浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）第二次月考数学试卷（10月份）一.仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案）1．（3分）已知的半径为4，，则点与的位置关系是A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定2．（3分）下列选项中的事件，属于必然事件的是A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B．是实数， C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．两数相加，和是正数3．（3分）二次函数的图象向左平移3个单位后的函数为A． B． C． D．4．（3分）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为A． B． C． D．5．（3分）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是A． B． C． D．6．（3分）如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为A． B． C． D．7．（3分）函数和函数是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．8．（3分）二次函数，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是A． B． C． D．9．（3分）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么所对的圆心角的大小是A． B． C． D．10．（3分）已知抛物线，，是实数，与直线交于，，则下面判断正确的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则二．认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分．要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．（4分）抛物线与轴的交点坐标是．12．（4分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是．13．（4分）如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是．14．（4分）如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接，若，，则的大小为．15．（4分）已知，均为非负实数，目，则的最小值为．16．（4分）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则该圆的半径长为米．三．全面答一答（本题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）17．（6分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．（2）从中任意摸出一个球，不放回，然后再从布袋里摸出一个球，利用树状图或列表，求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点、的坐标分别为、．（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标．（2）将绕着原点顺时针旋转得△，画出△．19．（6分）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．（1）求证：．（2）若的度数为，求的度数．20．（8分）如图，四边形内接于，是弧的中点，延长到点，使，连接，．（1）求证：．（2）若，，则的直径长为．21．（8分）小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷距离（实心球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．22．（10分）如图，是的直径，，于点，连接交于点．（1）求证：．（2）若，，求弦的长．23．（10分）已知二次函数，且．（1）若其图象经过点，求此二次函数的表达式．（2）若为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求，的取值范围．（3）点，，，是函数图象上两个点，满足且，试比较和的大小关系．24．（12分）如图，已知内接于，点是的中点，连接，交于点．（1）如图1，当圆心在边上时，求证：；（2）如图2，当圆心在外部时，连接和，若，的度数是，求的度数；（3）如图3，当圆心在内部时，连接和，若，，，求四边形的面积．

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团九年级（上）第二次月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一.仔细选一选（本题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案）1．（3分）已知的半径为4，，则点与的位置关系是A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定【分析】根据题意得的半径为4，则点到圆心的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点在外．【解答】解：、，，则点在外，故选：．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．2．（3分）下列选项中的事件，属于必然事件的是A．在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B．是实数， C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D．两数相加，和是正数【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球，是不可能事件，不符合题意；、是实数，，是必然事件，符合题意；、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是随机事件，不符合题意；、两数相加，和是正数，是随机事件，不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）二次函数的图象向左平移3个单位后的函数为A． B． C． D．【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：二次函数的图象向左平移3个单位后，所得函数的表达式是，即，故选：．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．4．（3分）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为A． B． C． D．【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：将绕点逆时针旋转，得到，，，，故选：．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．5．（3分）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是A． B． C． D．【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【解答】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，，故选：．【点评】本题考查的是二次函数的性质，正确求出二次函数的对称轴、掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（3分）如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为A． B． C． D．【分析】由垂径定理得，再由勾股定理得，即可得出结论．【解答】解：连接，由题意得：，，，，，，在中，由勾股定理得：，．故选：．【点评】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．（3分）函数和函数是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】分别分析当和时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可．【解答】解：①当时：函数的图象过一、二、三象限，函数的图象开口向下；不正确，不符合题意．②当时：函数的图象过二、三、四象限，函数的图象开口向上；不正确，不符合题意．函数的对称轴为直线，正确，符合题意；不正确，不符合题意．故选：．【点评】本题考查一次函数及二次函数的图象，熟悉它们图象的性质是本题的关键．8．（3分）二次函数，、、为常数）的图象如图所示，则方程有实数根的条件是A． B． C． D．【分析】利用函数图象，当时，直线与二次函数有公共点，从而可判断方程有实数根的条件．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，即时，二次函数有最小值为，当时，直线与二次函数有公共点，方程有实数根的条件是．故选：．【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；由图象与的交点位置确定交点横坐标的范围；9．（3分）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过、、三点，那么所对的圆心角的大小是A． B． C． D．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心．连接，，在与中，，，，，，，即所对的圆心角的大小是，故选：．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．10．（3分）已知抛物线，，是实数，与直线交于，，则下面判断正确的是A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【分析】将两点坐标分别代入并联立，从而得到，再根据有理数的乘法判断符号【解答】解：抛物线与直线交于点，，，①，②②①得，即，则当，或，时，；当，或，时，．故正确，、、错误，故选：．【点评】本题考查了二次函数与一次函数，解题的关键是根据交点得到关于，，，的等式二．认真填一填（本题共6个小题，每小题4分，共24分．要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案）11．（4分）抛物线与轴的交点坐标是．【分析】令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．【解答】解：在抛物线中，令，即，则抛物线与轴的交点坐标是，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是令，求出的值，此题难度不大．12．（4分）在一个不透明的布袋中装有红球、白球共50个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7，则布袋中红球的个数大约是35．【分析】用总数量乘以摸到红球的频率的稳定值即可．【解答】解：根据题意知，布袋中红球的个数大约是，故答案为：35．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．（4分）如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是．【分析】先根据抛物线的对称性得到点坐标，由得函数值为正数，即抛物线在轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式的解集．【解答】解：对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点与关于直线对轴，，不等式，即，抛物线的图形在轴上方，．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数与不等式组，掌握二次函数的性质，抛物线的对称轴，抛物线与轴的交点是解题的关键．14．（4分）如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接，若，，则的大小为．【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．【解答】解：四边形内接于，，，，是的直径，，，，，，故答案为：．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（4分）已知，均为非负实数，目，则的最小值为．【分析】先根据题意得出，由，均为非负实数求出的取值范围，再代入代数式求出其最小值即可．【解答】解：，，又，均为非负实数，，解得：，则，，当时，的值随的增大而增大，当时，取得最小值，故答案为：．【点评】本题考查的是二次函数的最值，根据题意把原式化为二次函数的形式是解答此题的关键．16．（4分）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径米，为圆上一点，于点，且米，则该圆的半径长为26米．【分析】过作于，过作于，由垂径定理得（米，再证四边形是矩形，则米，（米，设该圆的半径长为米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解答】解：过作于，过作于，如图所示：则（米，，，，四边形是矩形，米，（米，设该圆的半径长为米，由题意得：，解得：，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．【点评】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．三．全面答一答（本题共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）17．（6分）一个布袋里装有只有颜色不同的3个球，其中2个红球，1个白球．（1）从中任意摸出一个球，求摸出的是红球的概率．（2）从中任意摸出一个球，不放回，然后再从布袋里摸出一个球，利用树状图或列表，求摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）画树状图得出所有等可能的结果数以及摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：有2个红球，1个白球，从中任意摸出一个球，摸出的是红球的概率为．（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有：（红，白），（红，白），（白，红），（白，红），共4种，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．18．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点在网格线的交点上）的顶点、的坐标分别为、．（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标．（2）将绕着原点顺时针旋转得△，画出△．【分析】（1）根据点，的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案．（2）根据旋转的性质作图即可．【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示点的坐标为．（2）如图，△即为所求．【点评】本题考查作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．19．（6分）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接．（1）求证：．（2）若的度数为，求的度数．【分析】（1）连接，首先证明，即可解决问题；（2）根据的度数为，可得，又，所以，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接，是的直径，，又，，，，；（2）解：的度数为，，又，，．【点评】本题考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用相关知识解决问题．20．（8分）如图，四边形内接于，是弧的中点，延长到点，使，连接，．（1）求证：．（2）若，，则的直径长为10．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到；（2）连接并延长交于，连接，则，根据已知条件得到，，求得，根据直角三角形的性质得到结论．【解答】（1）证明：，，四边形内接于，，，，在和中，，，；（2）解：连接并延长交于，连接，则，是弧的中点，，，，，，，，的直径长为10，故答案为：10．【点评】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．21．（8分）小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．（1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式．（2）若实心球投掷距离（实心球落地点与出手点的水平距离的长度）不小于，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分．【分析】（1）设该抛物线的表达式为，把代入解析式求出即可；（2）根据题意令，解方程即可得到结论．【解答】解：（1）依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．设该抛物线的表达式为，抛物线过点，，解得，该抛物线的表达式为；（2）令，得，解得，在轴正半轴，故舍去），点的坐标为，，小明此次试投的成绩能达到满分．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．22．（10分）如图，是的直径，，于点，连接交于点．（1）求证：．（2）若，，求弦的长．【分析】（1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则；（2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长．【解答】（1）证明：是的直径，，．，，，．又，，，，，；（2）解：连接，交于点，，，，，，，，的半径为10，设，则，由勾股定理，得，即，解得，，．【点评】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用．23．（10分）已知二次函