复数（教师卷）-2015-2024年高考数学试题分项汇编

冷集02复照

十年考情­探规律1

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

考点1求复数的实2020•全国卷、2020•江苏卷、2018•江苏卷、

部与虚部2016•天津卷、2016•江苏卷、2016•全国卷、

（10年4考）2015•重庆卷、2015•北京卷

2023•全国甲卷、2022•浙江卷、2022•全国乙卷、

L理解、掌握复数的代数形式，

考点2复数相等2022•全国乙卷、2021•全国乙卷、2017•浙江卷、

能够掌握数集分类及复数分类，

（10年7考）2016•天津卷、2015•全国卷、2015•全国卷、

需要关注复数的实部、虚部、及

2015•上海卷

纯虚数

考点3复数的分类2017•全国卷、2017.全国卷、2017•天津卷、

2.能正确计算复数的四则运算及

（10年2考）2015•天津卷

模长等问题，理解并掌握共轨复

2024.全国甲卷、2024•全国甲卷、2023•北京卷、

数

考点4共辗复数2023•全国乙卷、2023•全国新I卷、2022•全国

3.熟练掌握复数的几何意义即复

（10年10考）甲卷、2022•全国甲卷、2022•全国新I卷、

数与复平面上点的对应关系

2021•全国乙卷、2021•新I卷全国

2024•全国新H卷、2023•全国乙卷、2022.全国

本节内容是新高考卷的必考内

考点5复数的模甲卷、2022.北京卷、2020•全国卷、2020•全国

容，一般考查复数的四则运算、

（10年9考）卷、2020•全国卷、2019,全国卷、2019•天津卷、

共甄复数、模长运算、几何意义，

2019•浙江卷

题型较为简单。

2023•全国新H卷、2023•北京卷、2021•全国新

考点6复数的几何

II卷、2020•北京卷、2019•全国卷、2019•全国

意义

卷、2018•北京卷、2017•全国卷、2017•北京卷、

（10年8考）

2016•全国卷

分考点•精准练

考点01求复数的实部与虚部

1.(2020•全国•高考真题)复数」的虚部是()

1-31

3113

A.——B.——C.——D.——

10101010

【答案】D

【分析】利用复数的除法运算求出z即可.

【详解】因为z=3+白'

l-3z(1-3z)(l+3z)1010

所以复数z=「1\的虚部为3弓

1-3«10

故选：D.

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.

2.(2020•江苏・高考真题)已知i是虚数单位，则复数z=(l+i)(2-i)的实部是.

【答案】3

【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.

【详解】回复数Z=(1+/2T)

Sz=2-i+2i-i2=3+i

回复数的实部为3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题.

3.(2018•江苏•高考真题)若复数z满足7.z=l+2i,其中i是虚数单位，贝”的实部为.

【答案】2

【详解】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.

详解：因为>z=l+万，贝船=上上=2-i,贝”的实部为2.

1

点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数。+历(a,beR)的实部为。、虚部为6、模为77奇、对应

点为(“，为、共辗复数为a-历.

4.(2016・天津•高考真题)i是虚数单位，复数z满足(l+i)z=2,贝”的实部为.

【答案】1

【详解】试题分析：(l+i)z=2=>z=/2=l-i,所以z的实部为1.

l+i

【考点】复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实

掌握其运算技巧和常规思路，如(。+次)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,deR),

a+bi(ac+bd)+(be-ad)i

(a,b,c,deR),.其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数a+引(a，b£R)的实部

c+dic2+d2

为a、虚部为6、模为"共轨复数为。-初.

5.(2016•江苏•高考真题)复数z=(l+2i)(3r),其中i为虚数单位，则z的实部是.

【答案】5

【详解】试题分析：z=(l+2i)(3-i)=5+5i.故答案应填：5

【考点】复数概念

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实

掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,a,b,c,dwR,其次要熟悉复数的相关概

念，如复数4+6i(a,6eR)的实部为a,虚部为b,模为《合+廿，共辆为a-bi

6.(2016•全国•高考真题)设(l+2z)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则。=

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】A

【详解】试题分析：(l+2i)(a+i)=a-2+(l+2a)i,由已知，得a-12=l+2a，解得.=一3,选A.

【考点】复数的概念及复数的乘法运算

【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，属得分题.高考中考查频率较高的内

容有：复数相等、复数的几何意义、共辗复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易

出现运算错误，特别是i2=-l中的负号易忽略，所以做复数题时要注意运算的准确性.

7.(2015・重庆•高考真题)复数(l+2i)i的实部为.

【答案】-2

【详解】由于(l+2i)i=i+2i2=-2+i,故知其实部为-2,故填：2

考点：复数的概念与运算.

8.(2015•北京•高考真题)复数中+i)的实部为.

【答案】-1

【详解】复数力(l+i)=i-l=-t+i,其实部为一1.

考点：复数的乘法运算、实部.

考点02复数相等

1.(2023•全国甲卷・高考真题)设aeR,(a+i)(l—ai)=2,,则。=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为(a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(l—a2)i=2,

2a=2

所以，解得:（1=1.

l-a2=0

故选：c.

2.（2022・浙江・高考真题）已知a,6eR,a+3i=S+i）i（i为虚数单位），则（）

A.ci=l,b=-3B.a=—1,0=3C.a=-l,b=—3D.a=l,b=3

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件可求乩

【详解】a+3i=—1+洌，而6为实数，故a=-l/=3,

故选：B.

3.（2022•全国乙卷•高考真题）设（l+2i）a+6=2i,其中为实数，贝|（）

A.a=l,b=_1B.a=l,b=lC.a=—l,b=1D.ci=-1,Z?=—1

【答案】A

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为iR,（a+b）+2ai=2i,所以即+b=0,2a=2,解得：a=l,b=-l.

故选：A.

4.（2022•全国乙卷高考真题）已知z=l-2i,且z+df+Z?=0,其中〃，匕为实数，则（）

A.a=l,b=—2B.a=—l,b=2C.a=l,b=2D.a=—l,b=-2

【答案】A

【分析】先算出N,再代入计算，实部与虚部都为零解方程组即可

【详解】z=l-2i

z+az+Z?=1—2i+Q（1+2i）+Z?=（1+a+Z?）+（2〃—2）i

由Z+应+人=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，

[1+a+b=0[a=l

得〈，即〈

[2a-2=0，[b=-2

故选:A

5.（2021,全国乙卷•iWj考真题）设2（z+z）+3（z—z）=4+6i,贝[|z=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【分析】设z=a+bi,利用共甄复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、5的等式，解出这两个未知数

的值，即可得出复数z.

【详解】设2=〃+为，则彳=a—Z?i,贝2（z+N）+3（z—乞）=4a+6历=4+6i,

f4a=4

所以，Iri»解得”=。=1,因此，z=l+i.

6。=6

故选：C.

6.（2017・浙江•高考真题）已知。，bEIR,（a+bi）2=3+4i（i是虚数单位）贝!|"+廿,ab=.

【答案】5,2

_万2=3（a2_4

【详解】由题意可得6一"+2Mi=3+4i,则,,解得,，一，则/+声=5,"=2.

[ab=2[=1

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切

实掌握其运算技巧和常规思路，如（。+阮）9+㈤=（ac-6d）+（ad+6c）i,5涉,c,deR）.其次要熟悉复数相关

基本概念，如复数。+初（。/€尺）的实部为。、虚部为6、模为它两、对应点为（。，6）、共辗为a-万

等.

7.（2016・天津・高考真题）已知a"eR,i是虚数单位，若（1+i）（Lbi）=a,则/的值为_____.

b

【答案】2

1+b=a伉=2a

【详解】试题分析：由（1+，）（1-历）=1+方+（1-协=。，可得I八八，所以，，，?=2,故答案为2.

1-&=0[6=1b

【考点】复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实

掌握其运算技巧和常规思路，如（。+友X。+di）=（ac-bd）+（ad+bc）i（a,b,c,deR）,

学=①+"+（『。（a,b,c,deR）,.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数。+次（“力eR）的实部

c+aic+a

为a、虚部为6、模为行万、共轨复数为应.

8.（2015•全国•高考真题）若。为实数，且字区=3+i,则”

1+1

A.-4B.-3C.3D.4

【答案】D

【详解】由题意可得2+ai=（l+i）（3+i）=2+4i=a=4，故选D.

考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.

9.（2015•全国•高考真题）若。为实数且（2+ai）（a-2i）=~4i,则"

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【详解】由已知得4a+（6-4）i=Ti,所以4〃=0,〃2_4=-4,解得。=0,故选B.

考点：复数的运算.

10.（2015•上海•高考真题）若复数〕满足3二-二=[-：，其中；是虚数单位，贝八=.

【答案】1+1;

42

【详解】设2=。+加（。*€&，则;=0_加，因为3z+f=]+>

所以Ha仁：=H

所以3(a+bi)+a—=1-i,即4"2bi=l+i>

所以】=1+!

考点：复数的概念，复数的运算.

考点03复数的分类

1.(2017•全国•高考真题)下列各式的运算结果为纯虚数的是

A.(1+i)2B.i2(l-i)C.i(l+i)2D.i(l+i)

【答案】A

【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.

【详解】由题意，对于A中，复数(1+犷=2i为纯虚数，所以正确；

对于B中，复数』.(17)=-1+»不是纯虚数，所以不正确；

对于C中，复数3(1+犷=-2不是纯虚数，所以不正确；

对于D中，复数3(1+，)=-1+，不是纯虚数，所以不正确，故选A.

【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌

握其四则运算技巧和常规思路.其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与

计算能力，属于基础题.

2.(2017•全国,高考真题)设有下面四个命题

Pi：若复数z满足，eR,则zeR；

Z

P2：若复数2满足deR，则zeR；

P3：若复数4/2满足z^eR,则4=三；

PA：若复数z&R,则彳eR.

其中的真命题为

A.Pi，P3B.Pi，p4

C.P2，P3D.p2,p4

【答案】B

【详解】令2=。+历m/eR),则由得b=0,所以zeR,故R正确；

za+bia+b

当z=i时，因为z2=i2=-leR,而z=i史R知，故。2不正确；

当Z=Z2=i时，满足z/Z2=-leR,但21Hz2，故2不正确;

对于P4,因为实数的共拆复数是它本身，也属于实数，故P4正确，故选B.

点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共辗复数，化简成z=a+6i(a,AeR)的形式

进行判断，共辗复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.

a—i

3.(2。17・天津・高考真题)已知oeR,।为虚数单位’若'为实数’则“的值为——

【答案】-2

CL—1(a—i)(2—i)(2a—l)—(a+2)i2a-\a+2.…乙

【详解】不=为实数

-(-2----+---i-)--(--2------i-)--=----------------5----------------=------5--------------5-----1八"双

则=0,a=-2.

【考点】复数的分类

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需

把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

复数z=a+bi(a,beR),

当6片0时，z为虚数，

当6=0时，z为实数，

当。=0力片0时，z为纯虚数.

4.(2015・天津•高考真题)i是虚数单位，若复数(1-2i)(a+。是纯虚数，则实数。的值为.

【答案】-2

【详解】试题分析：由复数的运算可知。-二-(l-2z)(a+i)是纯虚数，则其实部

必为零，即a+2=0,所以a=->

考点：复数的运算.

考点04共朝复数

1.(2024•全国甲卷・图考真题)设z=J5i，则()

A.-2B.C.—-^2D.2

【答案】D

【分析】先根据共轨复数的定义写出"然后根据复数的乘法计算.

【详解】依题意得，z=-72i，故zz=-2i2=2.

故选：D

2.(2024•全国甲卷•高考真题)若z=5+i,则i("z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【答案】A

【分析】结合共朝复数与复数的基本运算直接求解.

【详解】由z=5+in彳=5-i,z+彳=1。，则i（N+z）=10i.

故选:A

3.（2023•北京•高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,否），贝”的共轨复数2=（）

A.1+疯B.1一"

C.-1+V3iD.-l-73i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轨复数的定义计算.

【详解】Z在复平面对应的点是根据复数的几何意义，z=-l+/,

由共轲复数的定义可知，z=-l-A/3i.

故选：D

4.（2023•全国乙卷•高考真题）设z=,2；贝匹=（）

1+1+1

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【答案】B

【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共辄复数的定义确定其共辗复数即可.

2+i2+ii（2+i）2i-l

【详解】由题意可得z==l-2i,

l+i2+i5l-1+ii2-1

则彳=1+2i.

故选：B.

1-i

5.（2023全国新I卷•高考真题）已知z=，则z—z=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算求出2,再由共物复数的概念得到》,从而解出.

1-i-2i1-1

【详解】因为z=—==7=所以"=尹即»

故选：A.

6.（2022•全国甲卷・高考真题）若z=l+i.贝”屹+3切=（）

A.475B.4夜C.2A/5D.20

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共辗复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【详解】因为z=l+i,所以iz+35=i（l+i）+3（l_i）=2_2i,所以怛+3司小用4=20.

故选：D.

z

7.（2022・全国甲卷•高考真题）若z=-1+gi,则=;)

zz—1

c.」+乌1技

A.-1+V3iD.------------1

3333

【答案】C

【分析】由共辗复数的概念及复数的运算即可得解.

【详解】z=-l-V3i,zz=(-l+73i)(-l-A/3i)=l+3=4.

z-1+V3i」+乌

zz-1333

故选：C

8.（2022•全国新I卷•高考真题）若i（l-z）=l,贝！Jz+5=（)

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+2.

【详解】由题设有l—z=:=]=T,故z=l+i,故z+2=（l+i）+（l—i）=2,

故选：D

9.（2021・全国乙卷-iWi考真题）设2（z+z）+3（z—z）=4+6i,贝!]z=（）

A.l-2iB.l+2iC.1+iD.1-i

【答案】C

【分析】设2=。+历，利用共辗复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、b的等式，解出这两个未知数

的值，即可得出复数z.

【详角星】设z=a+6i,则N=a-历，贝12（z+彳）+3（z—彳）=4。+6历=4+6i,

[4。=4

所以，1rzQ解得。=。=1,因此，Z=l+i.

[6b=6

故选：C.

10.（2021•全国新I卷•高考真题）己知z=2—i,则z（5+i）=（）

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用复数的乘法和共辗复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2-i,故W=2+i，故zC+i）=（2-i）（2+2i）=4+4"2\2f=6+27

故选：c.

考点05复数的模

1.(2024•全国新n卷•高考真题)已知z=—l—i,则同=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】C

【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.

【详解】若z=-l-i,则|z|=47)2+(_]『=a.

故选：C.

2.(2023•全国乙卷•高考真题)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.75D.5

【答案】C

【分析】由题意首先化简2+i?+2i3,然后计算其模即可.

【详解】由题意可得2+i2+2i3=2—1—2i=l—2i，

则|2+i?+2i31-2i|=Jl?+(_2)=拓.

故选：C.

3.(2022•全国甲卷•高考真题)若z=l+i.则屏+3刃=()

A.4A/5B.4A/2C.2括D.272

【答案】D

【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轨复数的概念以及复数模的计算公式即可求出.

【详解】因为z=l+i,所以iz+3N=i(l+i)+3(l_i)=2_2i,所以|iz+3司="74=20.

故选：D.

4.(2022•北京•高考真题)若复数z满足i-z=3-4i,则忖=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】利用复数四则运算，先求出z,再计算复数的模.

【详解】由题意有z=圭，=G[T)=_4_互,故|z|=J(-4y+(_3)2=5.

故选：B.

5.(2020,全国•高考真题)若z=l+2i+3则团=()

A.0B.1

C.V2D.2

【答案】C

【分析】先根据i2=-l将Z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出.

【详解】因为z=l+2i+i3=l+2i-i=l+i，所以|z|=712+l2.

故选：C.

【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题.

6.(2020•全国•高考真题)若z=l+i,则|Z2-2Z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【答案】D

【分析】由题意首先求得z?_2z的值，然后计算其模即可.

【详解】由题意可得：Z2=(1+Z)2=2Z,贝UZ2-2Z=2\2(1+0=-2.

故归—2z|=卜2卜2.

故选：D.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.

7.(2020・全国•高考真题)设复数Z1,彩.满足区|=阁=2,Zj+z2=^+i,则匕-3|=.

【答案】273

【分析】方法一，令4=。+勿；(。e氏beR),z?=c+成,(ce凡deR),根据复数的相等可求得+bd=—2,

代入复数模长的公式中即可得到结果.

方法二：设复数4/2所对应的点为Z1,Z2,。尸=0Zi+0Z2,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边

形OZ/Z?为菱形，口耳=|OZj=|OZ2k2,进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算％-Zz|.

【详解】方法一：设4=Q+6，,(Q£R0WR),z2=c+di,(ceR,deR),

Zi+z2=a+c+(b+d)i=6+i，

-t'Ii，又片|二彷2|=2,所以〃2+〃2=4,C2+^/2=4f

[b+d=l

「.(〃+c)2+(b+d，—/+c2+廿+d2+2(QC+bd)—4

:.ac+bd=-2

—

■■|ziz2|=|(a—c)+(b—t/)z|=J(a-c)?+((-dp=j8-2(ac+bd)

=78+4=2A/3.

故答案为：2石.

方法二：如图所示，设复数z”Z2所对应的点为ZI,Z?,op=oZi+OZ2,

由已知\OP\=A/3TT=2=|OZ,|=|OZ2|,

团平行四边形OZ/Z?为菱形，且OPZ、,OPZ?都是正三角形，回NZQZ2=120。,

222

IZjZ,|2=|0Z]F+1OZ21-2IOZ1||OZ2|COS120°=2+2-2-2-2-(-1)=12

【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是

一道中档题.

方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解

8.（2019•全国•高考真题）设2=三，贝止卜

1+21

A.2B.6C.72D.1

【答案】C

【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z,再求百.

【详解】因为2=言，所以所以闫"（'+（_,=布,故选c.

【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算.本题也可以运用复数模的运算性质直接求解.

5-；

9.（2019•天津•高考真题）i是虚数单位，则［二的值为.

【答案】岳

【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模.

［详解］—=（5~0（1~0=|2-3z|=V13.

l+i（l+z）（l-z）11

【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.

10.（2019,浙江•高考真题）复数z=二二（i为虚数单位），则|z|=______.

1+1

【答案】正

2

【分析】本题先计算Z,而后求其模.或直接利用模的性质计算.容易题，注重基础知识、运算求解能力的考

查.

【详解】八

【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.

考点06复数的几何意义

1.（2023•全国新n卷•高考真题）在复平面内，（l+3i）（3-i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（l+3i）（3-i）=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

2.（2023•北京•高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,代），贝”的共轨复数2=（）

A.1+亚B.l-73i

C.—1+D.-1—y/3i

【答案】D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轨复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是根据复数的几何意义，z=-l+«i,

由共辗复数的定义可知，Z=-1-T3i.

故选：D

3.（2021•全国新II卷•高考真题）复数卷在复平面内对应的点所在的象限为（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法可化简三:从而可求对应的点的位置.

1-31

【详解】2zi=（2T（i+3i）=u=l±i,所以该复数对应的点为

l-3i10102122）

该点在第一象限，

故选：A.

4.（2020•北京•高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1,2）,则/--=（）.

A.1+2zB.—2+iC.1—2iD.—2—i

【答案】B

【分析】先根据复数几何意义得z,再根据复数乘法法则得结果.

【详解】由题意得z=l+2i,zz=z-2.

故选：B.

【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

5.(2019・全国•高考真题)设z=-3+2i,则在复平面内三对应的点位于

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】先求出共轨复数再判断结果.

【详解】由z=-3+2i,得I=-3-2i,贝匹=一3-万,对应点(-3,-2)位于第三象限.故选