矩阵初等变换在图像处理中的简单应用

矩阵初等变换在图像处理中的简单应用刘鑫天津商业大学理学院08级03班[内容摘要]:矩阵作为研究数学问题中的一项基础工具，有着自身特有的性质和运算方法，而其初等变换则为矩阵理论中的重要方法，利用这一特点可针对问题本身进行简化，也可快速看到问题本质并加以解决。数字图像是计算机对图像信息进行处理显示的基础，而数字图像的本质是m×n（每行m个像素，总共n行）的矩阵，每个元素aij对应着（i，j）位置的图像信息。本文讨论了矩阵的初等变换在数字图像的平移、旋转中的应用，从而说明矩阵变换在数字图像变换和处理的理论指导地位。[关键词]:矩阵初等变换数字图像镜像平移旋转[引言]：矩阵的初等变换起源于线性方程组的三类通解变换。我们知道，线性方程组和它的增广矩阵是唯一对应的，因此当矩阵的初等变换这一概念提出后，解线性方程组就等价与利用矩阵的初等变换来化简一个增广矩阵，而这一转化过程无疑对解线性方程组会带来方便。随着矩阵理论的发展，新概念的不断产生，新的问题也随之产生，例如求矩阵的秩、求矩阵的特征值以及求标准正交基等，这些问题也可利用矩阵的初等变换来简化其求解过程。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用，计算机对图像的处理和显示日益成熟图像。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像的本质是m×n（每行m个像素，总共n行）的矩阵，每个元素aij对应着（i，j）位置的图像信息。1、矩阵的初等变换矩阵的行及列的初等变换在线性代数中充当十分重要的角色，它有三种类型：(1)互换第i行（列）和第j行（列），称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换，其对应的初等矩阵极为P（i，j）；(2)行（列）乘以非零常数c，称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换，其对应的等矩阵记为P（i（c））；(3)第j行（i列）的k倍加到第i行（j列），称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换，其对应的矩阵记为P（i，j（k））。2、数字图像的矩阵表述数字图像的本质是m×n（每行m个像素，总共n行）的矩阵，每个元素aij对应着（i，j）位置的图像信息。如图1所示，图像为一幅69×56的256色图像，即图像的每行有69个像素，共56行，我们可以用矩阵[aij]表示图像的信息，aij表示第i行第j列的图像信息。图1原始数字图像如图1所示，原始数字图像的矩阵信息为：2、数字图像的镜像图像镜像是指图像在平面镜中成像，形成一个和镜面对称的图像，对于一个m×n的数字图像，进行镜像变换后依然为m×n的矩阵，如果用[aij]表示原始数字图像的矩阵，[bij]表示镜像变换的数字图像矩阵，则水平镜像为：垂直镜像为：图1所示的原始数字图像，经过镜像变换后为：图2水平镜像图像和垂直镜像图像3、数字图像的平移图像平移是指在同一平面内，将图像沿着某个方向移动一定的距离，移动时，图像上的每一个像素都沿该方向移动同一距离，因而平移不改变物体的形状和大小。如果将图像上的点P(x,y)平移到P’(x’,y’)，也可用一下以下式子表示：这个矩阵计算给出了二维像素平移变换的关系。对于一个m×n的数字图像，进行(p,q)平移变换后变为为(p+m)×（q+n）的矩阵，如果用[aij]表示原始数字图像的矩阵，[bij]表示平移变换的数字图像矩阵，则变换后的元素当i>p且j>q时为：当i和j为其他值时，图像元素为空白，我们将其颜色设为黑色，即：图1所示的原始数字图像，经过向左平移10个像素，向下平移10个像素后得到的图像为：图3平移（10，10）后的图像4、图像的旋转图像的旋转是指在同一平面内，将图像绕着某个点旋转一定的角度，旋转时，图像上的每一个像素都绕该点向旋转同一角度，因而平移不改变物体的形状和大小。如图4所示，如果将图像上的点P(x,y)绕原点旋转到P’(x’,y’)，旋转的角度为θ，此时，P和P’到原图4像素的旋转距离不变，均为r，此时：可以表示为：对于一个m×n的数字图像，绕（0，0）点像素进行进行θ度旋转后，得到旋转矩阵，其行列数目不等于m×n，和θ有关。如果用[aij]表示原始数字图像的矩阵，[bpq]表示平移变换的数字图像矩阵，则变换后的元素满足以下条件时：有 因为一个整数和正弦余弦值相乘时，得到的是浮点数，即为整数，因而确定脚标pq的值时，需要对其取整，这需要近似计算和插值，和矩阵的基本变换关系不大，在这里就不讨论了。图1所示的原始数字图像，经过顺时针旋转后得到的图像为：图4旋转π/4、π/2、3π/4、π后的图像[结论]：矩阵的出现不但简化了方程求解的过程，而且对现实生活有理论指导意义。通过矩阵的变换，我们可以实现对数字图像的变换和处理，能够满足计算机图像图像的要求。同时，通过这些变换，让我们更清楚的知道，科学的理论是科学实践的基础。数学作为一门基础学科，为其他应用科学提供坚实的理论基础。这里，我们只简单地列举了几个矩阵在数字图像变换中的应用，更复杂变换需要的数学知识更多，应该需要更坚实的数理基础。参考文献[1]北京大学数学系．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，1987．[2]王成，饶从军．矩阵初等变换的应用研究[J]．高等数学研究，2007，10(4)：76—78．[3]宋玉霞，王文省．用矩阵的初等变换求商和余式[J]．大学数学，2005，21(1)：76—78．[4]黄朝军．矩阵的初等变换的一个应用[J]．黔东南民族师范高等专科学校学报[J]．2004，22(6)：l一2．[5]朱秀昌，刘峰，胡栋．数字图像处理与图像通信[M]．北京：北京邮电大学出版社，2002．[6][美]KennethRCastleman．数字图像处理[M]．北京：电子工业出版社，2002．致谢首先感谢李老师，李老师循循善诱、