2023-2024学年北师大版七年级数学上册重难点题型突破训练：有理数中规律和新定义综合应用（六大题型）（含答案与解析）

专题06有理数中规律和新定义综合应用(六大题型)

_Um靠氢如他独____________________________________

【题型1数列型规律】

【题型2裂差型规律】

【题型3新定义型规律】

【题型4含n2型规律】

【题型5定义两个数的运算】

【题型6定义多个数的运算】

一___连纪变霰____________________________

【题型1数列型规律】

【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列

的规律，探索下列问题：

4---------->-5---------->-9A••«

11111111

2>-36------------>-710>•••C—>D

(1)在A处的数是正数还是负数；

(2)负数排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017个数是正数还是负数,排在对应于A,B,C,D中的—

位置？

【变式1-1］从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a,b,c的值,

【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是

【典例2】观察下列各数的个位数字的变化规律:2』2,22=4,23=8,276,

25=32,……通过观察，你认为22。21的个位数字应该是（）

A.2B.4C.6D.8

【变式2-1】观察下列算式：3』332=933=2734=8135=24336=729...

通过观察，用你所发现的规律得出32。16的末位数是（）

A.1B.3C.7D.9

【变式2-2］观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据

这个规律，21+22+23+24+•••+2202。的末尾数字是（）

A.6B.4C.2D.0

【变式2-3】小明在计算有规律的算式1-2+3-4+5-+19-20时，不小心把一

个运算符号写错了（“+”错写成“-”或“-"错写成"+”），结果算成

了-36,则原式从左到右数，写错的运算符号是（）

A.第5个B.第8个C.第10个D.第12个

【变式2-4］已知1=口,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,按此规律，

1+3+5+…+19=.

253=23

【典例3】已知5X4X3=60,^5=5X4=20,^6=6X5X4=120,A,^=

9X8X7X6=3024,...,观察并找规律，计算的结果是（）

A.42B.120C.210D.840

【变式3-1】已知城=3X2=6,A产5X4X3=60,A2=5X4X3X2=120,"

=6X5X4X3=360,…，观察上述等式，利用其规律计算A%的结果

为

【变式3口已知：°-畿|=3,。"蟹=以品4=畿瑞等=

3

15,观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C4=.

【变式3-3】已知巧喂针.或芸舞=1。，或餐建25,

观察以上计算过程，寻找规律计算C>C^=

41

【题型2裂差型规律】

【典例4】观察下列计算：^=i~,，盘=；-

，从计算结果中找规律，利用规律计算

I5,……

(1)抖2+沙4+表+……+嬴

(2)＞专+言+音+…+盛

【变式4-1］观察下面的变形规律：一^n上，一H

1X222X323

111.......

3X43N，

解答下面的问题：

)

(111,111,1

4X5—4—5-'2020X2021—2020—2021—,

(2)若〃为正整数，猜想，1、=_』二.

n(n+l)-n-n+1-

(3)求值---4--4--+•••+---------------.

1X22X33X42020X2021

【变式4-2】先阅读下列式子的变形规律:

上口管

111.

2X323

111

3X4HN；

111

1X2*2X3*13X4

然后再解答下列问题：【注：第(1)小题直接写结果，不用写过程】

(1)类比计算：-二=1_

9X102019X2020

归纳猜想：若〃为正整数，那么猜想看=

(2)知识运用，选用上面的知识计算二+…4-------------------的

1X22X33X42019X2020

结果.

(3)知识拓展:试着写出1111的结果.

1X3+3X5+5X7+7X9

【变式4-3］观察下面的变形规律：

LJ_....

1X2r2*2X323'3X434’

解答下面的问题：

(1)仿照上面的格式请写出，=

4X5

(2)若〃为正整数，请你猜想

n(n+l)

(3)基础应用：计算:1111

1X2+2X3+3X4+",+2016X2017

(4)拓展应用1：解方程:+-XX------$-----=2016

1X22X33X42016X2017

(5)拓展应用2：计算:----+------P-----+,•,+-----------

1X33X55X72015X2017

【题型3新定义型规律】

【典例5】符号“广表示一种运算，它对一些数的运算如下：/(I)=1+1,f

(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+2…

234

(1)利用以上运算的规律写出/(〃)=;(〃为正整数)

(2)计算：/(I)•/(2)«/(3)-y(ioo)的值.

【变式5-1］新定义：符号表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下:

运算(一)：/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,f(0)=0-

1=-1,/(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,.......

运算(二)：f(」)=-3,f(-A)=-2,f(A)=2,f(A)=3,......

3223

利用以上规律计算：(1)/(10)=,/(-10)=，/(L

io

，f(—)=

10

(2)/(-2015)-/<—―)=;

2016

(3)计算：/(-5)4/(-4)4/(-3)4/(-2)4/(-1)4/(0)4/(1)

4/(Jo4/(JL)4/(-1)4/(1).

2345

【变式5-2］新定义：符号“尸表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下:

运算(一)：/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-

1=-1,/(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,.....

运算(二)：f(1)=-3,f(_A)=-2,/(—)=2,f(—)=3,.......

3223

利用以上规律计算：6/(10)=,/(-10)=,/(_L)=,

10

/(,)=

10

(2)/(-2015)-f(L_)=；

2016

(3)计算：/(-5)4/(-4)4/(-3)4/(-2)4/(-1)4/(0)4/(1)

4/(」)4/(JL)4/(」4/(JL).

2345

【题型4含/型规律】

【典例6］某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小

时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是

()

A.9B.10C.500D.501

【变式6-1】某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分

裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时

后，细胞存活的个数是()

A.31B.33C.35D.37

【变式6-2】某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小

时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小

时后细胞存活的个数是()

A.1023B.1024C.1025D.1026

【题型5定义两个数的运算】

【典例7】现定义一种新运算“*”，规定a*b=d—a,如3*1=12—3=—2,则

(一2)*(-3)等于()

A.11B.-11C.7D.-7

【变式7-1】新定义一种运算：24例如：(-1)03=(-1)-2X

3=-1-6=-7,则2。(-1)=.

【变式7-21已知a,b为有理数，如果规定一种新运算“※”，定义a※/)=°2-

ab+2+a,则(-3)派6的结果是.

【题型6定义多个数的运算】

【典例8】现定义一种新运算“*”，规定a*b=ab+a—b,如1*3=1X3+1—3,则

(2*5)*4等()

A.28B.-28C.-31D.31

【变式8-1］若新运算“X”定义为：a^b=a2-2b,则IX(2X3)=.

【变式8-2】已知a,6为有理数，如果规定一种新运算“@”，定义a@b=°2-

按，贝U(-5)@4的结果是.

【变式8-3】已知x、y均为有理数，现规定一种新运算“X”，满足

-y\-2.例如1X2=1X2+11-2|-2=1.

(1)求后※(-2)］派4的值；

(2)计算2X5和5X2的值，并根据计算结果判断这种新定义是否满足交换

律.

【变式8-4］我们规定“X”是一种新定义运算符号，两数2,8通过“X”运

算得(Z-3)X(-2)+B,即幺※8=(A-3)X(-2)+B,例如1X2=

(1-3)X(-2)+2=6.

(1)求(-2)的值；

(2)计算(-3)※^※(-2)］的值.

【变式8-5］用※”定义一种新运算：规定aXb=ab2+2ab—b，如：lM=lx

32+2x1x3-3=12.

(1)求(—2)米4的值；

(2)若(%—1)※3=12,求x的值.

专题06有理数中规律和新定义综合应用(六大题型)

一名丸臣女蚣独_______________________________

【题型1数列型规律】

【题型2裂差型规律】

【题型3新定义型规律】

【题型4含n'型规律】

【题型5定义两个数的运算】

【题型6定义多个数的运算】

___连纪变聚___________________________

【题型1数列型规律】

【典例1】动脑筋、找规律，李老师给小明出了下面的一道题，请根据数字排列

的规律，探索下列问题：

(1)在A处的数是正数还是负数；

(2)负数排在A,B,C,D中的位置？

(3)第2017个数是正数还是负数,排在对应于A,B,C,D中的.

位置？

【答案】(1)正数

(2)B,D

(3)负数；B

【解答】解：(1)A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在4处

的数是正数；

故答案是：正数；

(2)观察不难发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下

方是负数，上方是正数，

所以，B和。的位置是负数，

故答案是：B,D；

(3)v20174-4=504...1,

・•・第2017个数排在B的位置，是负数，

故答案是：负数，B.

【变式1；】从图①中找出规律，并按规律从图②中找出a，b，c的值,

【答案】14

【解答】解：由题意得：a=—4+11=7,c=—15+ll=-4,

b—a+c—7+(—4)=3,

:.a+b—c—7+3—(—4)—14,

故答案为：14.

【变式1-2】找出下列各图形中数的规律，依此规律，那么a的值是.

【答案】226

【解答】解：V0xl+2=2,2x3+4=10,4*5+6=26,6*7+8=50,…，

，a=14x15+16=226.

故答案为：226.

【典例2】观察下列各数的个位数字的变化规律：21=2,22=4,23=8,2『16,

25=32,……通过观察，你认为22。21的个位数字应该是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解答】解：•：2i=2,22=4,23=8,24=16,25=32,

...以2为底的幕的末位数字是2,4,8,6…依次循环的，

2021-4=505...1,

.•.22021的个位数字是2.

故答案为：A.

【变式2-1】观察下列算式：31=332=933=2734=8135=24336=729...

通过观察，用你所发现的规律得出32。16的末位数是()

A.1B.3C.7D.9

【答案】A

【解答】解：因为岁=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,

所以3n的个位数字分别为3、9、7、1,每4个数为一个循环组依次循环，

因为2016+4=504,

所以32。16的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是1.

故答案为：A.

【变式2-2］观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,根据

这个规律，21+22+23+24+…+22。2。的末尾数字是()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【解答】解：'：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32；26=64,

...个位数的规律是2,4,8,6循环

.,.2020-4=505,

.\505x(2+4+8+6)=10100,

二21+2423+24+25+.......+22°20的末尾数字为0,

故答案为：D.

【变式2-3】小明在计算有规律的算式1-2+3-4+5…+19-20时，不小心把一

个运算符号写错了(“+”错写成“-”或“-”错写成“+”)，结果算成

了-36,则原式从左到右数，写错的运算符号是()

A.第5个B.第8个C.第10个D.第12个

【答案】见试题解答内容

【解答】解：1-2+3-4+5-+19-20

=(1-2)+(3-4)+(5-6)H—I-(19-20)

-1X10

=-10,

,••运算结果-36比-10小,

•••“+”错写成“-”，

设写错符号的数是

-1X9-a-(a+1)=-36,

解得a=13,

•••写错的运算符号是第12个，

故选：D.

【变式2-4］已知1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…，按此规律,

1+3+5+…+19=100.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由1+3=22,从1开始连续2个奇数相加；

1+3+5=32,从1开始连续3个奇数相加；

1+3+5+7=42,从1开始连续4个奇数相加；

所以可以推出：从1开始连续10个奇数相加的和等于102,即：1+3+5+7+…

+19=102=100.

故答案为：100.

3

【典例3】已知43=5X4X3=60,1§2=5义4=20,^6=6X5X4=120,"=

9X8X7X6=3024,……，观察并找规律，计算出？的结果是()

A.42B.120C.210D.840

【答案】C

【解答】解：由题意可得，

"=7X6X5=210,

故选：C.

【变式3-1］已知A?=3X2=6,3=5X4X3=60,2=5X4X3X2=120,卜3

3A5A56

=6X5X4X3=360,…，观察上述等式，利用其规律计算8c的结果为

A10

720.

【答案】720.

【解答】解：根据规律可得:

8=10X9X8=720.

10

故答案为：720.

【变式3-2】已知：。六修|=3,涌=】。，Ch需学|=

15,观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C?=4.

【答案】4.

【解答】解：=4

1XZXS

故答案为:4.

【变式30】已知苗居3或餐爸口。，服餐修25,

观察以上计算过程，寻找规律计算0+仁=41.

47

【答案】41.

【解答】解：•.•。?=3=6,守鬻A

41X2

・・・。2+。3=6+35=41.

47

故答案为：41.

【题型2裂差型规律】

【典例4】观察下列计算:1=1,1_1_11_1

1X2252x3233X4-34'4x5-4

….，从计算结果中找规律，利用规律计算

(1)i+i+―+—+—++上

261220309900

(2)-+—+—+—+……+^—

31535639999

1

【解答】解：得+2+亲++9900

ZO1ZZUoU

+1

1x22x33x44x55x699X100

1,11,11.11.111.11

-------------1--------------------1----------r......-|-------------

22334455699100

1-焉

99

100

②抖++贵+烹+……+福

解.工+J-+J-+J-+-I—!—

用牛.3十15十35十63十•••••,十9999

=—+—+—+—+……+--—

1x33x55x77x999x101

=Ix（1-}+lx（»§+lx*）+fx（沁……+lx塌一加

=3X+（1-1）+（沁）.・・・・・+（+-加］

=3X（1-1+1-|++•…“+杀-壶

=ix（1—）

2I1017

——1X-10-0

2101

50

101

（1）解.1+1+J-+J-+2-++1

肿・2十6十12十20十30十,…”9900

111111

11---------11F......H

1x2----2X33x44x5----5x6-------------99x100

1-1++14+14+14+……+击-焉

1—需

99

100

（）l±J-J_+，

2,3十+15十+35十+63十+,十9999

=—+—+—+—+……+--—

1x33x55x77x999x101

=Ix（1-}+lx+lx（衿）+lx（沁……+lx塌一加

=3X+（1-1）+（沁）.・・・・・+（+-加］

=3X（1-1+1-|++•…“+杀-壶

=ix（1—）

2I1017

——1X-10-0

2101

50

101

【变式4-1］观察下面的变形规律：」一=111=11

1X22'2X3

111...

3X43N

解答下面的问题:

(1)11.1111

4X55—2020X2021—2020—2021

(2)若〃为正整数，猜想11_1

'n(n+l)--'

(3)求值，111

1X22X33X4+"'*2020X2021

【答案】(1)1-1,-J--_A_

4,520202021

(2)-1-1

nn+1

【解答】解：（1）1.1111]

4x5-7T2020x2021-20202021

故答案为：1-1,1.1

4520202021,

（2）若〃为正整数,1=1.1

n(n+l)nn+1

故答案为：（盍

1

(3)---1----+----1-----1++

1X22X33X4--------2020X2021

=1-_1+_1-A+JL-_1+•••+.11

2233420202021

=1---—

2021

;2020

2021,

【变式4-2】先阅读下列式子的变形规律：

七二1等

111

2X3"23'

111.

3X4=3--I，

1_____1_____1___d11111_,13

1X2+2X3+3X4"-75万？丁171

然后再解答下列问题：【注：第(1)小题直接写结果，不用写过程】

(1)类比计算:1=111=]__1

9X10—©下一'2019X2020—2019'2020—，

归纳猜想：若〃为正整数，那么猜想/、=」-二一

n(n+l)-n-n+1

(2)知识运用,选用上面的知识计算111H——i——的

1X2+2X3+3X42019X2020

结果.

(3)知识拓展:试着写出1-------1+-----1--+---1----+-----的--结果.

1X33X55X77X9

【答案】(1)1_____1_.1-1.⑵勰；⑶4

91020192020'nn+1'

【解答】解:(1)1^1.11_1_1

9X102019X202020192020

141.1

n(n+l)nn+1'

故答案为：!」；」——1-；1--L-；

91020192020nn+1

(2)---+_--+_--+…+---------------

1X22X33X42019X2020

=1-1+1-1+1-耳••+_!_--±_

2233420192020

2020

=2019.

2020,

⑶，—

1X33X55X77X9

=1X(1-1+1-1+1-1+1-1)

23355779

29

———4.

9

【变式4-3］观察下面的变形规律:

1_11.1__LJL._J__LJL....

1X2T2,2X3-23'3x4-34'

解答下面的问题:

(1)仿照上面的格式请写出』=_［二

4X545

(2)若〃为正整数，请你猜想

n(n+l)-Ln+1

(3)基础应用：计算:------+--------F-------+•■■+----------------

1X22X33X42016X2017

(4)拓展应用1：解方程:------+-------+-------+,,,+

1X22X33X4------2016X2017

(5)拓展应用2：计算:----1---+---1----+---1---+・,,+--------1---------

1X33X55X72015X2017

【答案】见试题解答内容

【解答】(满分12分)

解:⑴壶(2分)

(2)11_1(2分)

n(n+l)nn+1'

(3)计算:1111

1X2+2X3+3X4+…”2016X2017

=]-1+1-1+1-l-i-..—i-1,1

2233420162017,

2017

=2016_.…(2分)

2017

(4)*x+-XX=2016,

1X22X33X4+"'+2016X2017

x(1--L+-L-A+A-A+-+.11)=2016,

2233420162017

型比£=2016,

2017

*=2017；-(3分)

(5)^111

1X33X55X7^2015X2017

=1(1-1)+A(。)+A(A-A)+…+(11-).

2323525720152017

=A(i-]).

22017

-1008(3分)

2017,

【题型3新定义型规律】

【典例5】符号“广表示一种运算，它对一些数的运算如下：/(I)=1+弓，f

(2)=1+2,f(3)=1+2,f(4)=1+2…

234

(1)利用以上运算的规律写出/(〃)=;(〃为正整数)

(2)计算：/(1)・/(2)«/(3)-y(100)的值.

【解答】解：(1)(1)=1+2,/(2)=1+2,f(3)=1+2,/(4)=

123

1+2…

4

：.f(n)=1+2.

n

(2)/(I)•/⑵*/(3)--•/(100)

=(i+2)(i+2)(i+-2)(i+2)-(i+_2_)

1234100

=J.xAx.§.xAx-x

1234100

:101X102

1X2

=5151

故答案为：5151.

【变式5-1］新定义：符号“广表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下:

运算(一)：/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-

1=-b/(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,.......

运算(二)：/(JL)=-3,/(二)=-2,/(I)=2,f(1)=3,……

3223

利用以上规律计算：9,/(-10)=-11,/(」_)=

10

10,f(」)=-10

10

(2)/(-2015)-f(^-)=0；

2016-------

(3)计算：/(-5)V(-4)4/(-3)4/(-2)4/(-1)+f(0)47(1)

4/(二)4/(二)4/(二)4/(二).

2345

【答案】(1)9,-11,10,-10；

(2)0；

(3)-35.

【解答】解：观察(一)中的各式，我们可以得出/(〃)=〃-1(〃为正整

数)；

观察(二)中的各式，我们可以得出/(2)=11(〃为正整数).

n

(1)/(10)=10-1=9,/(-10)=-10-1=-11,f(A.)=10,f(-

-1■)=-io；

io

故答案为：9,-11,10,-10；

(2)/(-2015)-f(-—1—)=-2015-1-(-2016)=-2016+2016=

2016

0；

故答案为：0；

(3)/(-5)4/(-4)V<-3)V<-2)V<-1)V(。)V(l)V<-

1)4/(

2345

=(-5-1)+(-4-1)+(-3-1)+(-2-1)+(-1-1)+(0-1)+

(1-1)+(-2)4/(-3)V(-4)4/(-5)

=-6-5-4-3-2-1+0-2-3-4-5

=-35.

【变式5-2】新定义：符号“尸表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下：

运算(一)：/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-

1=-b/(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,..

运算(二)：f(-A)=-3,f(-A)=-2,/(工)=2,f(A)=3,...

3223

利用以上规律计算：(1)/(10)=9,/(-10)=-11,f(A-)=

10,f(一1-)=-10；

—io--------

(2)/(-2015)-f(__=0；

2016

(3)计算：/(-5)-4)-3)+/<-2)+/<-1)

4/(JL)4/(JL)4/(^.)4/(^1).

2345

【答案】(1)9,-11,10,-10；

(2)0；

(3)-35.

【解答】解：观察(一)中的各式，我们可以得出/(")="-1(〃为正整

数)；

观察(二)中的各式，我们可以得出/(工)=〃(〃为正整数).

n

(1)/(10)=10-1=9,/(-10)=-10-1=-11,f(A-)=10,f(-

-L)=-io；

io

故答案为：9,-11,10,-10；

(2)/(-2015)-/(--A-)=-2015-1-(-2016)=-2016+2016=

2016

0；

故答案为：0；

(3)/(-5)V(-4)V(-3)V(-2)V(-1)V(°)V(-

1)4/(-1)V(--1)

2345

=(-5-1)+(-4-1)+(-3-1)+(-2-1)+(-1-1)+(0-1)+

(1-1)+(-2)+/(-3)V<-4)V<-5)

=-6-5-4-3-2-1+0-2-3-4-5

=-35.

【题型4含0:型规律】

【典例6］某种细胞开始有1个，1小时后分裂成2个，2小时分裂成4个，3小

时后分裂成8个，按此规律，n小时后细胞的个数超过1000个，n的最小值是

()

A.9B.10C.500D.501

【答案】B

【解答】由题意得，2n>1000,

V29=512,210=1024,

.•.n的最小值是：10,

故答案为：B.

【变式6-1)某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分

裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时

后，细胞存活的个数是()

A.31B.33C.35D.37

【答案】B

【解答】根据题意可知，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3=2+1；

2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5=22+1；

3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9=23+1；

故5小时后细胞存活的个数是25+1=33个.

故答案为：B

【变式6-2］某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小

时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小

时后细胞存活的个数是()

A.1023B.1024C.1025D.1026

【答案】C

【解答】1小时后存活的个数是3=2+1,2小时后存活的个数是：

5=22+1，按此规律，10小时后存活的个数是：21°

+1=1025,故答案为：C.

【题型5定义两个数的运算】

【典例7】现定义一种新运算“*”，规定a*b=/—匿如3*1=12_3=—2,则

(—2)*(—3)等于()

A.11B.-11C.7D.-