垂直于/

解析若a〃［3,则由加工平面a,平面B，可得机〃“，这与也,〃是异面直线矛盾，故a

与B相交.

设anp=a,过空间内一点P,作“〃加，，”与〃'相交，

设“与〃'确定的平面为丫.

因为/_!_加，/_L«,所以故/_Ly,

因为〃_L0,所以a,"所以aJ_7〃'，a_L〃'，所以aLy,

又因为比a,/仁3所以/与a不重合，所以/〃a.故选B.

3.［多选Z2024贵州省遵义市南白中学联考］已知a,6是两条不重合直线，a,(3是两个不重

合平面，则下列说法正确的是(BC)

人.若。〃0,aUa,6up,则0与6是异面直线

B若a〃b,6Ua,则直线a平行于平面a内的无数条直线

C.^a//p,aUa,则a〃0

D.若aCp=6,aUa,则a与。一定相交

解析

选项正误原因

AX若a〃(3,qUa,bup,则Q与6平行或异面.

Bq美aHb,6<=a,则平面a内所有与6平行的直线都与a平行.

C若。〃0,则平面a内所有直线都与。平行，因为aUa,所以a〃0.

DX若aA|3=6,qua,则当a〃6时，a//^>.

4.［多选/2023广东省广州市模拟］已知直线/与平面a相交于点P,则下列结论正确的是

（ABD）

A.a内不存在直线与/平行

B.a内有无数条直线与/垂直

C.a内所有直线与/是异面直线

D.至少存在一个过/且与a垂直的平面

解析直线/与平面a相交于点尸，故a内不存在直线与/平行，A正确.若/J_a,则a内的所

有直线都与/垂直；若/与a不垂直，设与/在平面a内的射影垂直的直线为〃，则平面a内与

〃平行的直线都与/垂直，有无数条，B正确.平面a内过点P的直线与/相交，C错误.若

l±a,则过/的任一平面都与a垂直；若/与a不垂直，取/上异于点尸的一点0,过。作

QW_L平面a于点则平面PQN_La,D正确.故选ABD.

5.［多选/2023高三名校模拟］下列关于点、线、面的位置关系的命题中不正确的是

（ABC）

A.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合

B.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内

C.两条直线a,6分别和异面直线c,4都相交，则直线a,6是异面直线

D.正方体/BCD—中，点。是8boi的中点，直线4c交平面于点则

A,M,。三点共线，且/,M,O,C四点共面

解析如图，在正方体48cgi中，A,D,E三个点在一条直『_71c

a,b确定一个平面，且a,b分别与直线c,d的交点都在此平面内，则A'H

c,d共面，与c,d是异面直线矛盾，所以直线a,6可能是异面直线，也可能是相交直线

（c,"中的一条直线过a,6的交点），故C不正确；如图，平面441CA平面=

AO,因为直线NC交平面于点所以MG/。，即N,M,。三点共线，因为直线

和直线外一点可以确定一个平面，所以/,O,C,M四点共面，故D正确.故选ABC.

能力练

6.如图，点N为正方形/BCD的中心，△£［£>为正三角形，平面£CDJ_平面/BCD,M是

线段££）的中点，则（B）

A.BM=EN,且直线EN是相交直线

且直线EN是相交直线

C.BM=EN,且直线EN是异面直线

D.BM^EN,且直线BM,EN是异面直线

解析设C£>的中点为。，连接ON,EO,因为△£(?£>为正三角形，所以EO_LCD,又平

面£CDJ_平面N3C2平面ECDC平面/8Cr>=CD,所以£O_L平面/BCD设正方形

ABCD的边长为2,则£。=k，ON=\,所以£1平=£02+0用=4,得EN=2.过点M作

CD的垂线，垂足为尸，连接8P,则〃P=f,。尸=|,所以BTUA庐+2户=(争2+

(|)2+22=7,得BM=布,所以BM丰EN连搂BD,BE,因为四边形48CD为正方形，

所以N为的中点，即EN,上必均在平面助£内，所以直线EN是相交直线.故选

B.

7.［多选/2024云南昆明高三校考］如图，在正方体/BCD—431GA中，E,F,G,X分别

是棱CG,BC,CD,5cl的中点，则下列结论正确的是(AC)

A./F〃平面NiDE?“二

B./G〃平面4DE

加-4］(

C.4,D,E,〃四点共面'

D./1,D,E,Cl四点共面

解析如图I,取4。的中点连接NM,EF,ME,BCi,则EF〃BCi,EF=^BC\,

AM//BC1,AM=^BCi,所以EF〃4M,EF=AM,则四边形4F