七年级数学上册-5.3平行线的性质 解析版

.3平行线的性质【考点梳理】考点一：平行线的性质 考点二：根据平行线性质探究角的关系考点三：根据平行线性质求角的大小 考点四：平行线性质在生活应用问题考点五：平行线之间的距离问题 考点六：与命题有关的问题考点七：平行线的判定和性质的综合问题知识一：平行线的性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单地说:两直线平行，同位角相等.2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单地说:两直线平行，内错角相等.3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单地说:两直线平行，同旁内角互补. 注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。一个结论：平行线间的距离处处相等。例如：应用于说明矩形（包括长方形、正方形）的对边相等，还有梯形的对角线把梯形分成分别以上底为底的两等面积的三角形，或以下底为底的两等面积的三角形。（因为梯形的上底与下底平行，平行线间的高相等，所以，就有等底等高的三角形。）知识二、命题判断一件事情的语句叫命题。命题包括“题设”和“结论”两部分，可写成“如果……那么……”的形式。例如：“明天可能下雨。”这句语句______命题，而“今天很热，明天可能下雨。”这句语句_____命题。(填“是”或“不是”)命题分为真命题与假命题，真命题指题设成立，结论也成立的命题（或说正确的命题）。假命题指题设成立，但结论不一定或根本不成立的命题（或说错误的命题）。逆命题：将一个命题的题设与结论互换位置之后，形成新的命题，就叫原命题的逆命题。注：原命题是真命题，其逆命题不一定仍为真命题，同理，原命题为假命题，其逆命题也不一定为假命题。题型一：平行线的性质1．（2023下·广西贺州·七年级统考期末）如图，直线a，b被直线c所截，若，∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．110°【答案】C【分析】由，∠1＝70°，可得从而可得答案．【详解】解：∵，∠1＝70°，∴故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键．2．（2024上·河南周口·七年级河南省淮阳中学校考期末）如图，沿路线行走，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线性质，根据两直线平行，内错角相等，即可解题．【详解】解：，，，故选：B．3．（2024上·河南周口·七年级统考期末）如图，，直线分别交，于点，，平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质；根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质即可求出．【详解】解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，故选：C．题型二：根据平行线性质探究角的关系4．（2024下·七年级课时练习）如图，直线a，b被c，d所截，且，则下列结论中正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A．由，无法判断和的大小，故本选项错误，不符合题意；B．由，无法得出，故本选项错误，不符合题意；C．因为，所以，故本选项正确，符合题意；D．由，无法得出，故本选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习）如图：平分，则下列结论：①平分②③④，其中结论正确的序号是（

）

A．只有①②③ B．只有①③④ C．①②③④ D．只有①④【答案】A【分析】根据可得，利用平角得到，再根据角平分线的定义得到，则③正确；利用，，，可得，，，进而可得平分，则①正确；由，，，由，进而可得，则②正确；由②可知，，则④不正确．【详解】③，，，又平分，，故③正确；①，，又，，又，，，，平分，故①正确；②，，，又，，故②正确；④由①可知，，故，故④不正确．故结论正确的是①②③，故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中角和角的关系，再进行解答．6．（2024上·四川巴中·七年级统考期末）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可．【详解】解：，，，，平分，，故①正确；，，，即平分，故②正确；，，，，，，，故③正确；，，故④正确；综上所述，正确的有①②③④，故选：C．题型三：根据平行线性质求角的大小7．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，直线，含有角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，过B作，推出，由平行线的性质得到，，求出，即可得到．【详解】解：过B作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故选：B．8．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图，直线，点分别在直线上，平分，平分，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．过点作交于点，由平分可知，故，由可知，再由可知，根据平分可得出的度数，进而得出结论．【详解】解：如图，过点作交于点，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴．故选：．9．（2024·全国·七年级竞赛）如图，，，平分，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质，角平分线的性质，垂直的性质，合理作出平行线是解题的关键．如图所示，作交于，作，根据平行线的性质可求出的度数，根据垂直的性质可求出的度数，最后根据即可求解．【详解】解：如图所示，作交于，作，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴．题型四：平行线性质在生活应用问题10．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，一条街道有两个拐角和，已知，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，由，根据两直线平行，内错角相等，可得的度数，解题的关键是将实际问题转化为数学问题求解．【详解】∵∴（两直线平行，内错角相等）．故选：D．11．（2023下·江西抚州·七年级统考期中）一辆行驶中的汽车经过两次拐弯后，仍向原方向行驶，则两次拐弯的角度可能是（

）A．先右转，后左转 B．先左转，后右转C．先右转，后左转 D．先右转，后左转【答案】D【分析】利用平行的性质：两直线平行，同位角相等来选择即可．【详解】解：两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，即转弯前与转弯后的道路是平行的，因而右转的角与左转的角应相等，理由是两直线平行，同位角相等．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，能够根据条件，找到解决问题的依据是解决本题的关键．12．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过B作，然后根据平行线的性质和垂线的定义即可得解．【详解】解：如图，过B作，

∵，则，∴，∵，∴，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线的综合应用，熟练掌握平行线的性质和垂线的定义是解题关键．题型五：平行线之间的距离问题13．（2023下·湖南娄底·七年级统考期末）如图，，P，Q为直线上的任意两点，和的面积关系是(

)

A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】根据两条平行线之间的距离处处相等，可知与底边边上的高相等，从而得到它们的面积相等．【详解】解：因为，所以点P与点Q到直线的距离相等，即与是同底等高的两个三角形，故．故选：B．【点睛】本题考查两条平行线之间的距离处处相等，掌握这一性质是解题的关键．14．（2023下·广西桂林·七年级校联考期末）如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（

）

A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】的边上的高和的边上的高长度相同，设高为，可求得和之间的数量关系．【详解】∵，，∴．∵，∴的边上的高和的边上的高长度相同．设的边上的高和的边上的高为．根据题意，得，．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查两条平行线之间的距离（如果两条直线平行，那么其中一条直线上每个点到另一条直线的距离都相等，这个距离，叫做这两条平行线之间的距离），牢记两条平行线之间的距离的定义是解题的关键．15．（2022下·河北石家庄·七年级校考期末）如图，点、为平面内两个定点，定直线，是直线上一动点，对下列各值：①的周长；②的面积；③点到的距离；④的大小.其中会随点的移动而变化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根据平行线间的距离不变即可判断③；根据三角形的周长和点M的运动变化可判断①④；根据同底等高的三角形的面积相等可判断②；进而可得答案．【详解】解：∵直线，∴点M到直线的距离不会随点M的移动而变化，故③正确；∵，的长随点M的移动而变化，∴的周长会随点M的移动而变化，的大小会随点M的移动而变化，故①④错误；∵点M到直线的距离不变，的长度不变，∴的面积不会随点M的移动而变化，故②正确；综上，不会随点M的移动而变化的是①④．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线间的距离和同底等高的三角形的面积相等等知识，属于基础题型，熟练掌握平行线间的距离的概念是关键．题型六：与命题有关的问题16．（2024下·全国·七年级专题练习）下列各命题的逆命题是假命题的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．若两个数，则这两个数为相反数C．对顶角相等D．如果，那么【答案】C【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，写出命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A、逆命题为同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；B、逆命题为如果两个数互为相反数，那么，是真命题，不符合题意；C、逆命题为相等的角为对顶角，是假命题，符合题意；D、逆命题为如果，那么，是真命题，不符合题意．故选：C．17．（2023下·辽宁鞍山·七年级校考阶段练习）下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；⑤垂直于同一条直线的两条直线垂直，其中的假命题有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；②在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；③把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，原命题是真命题；④从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短是真命题；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是假命题，故选：B．18．（2023下·广西玉林·七年级统考期中）下列命题；①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则；其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；②两个锐角的和不一定是钝角，错误，是假命题，不符合题意；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；正确，是真命题，符合题意；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，正确，是真命题，符合题意；真命题有2个，故选：B．题型七：平行线的判定和性质的综合问题19．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）如图，，，的平分线交的延长线于点．(1)求证：；(2)探究，，之间的数量关系，并说明理由；(3)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由平行线的性质可得，求出，即可得证；（2）作，则，，再由平行线的性质可得，即可得出答案；（3）作，则，求出，得出，由平行线的性质可得，从而得出，由角平分线的定义可得，由（2）可得，由此即可得出答案．【详解】（1）证明：，，，，；（2）解：，理由如下：如图，作，，则，由（1）可得，，，，，；（3）解：如图，作，，则，，，由（1）可得，，，，的平分线交的延长线于点，，由（2）可得：，．20．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：中，D、E、F、G分别在、和上，连接、和，，．(1)判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求的度数．【答案】(1)，理由见详解(2)【分析】本题考查了平行线的性质和判定，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）先证明，可得，等量代换后可得，继而得到；（2）由平行线同旁内角互补，可得，根据平行线内错角相等可得，依据，可计算出．【详解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵．∴，∴．（2）由（1）可知，，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．21．（2024上·湖南衡阳·七年级衡阳市华新实验中学校考期末）问题情境1：如图1，，P是内部一点，P在的右侧，探究，，之间的关系？

（1）如图2，过P作，可得，，之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，，P是，内部一点，P在的左侧，（2）得，，之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知，与两个角的角平分线相交于点F．（3）如图4，若，求的度数；（写证明过程）（4）如图5中，，，写出与之间数量关系并证明结论．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），证明见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）先证明，再由平行线的性质得到，进而可得；（2）如图所示，过P作，先证明，再由平行线的性质得到，进而可得；（3）由（1）（2）的结论可得，，则可求出，再由角平分线的定义可得；（4）由（1）（2）的结论可知，，进而得到，再由角平分线的定义得到，则．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴∵，∴，故答案为：；（2）如图所示，过P作，∵，，∴，∴，∴∵，∴，故答案为：；

（3）由（1）（2）的结论可知，，∵，∴，∵与两个角的角平分线相交于点F，∴，∴；（4），证明如下：由（1）（2）的结论可知，，∵，，∴，∴，∵与两个角的角平分线相交于点F，∴，∴，∴．一：选择题22．（2024下·黑龙江绥化·七年级校考）如图，已知直线与直线都相交．若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查邻补角互补，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行同位角相等即可得出，再根据邻补角互补求解即可．【详解】解：如图，∵，∴，∴．故选B．23．（2024下·全国·七年级假期作业）下列语句中，是命题的个数为（

）①若两个角相等，则它们是对顶角；②等腰三角形两底角相等；③画线段；④同角的余角相等；⑤同位角相等．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题主要考查命题，熟练掌握命题的概念是解题的关键；因此此题可根据“一般的，在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题”进行排除选项．【详解】解：①②④⑤符合命题的定义，而③不能写出题设与结论出来，故不是命题，所以是命题的个数有4个；故选C．24．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线，直线c与直线a、b分别相交于A、B两点，于点A，交直线b于点C．如果，那么的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故选：A．25．（2024上·江苏南通·七年级统考期末）将一直尺和一块含角的三角尺按如图放置，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据题意知，进而可得，再由邻补角定义即可求解，准确识图是解题的关键．【详解】解：由题意可知，∵，∴，∴，故选：D．26．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知：中，、、、分别在、和上，连接、和，，．(1)判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质和余角的计算，熟练掌握平行线的相关判定和性质是解题关键．（1）由，根据“同位角相等，两直线平行”得，再根据“两直线平行，内错角相等”得，再利用“同旁内角互补，两直线平行”，即可证得结论；（2）由，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可求出，再根据“两直线平行，内错角相等”得，然后根据余角定义即可求出的度数．【详解】（1）解：，理由如下：，，，又，，．（2）解：由（1）可知，，，，，，，，．27．（2024上·浙江金华·七年级统考期末）如图，已知于点A，．(1)试说明．（填空）已知，得，所以______，又已知，根据______，得，根据______，得，根据______，得．(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)．【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．（1）根据互余关系，平行线的判定和性质，作答即可；（2）根据，得到，进而得到，根据，即可得出结果．【详解】（1）解：已知，得，所以，又已知，根据同角的余角相等，得，根据同位角相等，两直线平行，得，根据两直线平行，同旁内角互补，得；故答案为：，同角的余角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∵，∴，∴，由（1）知：，∴．一、单选题28．（2024上·四川宜宾·七年级统考期末）如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】此题考查了角平分线的定义，平行线的判定及性质，平行线间的距离处处相等等相关内容，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．利用，平分，平分，可以判断出①②正确；再证明，再利用，可判断出③正确；根据，推出与是等底等高的三角形，最后利用等式性质可得到④正确．【详解】解：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，故①②正确；∵，∴，∵，，∴，故③正确；∵，∴与是等底等高的三角形，∴，∴，故④正确，∴①②③④正确．故选：D．29．（2024上·山西长治·七年级统考期末）如图，，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出．【详解】解：过P作直线，如下图所示，∵，，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，故选：D．30．（2024上·福建泉州·七年级统考期末）如图，，直线分别交，于点，，且满足，，则的度数为（

）

A． B． C． D．不确定【答案】B【分析】本题考查了平行线的性质，过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，，等量代换计算得，即可求解；掌握性质，作出辅助线求解是解题的关键．【详解】解：如图，过作，

，，，，，，，，；故选：B．31．（2024上·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，，点是边上一点，连接，延长、交于点．点是边上一点，连接，使得，作的平分线交于点．若，则的度数用含的式子表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．证明，可得结论．【详解】解：设．，，，，，，，，平分，，，．故选：B．32．（2024上·重庆巴南·七年级校考期末）如图，平分平分，则的度数用含的式子表示为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线．根据角平分线得出过H作过E作证出即可得结论；【详解】平分平分过H作过E作故选：B．33．（2023下·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质；①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图，先根据三角形外角的性质得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图，过点作直线，由平行线的性质可得出，即得；④如图，根据平行线的性质得出，，再利用角的关系解答即可．【详解】解：

①如图，过点作直线，，，，，，，故①错误；②如图，是的外角，，，，即，故②正确；③如图，过点作直线，，，，，，即，故③错误；④如图，，，，，，，，故④正确；综上结论正确的个数为，故选：B．二、填空题34．（2024下·江苏·七年级周测）如图，一辆汽车经过一段公路两次拐弯后，和原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行．第一次拐的角等于，第二次拐的角∠的度数为．【答案】/142度【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出，解题的关键是熟练掌握平行线的性质及其应用．【详解】∵原来的行驶方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，∴，∴（两直线平行，内错角相等）．35．（2024上·山东济南·七年级统考期末）如图，将三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点与直尺的一边重合，若，则的度数是°．【答案】60【分析】本题考查了平行线的性质，互余关系；由互余可求得，再由平行线的性质即可求得结果．【详解】解：如图，∵，，∴；∵直尺的两边平行，∴，故答案为：60．36．（2024上·河南南阳·七年级统考期末）将一副三角板按如图所示重叠放置，其中，，，，和的两个角顶点重合在一起．若将三角板绕点旋转，在旋转过程中，当时，．

【答案】或【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键．根据题意画出图形，由平行线的性质可得出答案．【详解】解：如图1，当绕点O顺时针旋转时，，此时．

如图2，当绕点O逆时针旋转时，，

∵∴．故答案为：或．37．（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期末）如图①，，分别在上，且．如图②，将绕点以的速度逆时针转动，将绕点以的速度逆时针转动，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当旋转至所在射线后，二者同时停止转动，则在旋转过程中，当与互相平行或互相垂直时，的值为．【答案】2或6.5【分析】本题考查了一元一次方程的应用、平行线的性质等知识，分与互相平行及与互相垂直两种情况，找出关于的一元一次方程是解题的关键．利用“旋转时间的度数射线的旋转速度”，可求出转至所在射线所需时间，当运动时间为秒时，，，当与互相平行时，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；当与互相垂直时，由，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．综上即可得出答案．【详解】解：（秒），当运动时间为秒时，，，当与互相平行时，，即，解得；当与互相垂直时，，即，解得．∴当与互相平行或垂直时，的值为2或6.5．故答案为：2或6.5．38．（2024·全国·七年级竞赛）如图，已知，，，则．

【答案】/360度【分析】本题考查了平行公理的推理，平行线的性质等知识．过作，再证明，先证明，，再证明，，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解．【详解】解：如图，过作．

∵，∴．∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题39．（2024下·全国·七年级专题练习）如图，已知，．(1)与平行吗？请说明理由．(2)若平分，于点A，，求的度数．【答案】(1)与平行，理由见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，两直线垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．（1）由可得，进一步可推得；（2）由角平分线的定义可得，结合（1）的结论可推得，根据两直线垂直的定义可得，由此即得答案．【详解】（1）与平行，理由如下：，，，，，；（2），，，平分，，，，，，．40．（2024下·江苏·七年级周测）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，．

(1)若点在图（）位置时，求证：；(2)若点在图（）位置时，请直接写出、、之间的关系；(3)若点在图（）位置时，写出、、之间的关系并给予证明；(4)若点在、两点外侧运动时，请直接写出、、之间的关系．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)当在点上方时，，当在点下方时，．【分析】（）根据两直线平行，内错角相等，结合图形的位置，可以得到、、之间的关系；（）根据两直线平行，内错角相等，结合图形的位置，可以得到、、之间的关系；（）根据的位置，结合两直线平行，同旁内角互补，可以得到、、之间的关系；（）根据图形，可以确定分为当P在点上方，当在点下方两种情况，结合前面的证明，可以确定（