高考数学 高频考点归类分析 三角函数与其它知识的综合问题（真题为例）

三角函数与其它知识的综合问题典型例题：例1.（年重庆市理5分）设是方程的两个根，则的值为【】（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】A。【考点】两角和与差的三角公式，一元二次方程根与系数的关系。【分析】∵是方程的两个根，∴根据一元二次方程根与系数的关系，得。∴。故选A。例2.（年陕西省理5分）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】余弦定理，基本不等式的应用。【解析】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值：∵，∴。∴由余弦定理得，当且仅当时取“=”。∴的最小值为。故选C。例3.（年上海市文4分）函数的最小正周期是▲【答案】。【考点】行列式的基本运算，三角函数的值域，二倍角公式。【解析】∵,∴函数的最小正周期是。例4.（年安徽省理5分）设的内角所对的边为；则下列命题正确的是▲=1\*GB3①若；则=2\*GB3②若；则=3\*GB3③若；则=4\*GB3④若；则=5\*GB3⑤若；则【答案】=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③。【考点】余弦定理的应用，余弦函数的性质，不等式变形。【解析】根据余弦定理逐项分析：=1\*GB3①∵，∴。∴。命题正确。=2\*GB3②∵，∴。∴。命题正确。=3\*GB3③∵，∴。∵，∴。命题正确。=4\*GB3④∵，∴。∴。命题错误。=5\*GB3⑤以例反证，取满足，则。又∵，∴。命题错误。例5.（年福建省理4分）已知△ABC的三边长成公比为eq\r(2)的等比数列，则其最大角的余弦值为▲．【答案】。【考点】等比数列的性质，余弦定理的应用。【解析】∵△ABC的三边长成公比为eq\r(2)的等比数列，∴设三角形的三边分别是：eq\f(\r(2),2)a、a、eq\r(2)a。∵最大角所对的边是eq\r(2)a，∴根据三角形中大边对大角的性质，结合余弦定理得：。∴最大角的余弦值为。例6.（年全国大纲卷文10分）中，内角、、成等差数列，其对边、、满足，求A．【答案】解：∵中，内角、、成等差数列，∴。∴，。又∵，∴根据正弦定理，得。∴。由“”进行均值换元，设，。则，化简，得。∴。∴或。【考点】解三角形的运用，等差数列的性质，三角形的内角和定理，正弦定理，两角和的三角函数。【解析】根据角、、成等差数列和三角形内角和定理可得，。运用均值换元法，由应用正弦定理和两角和的三角函数，化简等式，求出答案。例7.（年山东省理12分）已知向量m=（sinx，1），函数的最大值为6。（Ⅰ）求A；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象。求g（x）在上的值域。【答案】解：（Ⅰ）。∵函数的最大值为6。而∴。（Ⅱ）函数y=f（x）的图象像左平移个单位得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数。当时，，.。∴函数g（x）在上的值域为。【考点】向量的运算，三角函数的值域，函数图象平移的性质。【解析】（Ⅰ）求出函数关于的表达式，化简后根据三角函数的值域确定A。（Ⅱ）由平移的性质，求出g（x），由得出的范围，从而求得函数g（x）在上的值域。例8.（年山东省文12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，已知.(Ⅰ)求证：成等比数列；(Ⅱ)若，求△ABC的面积S.【答案】解：(Ⅰ)由已知得：，即。∵，∴。由正弦定理，得，∴成等比数列。(Ⅱ)若，则，由余弦定理，得，∴。∴△ABC的面积。【考点】正弦定理和余弦定理的应用，和的三角函数公式，同角三角函数公式，等比数列的判定。【解析】(Ⅰ)根据和的三角函数公式化简，求得三角正弦之间的关系，由正弦定理推出结论。(Ⅱ)由余弦定理求出的余弦，从而根据同角三角函数公式得到正弦，应用面积公式求解。例9.（年湖北省理12分）已知向量，设函数的图像关于直线=π对称，其中为常数，且（Ⅰ）求函数的最小正周期；（2）若的图像经过点，求函数在区间上的取值范围。【答案】解：。（Ⅰ）∵函数的图像关于直线=π对称，∴。∴。又∵，∴。∴的最小正周期为。（=2\*ROMANII）若的图像经过点，则有，∴。∴。∵，∴。∴。∴函数在区间上的取值范围为。【考点】数量积的坐标表达式，三角函数的恒等变化，正弦函数的定义域和值域。【解析】（Ⅰ）先利用向量数量积运算性质，求函数的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数化为，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期。（=2\*ROMANII）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数的值域。例10.（年辽宁省理12分）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列。(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求的值。【答案】解：（Ⅰ）∵角A，B，C成等差数列，∴。又∵，∴=60°。∴。（Ⅱ）∵边a，b，c成等比数列，∴。∴根据正弦定理得。∵=60°，∴。∴。【考点】数列与三角函数的综合，正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义。【解析】（Ⅰ）在中，由角A、B、C成等差数列可知B=60°，从而可得的值。（Ⅱ）由a，b，c成等比数列，得，由的值得到的值，结合正弦定理可求得的值。另解：由余弦定理求得得到是等边三角形，每个内角等于600求解。例11.（年江苏省14分）在中，已知．（1）求证：；（2）若求A的值．【答案】解：（1）∵，∴，即。由正弦定理，得，∴。又∵，∴。∴即。（2）∵，∴。∴。∴，即。∴。由（1），得，解得。∵，∴。∴。【考点】平面向。量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。例12.（年福建省文5分）数列{an}的通项公式an＝ncoseq\f(nπ,2)，其前n项和为Sn，则S2012等于【】A．1006B．C．503D．0【答案】A。【考点】规律探索题。【解析】寻找规律：a1＝1coseq\f(π,2)＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝3coseq\f(3π,2)＝0，a4＝4cos2π＝4；a5＝5coseq\f(5π,2)＝0，a6＝6cos3π＝－6，a7＝7coseq\f(7π,2)＝0，a8＝8coseq\f(8π,2)＝8；······∴该数列每四项的和。∵÷4=503，∴S2012＝2×503＝1006。故选A。例13.（年江西省理5分）下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是▲.【答案】3。【考点】算法程序框图的应用。【解析】由程序框图可知：第一次:T=0,k=1,成立，，2<6,满足判断条件，继续循环；第二次:不成立，,3<6，满足判断条件，继续循环；第三次:不成立，，4<6,满足判断条件，继续循环；第四次:成立，,5<6,满足判断条件，继续循环；第五次:成立，，6<6不成立，不满足判断条件，跳出循环，故输出T的值3。例14.（年四川省理5分）设函数，是公差为的等差数列，，则【】A、B、C、D、【答案】D。【考点】等差数列性质，三角函数性质。【解析】∵，，∴。∵是公差为的等差数列，∴，。∴，解得。∴。故选D。关于，可化为。由，设，作图可得二者交点在处：例15.（年安徽省文13分）设函数的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.（Ⅰ）求数列；（Ⅱ）设的前项和为，求。【答案】解：（=1\*ROMANI）∵，∴。令，解得。当时，；当时，。∴当时，取极小值。∴数列：。（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）得：，∴。当时