2021年高考数学立体几何压轴题真题模拟题分类汇编：08 体积类问题二（学生版+解析版）（强基计划备考）

专题08体积类问题二

1.(2021•广西模拟)如图，在四棱柱AbCD-ABCQ中，AB=2,AA,=4,底面ABC。是菱形，4DAB吟,

平面CCQQJ.平面ABCZ),BD1AD..

(1)证明：CRJ■平面ABCD.

(2)求四棱锥人-8£)。片的体积.

2.(2021•河南模拟)如图，在几何体中，四边形ABCD是矩形，平面BEC,BE±EC,

AB=BE=EC=2,G,尸，M分别是线段BE,DC,AB的中点.

(1)求证：平面GW7/平面ADE；

(2)求三棱锥O-AFG的体积.

A

3.（2021•宿州三模）如图，在三棱锥尸—ABC中，P4_L底面ABC,PA=BC=AB=2,ZABC=—,。、

3

E、产分别为AC、PA.总的中点.

（I）证明：BD±PC；

（II）求三棱锥C-£>E〃的体积.

4.（2021•咸阳模拟）如图，在四棱锥尸-4BC力中，底面反。为正方形，P£）J_底面ABCD,M为线段

PC的中点，PD=AD=\,N为线段上的动点、

(I)证明：MD上PN；

(II)当N为线段8C的中点时，求三棱港A-MND的体积.

5.(2021•马鞍山三模)如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。为菱形，为等边三角形，ZABC=60°,

。为AD的中点.

(1)证明：平面皿)_!_平面POC；

(2)若AD=2,PC=娓,点M在线段尸£＞上，PM=3MD,求三棱锥尸-OCM的体积.

BC

6.（2021•包头二模）如图，在正三棱柱48。-48G中，P、Q分别为8々、AC的中点，E为线段延

长线上一点，且4?=班:，AA=A^=4.

（1）证明：8Q〃平面

（2）证明：点E在平面APC内；

（3）求三棱锥A-APC的体积.

7.（2021•河南模拟）四面体ABCD中，平面ABC_L平面BCD,AA8C是边长为1的等边三角形，DC1BC,

且DC长为6.设DC中点为M,8关于M的对称点为E,且尸，G分别为CE,4）的中点.

（I）证明：平面PGMJL平面BCD；

（II）求四面体r的体积.

A

8.（2021•攀枝花模拟）如图，三棱锥P-ABC中，24_1面45。，A4BC为正三角形，点片在棱24上，

且PA=4PA，4、G分别是棱。8、尸。的中点，直线A4与直线A8交于点O，直线AG与直线AC交

于点E,A8=6,PA=S.

（1）求证：DE/IBC；

（2）求几何体ABC-AgG的体积.

9.(2D21•赤峰模拟)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC,NADC=60°,

RPA=AB=PB=BC=2,E为”的中点.

(1)证明：BE//平面PCD；

(2)求三棱锥P-8CZ)体积的最大值.

10.(2021•太原模拟)如图，在几何体ABCZ陀产中，四边形是边长为2的菱形，且/皿＞=60°,

CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平面C£)EJ■平面48a).

(I)求证：平面8CFJ"平面ABCZ)：

(II)若直线应:与平面ABCD所成的角为45。，求三棱锥A-CM的体积.

11.(2021•大庆模拟)如图所示，正方体A8CO-A5GA中棱长为2,且E,F分别为BB1,的中点.

(1)求证：AE〃平面8C/；

(2)求四面体A-5Gb的体积.

12.(2021•攀枝花模拟)如图，四棱锥P-ABCD中，底面458是边长为2的正方形，其它四个侧面都是

侧棱长为逐的等腰三角形，E、尸分别为AB、PC的中点.

(I)证明：3尸//平面PDE：

（II）求三棱锥E-a冰的体积.

13.（2021•陕西模拟）如图，在四棱锥S-A88中，SO_L平面A8CD,底面A8C7）是菱形，E,尸分别

为SB,AD的中点.

（I）证明：瓦V/平面SCD；

(II)若N84£>=60°,SD=4,AB=2.求三棱锥C-£>E/的体积.

C

A

B

14.(2021•凉州区校级模拟)如图，在四棱锥尸中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=ZDAB=9(r,BC=2AB=2AD=2,平面PCD_L平面ABC。.

(1)证明：必_1_平面尸8：

(2)若PD=PC=/1,求三棱锥8-ACP的体积.

15.(2021•兴庆区校级二模)已知三棱柱ABC-A4G如图所示，平面ABCJ.平面4CGA，

ZA4,C=Z4CB=90°,幺4。=30。，AC=24C,点M在线段A瓦上.

(1)求证：朋_LA8：

(2)若5c=26，三棱锥A-BCM的体积为6,求禁的值.

16.（2021•昆明一模）如图的四棱锥S-PMVE和四棱台RimE-ABCD是由一个四棱锥S-AB8被过各

侧棱中点的平面所截而成.在四棱台月3石-458中，%_1_平面AB8,〃是4）的中点，四边形ABC”

为正方形，AB=AP=2.

（I）证明：CHLED；

（2）求四棱台尸M/VE-ABCf）的体积.

17.(2021•河南二模)如图，已知矩形ABC。所在平面垂直于直角梯形庄•所在平面，EP=g,BP=2,

AD=AE=\,AE±EP,AE/fBP.F.G分别是BC,8P的中点.

(l)设过三点尸，E,。的平面为a,求证：平面AFG〃平面a；

(2)求四棱锥AB尸石与三棱锥P-88的体积之比.

18.(2021•安庆模拟)如图，在四棱锥夕-4?67)中，底面是边长为2的菱形，N/)AB=60°,

PB=PD=币，PA=3.

(1)证明：PAA.BD,

(2)若尸石=2E4,求三棱锥的体积.

AB

19.（2021•陕西模拟）如图所示，A8CD是正方形，。是正方形的中心，QO_L底面底面边长=1,

E是PC的中点.

（1）求证：E4〃平面瓦把；

（2）若。尸=2,求三棱锥E-8CD的体积.

20.（2021•安阳一模）如图①，在平面五边形SBCD4中，AD//BC,ADLAB,4）=2BC=2AB,将ASAB

沿AB折起到尸的位置，使得平面R48_L底面A4s,如图②，且E为的中点.

（I）求证：CE〃平面E4B；

(II)若Q4=PB=6,AB=4f求三棱桂A-8CE的体积.

21.（2021•兴庆区校级一模）如图，在直角梯形尸88中，PD//BC,NDC3=90°,PD=4CD=8,BA上PD,

A为叨中点，现将平面图形沿AB折成一个直二面角，得到四棱锥P-ABCD,E,尸分别为侧棱尸。、PB

的中点.

（1）证明：平面AEF_L平面?8；

（2）求三棱锥尸-的体积.

22.(2021•南充模拟)如图，在RiAAOB中，AO=OB=2,AAOC通过&408以。4为轴顺时针旋转120。

得到(/BOC=I20。).点O为斜边上一点，点M为线段8C上一点，且CM=OW.

(1)证明：QM_L平面AO8；

(2)当O为线段中点时，求多面体O4C7^D的体积.

A

0)'B

M

23.(2021•长安区--模)如图，四棱锥尸-ABCD中，R4J_平面ABCD,AB1AD,AB//CD,

PD=AB=2AD=2CD=2,E为"上一点，SL3PE=2PA.

(I)证明：平面E»C_L平面R4C；

(II)求三棱锥P-BCE的体积.

24.（2021•枣庄二模）如图，正方体的棱长为1,点尸在棱CG上，过瓦D,,尸三点的

正方体的截面a与直线A4,交于点石.

（1）找到点石的位置，作出截面a（保留作图痕迹），并说明理由；

（2）已知b=a,求a将正方体分割所成的上半部分的体积V；与下半部分的体积匕之比.

25.（2021•焦作模拟）如图，在三棱锥S-ABC中，已知AS4C是正三角形，G为AS4C的重心，D,E分

别为SC,的中点，尸在上，且4尸二,48.

3

（1）求证：0E//平面SG尸；

(2)若平面1sAe_L平面4c5,AC=BC=2,ZACB=120°,求三棱锥S—ABC的体积.

26.（2021•池州一模）如图，在四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，点E,尸分别在棱8C,

AP上，且8C=3CE,PA=3PF.

(I)求证：EF//平面PCD；

(II)若AO_L平面AB尸，AD=AP=AB=2,Z^4B=90°,求三棱锥P—DE厂的体积.

27.(2021•安徽模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，P4_L底面ABCQ,PA=BC=CD=BD=2,

AB=AD=—,AC与应＞交于点O,点M在线段Q4上，且PM=3M4.

3

(1)证明：OW//平面P8C；

(II)求三棱锥尸-MC£＞的体积.

p

28.(2021•洛阳二模)如图1所示，在直角梯形ABC。中，44DC=9O。，ABi/CD,AD=CD=-AB=2,

2

石为AC的中点，将AACD沿4c折起，使折起后的平面ACD与平面加。垂直，得到如图2所示的几何体

D-ABC.

(1)求证：8C_L平面ACD；

(2)点尸在棱CD上，且满足A。//平面8所，求几何体尸-8CE的体积.

BA

B

图1图2

29.(2021・4月份模拟)如图，三棱锥P-ABC的底面ABC和侧面力由都是边长为4的等边三角形，且平

面平面ABC,点七为线段Q4中点，。为中点，点尸为上的动点.

(I)若PO//平面CEF,求线段AF的长；

(II)在(I)条件下，求三棱锥E-AC尸与四棱锥。-3尸£尸的体积之比.

30.(2021•淮南一模)如图，四棱锥P-ABC£＞的底面4?8是矩形，O是AC与80的交点，E为PB的

中点.

(1)求证：。£〃平面叫O：

(2)若PO_L平面488,DF±PA,垂足为F,PD=BD=2,4)=1,求三棱锥尸一DEF的体积.

专题08体积类问题二

1.（2021•广西模拟）如图，在四棱柱45C。-A4GA中，AB=2,AA,=4,底面ABCD是菱形，ZDAB=^

平面CCRD工平面ABCD，BD±ADt.

（1）证明：CR_L平面ABCD.

（2）求四棱锥的体积.

【答案】（1）见解析（2）4

【详解】（1）证明：取45中点£,连结。E、AC,

•.•底面A48是菱形，.•.A£）_LAC,

又•.•6O_LAA，ACQAD,=A,.•.3£>_L平面RAC,

♦."Cu平面RAC,BD上DC,

•・•底面A88是菱形，ZBAD=~,E是中点，.•.£>E_L7）C，

3

平面CG〃O_L平面ABCD,平面eg〃OC平面ABCD=DC,

.•.小_1平面。0£>1。，

♦.CD|U平面CGRZ）,:.DE±CD1,

vBD[}DE=D,BD、OEu平面A4C0,

..CD、1平面ABCD：

（2）解：由（1）知，CR_L平面ABCD,则

22

.DDi=AAi=4,CD=AB=2,：.CD.=74-2=2x5,

连结BD、,则匕-8叫羯=2匕一叫A=25_八码=2%_卅

=2匕wa=2x|sXCD,=2xlxlx2x2x^x2x/3=4.

/.四楂锥4-3。。片的体积为4.

2.（2021•河南模拟）如图，在几何体ABCDE中，四边形A38是矩形，AB_L平面或;C,BELEC,

AB=BE=EC=2,G,F,M分别是线段BE,DC,AB的中点.

（1）求证：平面GWF〃平面ADE；

（2）求三棱锥。-A尸G的体积.

【答案】（1）见解析（2）3

【详解】（1）证明：:M、尸分别为矩形的边回、。。的中点，///AD,

•.•MFC平面ADE,ADu平面ADE,.•.■///平面4)E,

•.•M、G分别为AB、BE的中点，S.MG//AE,

平面ADE,AEu平面AC花，」.MG〃平面ADE,

又MF0]MG=M,MF、MGu平面MGF,

平面GM/〃平面4）石：

（2）解：取8C的中点O,连接反7,则EO1.8C,

.ABL平面DEC，ADu平面ABCD，二平面ABCD±平面DEC，

又平面ABC0C平面8EC=8C,EOu平面8EC,

.•.EO_L平面ABC。，在等腰直角三角形BEC中，由8E=EC=2,求得EO=&.

在矩形ABCD中，AB=2,BC=2叵,可得心奸=gxlx2x/5=&.

勿-"G=%-MF=g%_的=3X§SgDFXfO=wX5X&X>/5=5.

3.（2021•宿州三模）如图，在三棱锥尸—ABC中，底面ABC,PA=BC=AB=2,^ABC=—.。、

3

E、产分别为AC、PA.尸8的中点.

(I)证明：BDLPCx

(II)求三棱锥C-Z)£尸的体积.

百

【答窠】（1）见解析（2）12

【详解】证明：（I）\AB=BC,AD=DC,:.BD±AC,

•・・Q4_L底面ABC,8Ou平面ABC,：.PAYBD,

又H4「|AC=A，..即，平面RAC,

♦.PCu平面RAC,

..BDLPCx

解：（H）•.•。为AC的中点，「.A、C到平面。EF的距离相等，

^C-bEF=^A-DEF=^D-AEF'

在MBC中，-BC=AB=2,ZABC=—,:.AC=2M,则4£）=百，

•.•E、尸分别为24、P8的中点，:.EFUAB,^.EF=-AB=\,

2

由R4_L底面ABC，知Q4_LAB,：.EF1AE,

\BDLAC,作DHLAB,垂足为H,则D"_L平面

在RtAABD中，AB=2,AD=6

：DH=AD^D=43

AB2

1ZIc八口11GG

・'.1*VD-AEFDH=^X2X^2=~\2.

4.（2021•咸阳模拟）如图，在四棱锥尸-ABCZ）中，底面ABC。为正方形，PDJ■底面ABC。,M为线段

PC的中点，PD=AD=ltN为线段8c上的动点、

（I）证明：MDA.PNx

（II）当N为线段5c的中点时，求三棱锥A-MM）的体积.

1

【答案】（1）见解析（2）12

【详解】（I）证明：•.FD_L平面ABC。，8Cu平面ABC。，.•.BC_LPZ）,

又BC_LZ)C,PD^\DC=DtPD、DCu平面P£>C,

.•.3C_L平面尸/X?，

又MDu平面PDC,:.MDLBC,

在RtAPDC中，PDA.DC,PD=DC,M为尸C的中点，:.MDA.PC,

VPCQfiC=C,PC、BCU平面尸8C,

二.MDJ•平面尸8C,而PNu平面尸BC,

.\MDA.PN；

(H)解：•.•M为线段PC的中点，N为线段3c的中点,

VV5PD=XX1X1XX1=,

-A-MND=M-A[W=^Mw45iiH

5.（2021•马鞍山三模）如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面AB8为菱形，AMD为等边三角形，ZABC=60°,

O为M＞的中点.

（1）证明：平面RA£＞_L平面POC；

（2）若4）=2,PC=46,点M在线段?力上，PM=3MD,求三棱锥P-COf的体积.

3

【答案】（1）见解析（2）8

【详解】（1）证明：根据题意可得，PA=PD,AO=OD,:.PO±AD

又•・•底面ABCD为菱形，ZABC=60°,:.CO±ADt

又•.•尸0noe=。，PO、OCu平面尸OC,..AO,平面尸OC,

又Mu平面BAD,平面皿＞1.平面POC；

（2）解：在等边三角形A4£>中，•.•4）=2,.♦.OP=OC=G,

又PC=遍，.OP1+OC2=PC2,即POJ_OC,

I14

-S^c=-POOC=-^^=~.

乙乙乙

由（1）可知，ADJ_平面POC,乂PM=3MD,

3312

,'%-COf=^M-POC=W^D-POC=工X§Sy0cxDO=-

6.（2021•包头二模）如图，在正三棱柱ABC-A中，夕、Q分别为B耳、AC的中点，E为线段AB延

长线上一点，且=B七，AA=A4=4.

（1）证明：伙2〃平面APC；

（2）证明：点E在平面人尸。内；

（3）求三棱锥A-APC的体积.

【详解】(1)证明：连接AG交AC于。，连接OP，OQ,在正三棱柱A8C-A4G中，

•・•四边形ACGA为正方形，「o为对角线AG与Ac的中点，则OQ〃CG，且OQ=gcG，

又点尸为的中点，..PB//CG，且PB=；CC'

:.PB：/OQRPB=OQ,则四边形8POQ为平行四边形，

得Q3//OP,又8QU平面平面人尸。，OPu平面APC,

/.3Q//平面APC；

(2)证明：连接CE,PE,在AACE中，是中位线，

:.QBUCE,又QB//OP,:.OP//CE,

故平面A,PC为OP与CE所确定的平面，

因此，点E在平面APC内；

(3)解：•・•点。为正三角形ABC一边AC的中点，「.BQ_LAC,

又平面ACGA_L平面ABC,..BQ，平面ACGA，

由(1)可知尸O//8Q,故PO_L平面ACQA，

又ACU平面ACGA，-POLA.C,

i2

在中，A>C=^AiA+AC=472,在正三角形ABC中，BQ=20

由(1)可知，OP=BQ=20..S*巾=3ACOP=4#,

•・•四边形ACGA是正方形，

又AC|_LOP,且Acnop=。，AC|_L平面APC,

故AO是三棱锥A-APC的高，且AO=2夜,

7.（2021・河南模拟）四面体"8中，平面48。_1平面或力，乂8。是边长为1的等边三角形，DC上BC,

且DC长为6.设DC中点为M,8关于M的对称点为E,且尸，G分别为CE,A£＞的中点.

（I）证明：平面厂GMJ■平面BC。；

（II）求四面体BGMF的体积.

【答窠】（1）见解析（2）32

【详解】（【）证明：因为平面ABCJ_平面86，平面ABCC平面ACZ）=8C,CDJ.BC，

所以COJ•平面ABC,

因为4Cu平面ABC,BCu平面ABC,所以C0_LAC,CD工BC,

又G,M分别为A。，CD的中点，所以GM//AC,

所以G/W_L8,

同理可得,

因为MF0|GM=M,所以COJ•平面GW,

因为COu平面38,

所以平面BCD1.平面FGM；

（II）由（I）可得，MF//BC，

因为3CC平面GMb,平面GW产，

所以3C//平面GMF,故B到平面GMF的距离即为C到平面GMF的距离.

由（1）^CM=-CD=—,即为C到平面GMF的距离，

22

取5。的中点N,则尸，M,N三点共线，连接GN,

MN='BC=L,GN=LAB=L,GM=-AC=-,

222222

所以&GMN=手、（，=络,

421O

因为“为/W的中点，所以邑^=5必楸=W.

1O

8.（2021•攀枝花模拟）如图，三棱锥尸-ABC中，抬_1面45（7,A4BC为正三角形，点4在棱E4上，

且尸4=4尸4，用、G分别是极PB、?。的中点，直线A片与直线回交于点。，直线AG与直线AC交

于点E,AB=6,PA=S.

（1）求证：DE//BC；

（2）求几何体ABC-AqG的体积.

【详解】证明：（1）•.♦与、G分别是棱P8、PC的中点,

•••4GU平面BCDE,BCu平面BCDE

:.BQ、//平面BCDE,

巴Gu平面B\CQE,平面BCDEC平面B£、DE-DE,

:.B£//DE,则DE//8C；

解：（2）•.•A4BC为正三角形，且边长为6,24_1_面4?。，24=8,

V.=-x—x6x6x—x8=24G,

Pp-ABCC322

又尸4=4PA,/.PA=2,用到RA的距离为（48=3,

则丛马4=；x2x3=3，q到平面尸A4的距离为C到平面R48距离的一半，为手•

v_1,373_3>/3

V&W=3x3x-=—

则匕IBC-AMG=XP-ABC一XP-AMG=^P-ABC~%-必用

9.（2021•赤峰模拟）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，底面为等腰梯形，AD//I3C,Z4ZJC=60°,

且R4=AB=尸8=8C=2,石为F4的中点.

（1）证明：BE//平面PCD；

（2）求三棱锥P-BCD体积的最大值.

【答案】（1）见解析（2）1

【详解】证明：（1）取PD中点、G，连接EG，CG，

在MW中，•.•£：为P4的中点，:.EG//AD,EG=-AD,

2

•・•底面ABCD为等腰梯形，ADIIBC，ZADC=6O°，

.•.4）=4,可得3C//EG且BC=EG,则四边形EGCE为平行四边形,

.BEUCG,而CGu平面尸C7），班:《平面PC。,

.•.4E"平面08；

解：（2）要使三棱锥P-3co体枳最大，则平面P4B_L平面AB8,

此时岛•的最大值为。=G，

••(VP-ABCD)M=gS^DxGf2x2xsin120。=1,

即三棱锥P-BCD体积的最大值为I.

10.（2021•太原模拟）如图，在几何体ABCD及'中，四边形ABCD是边长为2的菱形，且NR4D=60°,

CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平面CDE_L平面ABCD.

（I）求证：平面3c尸_1_平面ABCD；

（II）若直线BE与平面A68所成的角为45。，求三棱锥A-CEV的体积.

【答案】（1）见解析（2）1

【详解】（I）证明：设点G、”分别是CD,8的中点,

连接EG,FH,GH,则G7///D8，且DB=2GH,

因为EF//DB，且DB=2EF,

所以EF//GH,且EF=GH,

所以瓦'GH是平行四边形，可得FH//EG,

因为CE=£>E,所以EG_LCD,

因为平面CDE_L平面ABC。，所以EGJL平面ABC。，

所以,_L平面ABC。，

因为切u平面BC『，

所以平面331.平面ABCD；

（II）连接尻；，由（I）可得EG_L平面ABCD,

因为直线BE与平面ABCD所成角为45°,

所以/£3G=45。，所以BG=EG,

设ACp|8O=O,

连接。£,可得OEF6是平行四边形，所以OE//BF,

因为四边形A8CO是边长为2的菱形，且NB4O=60。，

所以三角形相£＞和三角形38都是边长为2的等边三角形,

所以5G=6,

所以^A-CEF=^F-ACE=%-ACE=^E-ABC=§-EG

=乱8@=上手x4x6=l.

11.（2021•大庆模拟）如图所示，正方体A4GA中棱长为2,且E,F分别为3用,OR的中点.

（1）求证：A£；〃平面BC/；

（2）求四面体A-8G厂的体积.

【详解】(1)证明：取CG的中点G，连接Z)G，EG,

ABCD-44GA是正方体，点G和E为所在棱的中点，

..AD//EG,AD=EG,则四边形AEG。为平行四边形，可得A£//Z)G,

在正方体CZ)AG中，点G和尸为中点，

..C.F//DG,得AE/，FC、,

又AEU平面8G产，C/u平面BC/，

.•.隹//平面8加产；

(2)解：・.・他〃平面8G尸,

匕-8C|F=VE-BJF=VF-BC’E'

在四面体产一8GE中，S^E=^BECXB=^xlx2=l,

产到平面BQE的距离为2,

匕-gF=%-gE=5*1'2=5'

12.(2021•攀枝花模拟)如图，四棱锥P-A5CD中，底面A3CD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是

恻棱长为G的等腰三角形，E、尸分别为AB、尸。的中点.

(I)证明：BF//平面PDE；

【答窠】(1)见解析(2)6

【详解】证明：(I)•.•尸为PC的中点，取PD的中点为G,连EG,FG

•.•ABCD为正方形，E为的中点，

，BEUCDRBE=、CD,

2

又•.尸G//8,RFG=-CD,

2

二.四边形BEG"为平行四边形，故8尸〃EG,

•.EGu平面尸DE,8尸仁平面尸。石，

:.BFU平面PDE；

解：（II）「ABC。为正方形，且PA=PB=PC=PD，

..P-ABCD为正四棱锥，则?在平面ABCD的射影为AC的中点O,

'*'F为PC的中点＞=-S正方形Age。

=

=VF-BDEg^P-ABCD

PA=6,0A=&,;.OP=1,

^P-ABCD=--221=-,

33

13.（2021•陕西模拟）如图，在四棱锥S-A8a＞中，S£＞J_平面A4C。，底面A88是菱形,尸分别

为SB,4）的中点.

（I）证明：瓦7/平面SCD：

(II)若4>V)=6O。，SD=4,AB=2,求三棱锥C-DEF的体积.

V3

【答案】（1）见解析（2）3

【详解】（【）证明：如图，取SC的中点G,连接0G,EG

是S3的中点，

反;是AS6c的中位线，

..EG//BC,EG=-BC.

2

又DF//BC，DF=LBC,

2

.EG//DF.EG-DF,

四边形EGDF是平行四边形，

:.EFUDG.

又所《平面SCD,Z）Gu平面SCO,

:.EFU平面SC£）；

（II）解：如图，连接4C,BD交于点O,连接比>,

:.BO=OD

..EO//SD,EO=-SD=2.

2

又SO_L平面ABC。，

/.EO_L平面ABCD.

在菱形ABC£）中，NK4£>=60。，AB=2-

o

5AC/,F=-Z）FCDsinl20=-xlx2x—=—,

ACPF2222

,v_v_1Mc_1r6

••^C-bEF—*fc-CDF-4EO,S&CDF——x2xw--

E

14.（2021•凉州区校级模拟）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,

ZABC=ZZM8=90°,BC=2AB=2AD=2,平面PCD_L平面ABC。.

（1）证明：8£>J_平面尸8；

⑵若PD=PC=6,求三棱锥8-AC尸的体积.

A/6

【答案】（1）见解析（2）6

【详解】（1）证明：因为四棱锥P—ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD//BC,NABC=NZXB=90。,

BC=2AB=2AD=2,所以8£>=+4£>?=&,DC=42,

可得：BD2+CD2=BC2,所以8OJ_Z）C,又因为平面尸CO_L平面ABCD,

且平面PC£>C平面ABCD=CD,又BQu平面ABCZ),

所以8£>J_平面尸8.

（2）解：因为PD=PC=应，取8的中点O，连接PO,

则由（1）知DC=近,则,£心为等边三角形，所以尸O_LCD,

又因为平面P8_L平面A5C£）,POu平面PCD,且平面P8C平面ABCD=CD,

所以POJ•平面BCD，PO=V2x—=—,

22

所以\'B-ACP=VP-ABC=PO=；x；xlx2x塔二李.

3322o

15.（2021•兴庆区校级二模）已知三棱柱ABC-A4G如图所示，平面A8CJ•平面ACGA，

。，AC=2BC,点在线段片上.

ZA4,C=ZACfi=90°,41AC=30MA

（1）求证：AA,_L48：

（2）若3c=2石，三棱锥A-BCM的体积为6,求劣”的值.

【答案】（1）见解析（2）1

【详解】（1）证明：•.•平面AAC_L平面4CGA，平面AACC平面ACGA=AC,

BCLAC,BCu平面A5C,BCJL平面CA,,

而ACu平面A4,GC,:.BCL\C,得乙4,08=90。，

设8C=x,\AC=2BC,则AC=2x,XZA4)C=90°,幺AC=30。，

/.A^C=x»A4J=GX,B=y/2x,AB=\/5x>

而M+A"=3f+2f=5/=AB2,

..AA.LA.B；

(2)解：过M作MN_LA8交A8于N,

若BC=26,由(1)得，AC=2x/J,.缺=BB1=6，

V.瞰m=、MNS"R=6，^-MNx-x2y/3x2y/3=6,

-t>C»Vj332''

解得“V=3,又♦.•NA418=N/\34=90。，

A.MMN3\

"丽一直一片一5'

.•.4”=(44，则AM=M81,得喘~=】•

16.（2021•昆明一模）如图的四棱锥S-PMN石和四棱台PMNK-ABC。是由一个四棱锥S-ABCD被过各

侧棱中点的平面所截而成.在四棱台必伊也-4夕8中，A4_L平面ABCD,“是A£＞的中点，四边形ABC”

为正方形，AB=AP=2.

（I）证明：CHLEDx

（2）求四棱台PMVE-AHCT）的体积.

【答案】（1）见解析（2）7

【详解】（1）证明：•・•四边形ABC”为是正方形，.•.C77_LA//,

•.A4_L平面ABC。，C〃u平面ABCZ）,:.CH±PA,

又AP「|A//=A,AH.APu平面HIDE,

.•.3_1_平面以£）石，而EDu平面皿史,

:.CH1ED；

（2）解：将四棱锥S-尸MNE与四棱台广肱\任-钻8拼回成原四棱锥S-ABC。,

根据题意，可知四边形ABCD与四边形RW7VE都是直角梯形，

・「尸、M、N、E分别是四棱锥S-ABC。四条侧棱的中点,

:.PE=-AD=2,PM=-AB={,MN=-BC=\,SP=-SA=2,

2222

\(PE+MN)XPMc,、,

%-PMNE-x----------------------x5P=1

32

Vs-ABCD处四

32

四棱台PMNE-ABCD的体积为匕tb>-^_mv£=8-1=7.

17.（2021•河南二模）如图，已知矩形A3CD所在平面垂直于直角梯形尸石所在平面，EP=6BP=2,

AD=AE=\,AEA.EP,AE//BP,F,G分别是BC,BP的中点.

（1）设过三点P,E,C的平面为a,求证：平面APG〃平面a；

（2）求四棱锥。-AB/石与三棱锥尸-88的体积之比.

3

【答案】（1）见解析（2）2

【详解】（1）证明：=G是8尸的中点，.•.PG=48P=1,

2

vAE=l,:.AE=PG,

•;AE!/PG,AE_L£P,.•.四边形AEPG是矩形，

/.AG//EP,

平面a,尸Eu平面a,AG//平面a,

•.•尸、G分别是BC、8尸的中点，」.AG是MCP的中位线，:.FG//PC,

平面a,PCu平面a,「.FG〃平面a，

vAGpFG=G,且AG、FGu平面AFG,

平面AAG〃平面a.

（2）过P作P"_LAB,垂足为“,

由题意得AZ)_L平面庄，

V

D-/BPE=!S梯形ABPE.AO=；XX小xl=g,

•.•平面ABC。_L平面AB尸石，平面ABCDC平面加匚平面锚庄,

.•・/¥/_1_平面4?8,即尸〃是三棱锥。-8c。的高，

•：AG=EP=BPG=AE=\,BG=BP-PG=2-\=\,

.•.由勾股定理得AB=7AG2+BG2=J(拘:+『=2.

CD=AB=2sinZABG=—=—,

fAB2

PH=BPsinZABG=2x—=75,

2

•.kcD=gxSABa)xP〃=gxgx2x|x6=等,

G

T

二.四棱锥。-AB庄与三棱锥尸-BCD的体积之比为：

V3

18.(2021•安庆模拟)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面MCD是边长为2的菱形，ZZMB=60°,

PB=PD=@，PA=3.

(1)证明：PA1BD；

(2)若PE=2EA,求三棱锥E-P8C的体积.

【详解】（1）证明：连接4c交加）于点O,•・•底面488为菱形，

..BD上AC,OB=OD,

又・.・PB=PD,..BD工PO,而4。口「。=。，

.•.8Z5_L平面P4C,

又・・・Blu平面Q4C,..PA上BD；

（2）解：由（1）知，8。_1_平面24C,则三棱锥3—PEC的高为工8。=1,

2

•・•底面是边长为2的菱形，.•.AC=2>/5,

•;PB=PD=&,.•.尸O=遍.

在AE4O中，PA=3,PO=s/6,AO=石，则尸O?+AO?=E4?,BPPOLOA.

又・.・PE=2EA,=|^c=|xlx2x/3x>/6=272.

V=V=­x2V2x1=2近.

fEc—rPoBtC-oB-rtPLELC.3▼3

19.（2021•陕西模拟）如图所示，是正方形，。是正方形的中心，PO_L底面A3CD,底面边长AB=1,

E是PC的中点.

（1）求证：尸A〃平面及比；

（2）若QP=2,求三棱锥的体积.

【详解】（1）证明：连接OE，如图所示，

•.•O、E分别为AC、PC的中点，:.OE//PAf

•.QEu平面也无，24e平面比）E,

.•.N"平面或石；

（2）解：取OC中点F,连接所，

•.•E为PC的中点，.•.£1〃为APOC的中位线，则EF//PO,REF=-OP=\,

2

又•.尸O_L平面A5C£>,「.所_1•平面AAS,

1Z11Z11,,.1

-V£_iCD=-y£__=-x-xlxlxl=-.

20.（2021•安阳一模）如图①，在平面五边形S4CD4中，AD3BC，AD±AB,AD=2BC2AB,将ASAB

沿AB折起到『的位置，使得平面P4B_L底面ABCD,如图②，且E为PD的中点.

（I）求证：CE//平面以8；

（H）若24=Q8=6,AB=4,求三棱锥A-8C石的体积.

16后

【答案】（1）见解析（2）3

【详解】（I）证明：设尸为Q4的中点，连接石尸，FB,

因为E为电）的中点，所以E尸//AO且防=

2

又因A£>〃6c且AD=2BC,

所以EFHBC且EF=BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，

所以CE〃加',

又因Mu平面BAB,CE<t平面R44,

所以CE〃平面FAB：

(II)解：如图，设。为AB中点，连接PO、OD,过E作E77//PO交。。于点”,

因为PA=PB=6,AB=4,

所以PO_LAB,PO=>]PA2-AO2=4>/2,

又因平面P4B_L底面人4cD,平面P45c底面A〃a>=A3,

所以PO_L底面ABCD,而EH//PO,

所以硝JL底面ABCD,

所以£”是三棱锥“一抽。的底面AtfC上的高，且BH=+0=2五,

2

又ADIIBC,ADA.AB,BC=AB,

所以A8_L8C,S=->4BBC=-x4x4=8,

MA/lWtJVe22

所以匕.8CE=%TK=g・%«cE"=gx8x2Vi=¥・

21.（2021•兴庆区校级一模）如图，在直角梯形尸BCD中，PD//BC.NDCB