2020中考数学二轮复习：二次函数综合题(含答案)

2020中考数学二轮二次函数综合题

1.在平面直角坐标系中，抛物线＞=-V-2X+3与x轴交于4,2两点(A在2的左侧)，与y轴交于点C,顶

点为D.

⑴请直接写出点A,C,D的坐标；

(2)如图①,在无轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,并求出点E的坐标；

(3)如图②，/为直线AC上的动点在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形？若存在,求出点

P的坐标;若不存在,请说明理由.

解：(l)A(-3,0),C(0,3),0(-1,4);

(2)如解图①所示，作点C关于x轴对称的点C,连接CD交x轴于点E,此时△CDE的周长最小.

VC(0,3),

二。(0,-3),

设直线CD的解析式为y=kx+b,

Z?=-3k=-1

则有，解得，

-%+/?=4[匕=-3

直线CD的解析式为y=-7x3

3

当y=-7龙-3中y=0时,x=-y,

3

.•.当△CDE的周长最小时,点E的坐标为吁0);

(3)存在.

设直线AC的解析式为y=ax+c,

c=3a=1

则有，解得，

-3〃+c=0[c=3

直线AC的解析式为y=x+3,

假设存在,设点F{m,m+3),

△AFP为等腰直角三角形分三种情况(如解图②所示)：

①当/网尸=90°时，P(附加-3),

•••点P在抛物线y=4-2%+3上，

-m-3=-m2-2m+3,

解得:mi--3(舍去),m2=2,

此时点尸的坐标为(2,-5);

②当NAFP=90。时，尸(2加+3,0),

:点尸在抛物线y=-P2x+3上，

0=-(2m+3)2-2(2m+3)+3,

解得：侬=-3(舍去)，机4=-1,

此时点尸的坐标为(1,0)；

③当ZAPF=90°时,尸⑺,0),

,/点P在抛物线y=-/2+3上，

/.0--m2-2m+3,

解得：m5=-3(舍去),m6=1,

此时点P的坐标为(1,0).

综上所述,存在满足条件的点P使得△AFP为等腰直角三角形,点P的坐标为(2,-5)或(1,0).

第1题解图

2.如图,抛物线y=-r+bx+c经过4(-1,0),仅3,0)两点且与y轴交于点C,点。是抛物线的顶点，抛物

线的对称轴DE交A-轴于点E,连接BD.

⑴求经过45C三点的抛物线的函数表达式;

⑵点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,过点P作PF±x轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动

点，当以尺M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.

解：⑴：抛物线y=4+b尤+c经过A(-1,O),2(3,0)两点

-1-/?+c=06=2

，解得，

-9+3/?+c=0c=3

•••经过A,B,C三点的抛物线的表达式为y=+2x+3;

(2)如解图①，连接PC、PE.

b2

:抛物线的对称轴为直线…斤一KF1,

・••当x=1时,y=-1+2+3=4,

・,•点。的坐标为(1,4),

设直线BD的解析式为：y=如+n(m^0),

0=3m+nm=-2

将3(3,0)和Z)(l,4)分别代入，得彳,解得,

4=m+n=6

贝!]y=-2x+6,

设点尸坐标为(元,2+6),

VC(O,3),£(1,0),

•*.由勾股定理可得：PC2=^+[3-(-2x+6)]2,PE-=(.1)2+(-2x+6)2,

又,：PC=PE,

.,.x2+(3+2x-6)2=(无-1>+(-2%+6)2,

解得x=2,

贝！Iy=-2x2+6=2,

点尸坐标为(2,2);

(3)依题意可设点M坐标为(a,0),则点G坐标为(a,+2(J+3).

如解图②，

第1题解图②

以尺M、N、G为顶点的四边形是正方形时，必有-W=MG,

\2-a\=l-o2+2a+3|,

@2-a--(-a2+2a+3),解得a=县坐工

(2)2-a=-cr+2a+3,解得a=

1-V211+J213-J133+J13

•••M点的坐标为(一一,0),(—5—，0),(—o-.0),(—2一,0).

3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y="2+区+1交y轴于点A,交x轴正半轴于点8(4,0),与过A点的

直线相交于另一点。(3,|),过点D作DC±x轴,垂足为C.

⑴求抛物线的表达式；

⑵点P在线段OC上(不与点0、C重合),过户作PNLx轴,交直线AD于M,交抛物线于点N,连接CM,求

△PCM面积的最大值；

(3)若尸是x轴正半轴上的一动点,设OP的长为t,是否存在力使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行

四边形？若存在,求出r的值;若不存在,请说明理由.

第3题图

解：⑴：抛物线y="2+bx+1经过8(4,0),D(3,1),

4

0=16a+4Z?+lr

<S)="4

A—=9a+3Z?+「解得jii1

[2l?=]

抛物线的表达式为y=-++++1；

311

(2)抛物线v=甲2+彳犬+1与y轴交于点A,

•••A(0,1),

1=d卜」

设直线AD的表达式为y=丘+4贝！J5，解得彳2，

，=3k+d[八1

直线AD的表达式为v=1x+1.

轴,。(3,|),

•"(3,0),

设P(m,0),则0<m<3.

；PNJ_x轴，

：・M(m,5+1),

PM=+1,CP=3-m,

SAPCM=^PMCP=gx(品+1)(3-:")=+磊

当机=舸,△PCM面积取最大值,最大值为福

(3)'：OP=t,

1),

N(f,-*+争+1),

MN=帝+*+L&+1)|=乱产岁I,

'：CD//MN,

要使得四边形MNDC是平行四边形,只需MN=CD即可.

*/CD=I，

•,密岁1=1，

化简得3人%+10=0或3人9介10=0.

当3尸-%+10=0时，

/=81-120<0,方程无解；

当3人9“0=0时，

/=81+120=201,

.9^7201

6'

"0,

9+^201

­g->

9+J201

,当t为一I—时,四边形MNDC是平行四边形.

4.如图，抛物线＞=-炉+灰+c与直线A8交于A(-4,-4),8(0,4)两点直线AC：y=-5-6交y轴于点

C点E是直线AB上的动点,过点E作EFLx轴交AC于点F,交抛物线于点G.

⑴求抛物线的表达式；

⑵连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标；

(3)在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？求出

此时点的坐标.

第4题图

解：⑴：抛物线y=-/+bx+C的图象过4(-4,-4),8(0,4)两点,

-16-4Z?+c=-4b=-2

，解得彳，

c=4[c=4

抛物线的解析式为广-P2x+4;

(2)如解图①,设如：y=mr+n,过A(-4,-4),8(0,4)两点,

-4m+n=-4m=2

.T，解得彳，

n=4[n=4

J直线AB的表达式为y=2x+4.

VB(0,4),

J03=4.

设E(x,2x+4),G(x,-X2-2X+4).

GE=\-^-2x+4-(2x+4)|=l-x2-^.

•・.四边形GEOB是平行四边形，

：.OB//GEfGE=BO,

当---4%=4,

解得即二X2=-2.

当％G=-2时,yG=4,

，G(-2,4);

⑶解法一:由⑵知IAB'.y-2x+4,已知：/AC：y=-1x-6,

2x(-2)=■!,

，直线〃B_L/AC,即/BAC=90°,；.ZAEF<90°,ZAFE<90°,

四边形AEFH以NAEF,/AFE为内角时不是矩形，

当NA4c=90。且四边形AEHF是平行四边形时,四边形AEHF是矩形，

：.EH//AF,EH=AF,

如解图②,过点H作HP1EF,过点A作AQ±EF,

：./HEP=ZAFQ,

'：/EPH=ZFQA=90°,

会△PQA(AAS),PH=AQ,EP=FQ.

设E(a,2a+4),F(a,-^a-6)

0-a=解得a=-2.E(-2,0).

***0-yH=-4-(-；〃-6),解得卅二-1.

AH(0,-l).

【一题多解】设E(m,2m+4),EF//y轴，且点/在函数y=-/x-6的图象上，

13

F(m,-2^-6),EF的中点为(m^m-1),

若四边形为矩形，则点A和点H关于对角线EF的中点对称，

•・•点”在y轴上,设其坐标为(0,h),

3

此时-4+0=2m，-4+〃=2(中加1),解得m=-2,h=-l,

・・・E(-2,0),F(-2,-5),H(0,-1),

此时(0+4)2+(-1+4)2=5,EF=|0-(-5)|=5,

即四边形EAFH的对角线A〃=E居满足四边形EAFH为矩形，综上所述，当四边形EAFH为矩形

时,E(-2,0),H(0,-1).

图①图②

第4题解图

5.如图，已知抛物线y=-JC+2X经过原点0,且与直线y=尤-2交于B,C两点.

⑴求抛物线的顶点A的坐标及点B,C的坐标；

⑵求证：△ABC是直角三角形；

(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点P,使APBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存

在，请说明理由.

⑴解：：y=_炉+2尤=-(x-I)2+1,

..・抛物线顶点A的坐标为(1,1),

y=-x2+2x

-1x=2

解得或,

y=-3[y=0

:.BQ,0),C(-1,-3)；

⑵证明：由⑴可知B(2,0),C(-1,-3),A(1,1),

：.AB2=2,BC2=18,AC2=20,AAC2=AB2+BC2.

.••△ABC是直角三角形，/ABC=90。；

⑶解：存在，如解图，过点P作PG//y轴，交直线BC于点G,连接PC,PB.

第5题解图

设P(f,-产+2f),则G(乙f-2),

:点尸在直线BC上方，

/.PG=-产+2f-Q-2)=-产+f+2=-(?-I

SAPBC-SAPGB+SAPGC-]PG义3---])?+至，

3

•••-广0，

当/=W时，必.有最大值，此时P点坐标为&,|)•

,存在满足条件的点P,其坐标为1&,力3.

6.如图①，抛物线广¥+云+。经过A(-24，0)、8(0,-2)两点，点C在y轴上，ZVIBC为等边三角

形，点。从点4出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，设运动时间为/秒Q>0),

过点。作。ELAC于点E,以。£为边作矩形。EGF，使点尸在x轴上，点G在AC或AC的延长线上.

⑴求抛物线的解析式；

(2)将矩形DEGF沿GP所在直线翻折，得矩形D'E'GF,当点D的对称点。落在抛物线上时，求此时点D'

的坐标；

⑶如图②，在x轴上有一点MQ小,0),连接BM、CM,在点D的运动过程中，设矩形DEGF与四边形

A3MC重叠部分的面积为S,写出S与f之间的函数关系式，并写出自变量I的取值范围.

第6题图

解：⑴把A(-2S，0),8(0,-2)代入抛物线y=¥+6x+c中，

抛物线的解析式为y=#+当x-2；

⑵-23，0),8(0,-2),

(9A=2^3,OB=2,

VAD=2t,/DEA=90。，ZBAC=60°f

.\AE=t,ED-y[3t,

•「△ABC为等边三角形，

・•・ZBAC=60°,

*：AO±BC,

：.ZCAO=ZBAO=30°t

•・•四边形。EG尸为矩形,

：.DF//AC.GF=DE=yf3t,

：.ZDFA=ZCAO=30°,

：.AF=2GF=2yf3t-

：.ZDFA=/BAO=30°，＜DF=AD=2t,

由翻折得DfF=DF=2t,如解图①，过点。作DrH±x轴于点H,

第6题解图①

•：/DFH=ZAFD=30°,

：.D，H=*/F=t,FH=/D，H=4,・・・AH=AF+FH=3小t,

：.OH=AH-AO=3y[3t-2y[3,：.D\3yl3t-2y[3,/),

把D，(3小t-2小，t)代入y=*+冬-2中,

：.t=j(3y/3t-2小＞+当(3.-2小)-2,

整理得9p-10t=0,

解得h,t2=0(舍去)",y).

4Lr-

(3)如解图②,当0＜与时,S=S^DEGF,-,•S=2八同=2小Z2；

第6题解图②

4

如解图③，当*:也2时，

,：CG^AG-AC=3t-4,GHfCG=巾(31-4),

•*•5=5矩形DEGF-S^CGH,

.*.S=2小》-^(3t-4)x小⑶-4)=-曰4-8小.

综上所述，S与，的函数关系式为

243t2C0<t<-}

S=<3

+12V3Z-8V3f-<t<2)

23

7.如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,与y

轴交于点C.

⑴求抛物线的函数表达式；

(2)若点。是y轴上的一点，目以B,C,。为顶点的三角形与△ABC相似,求点D的坐标；

(3)如图②，CE//X轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的

直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的

坐标及最大面积.

图a图2

第7题图

解：⑴.抛物线过点4-1,0)和点B(5,0),

a-b-5=0p=l

25a+5b-5=01解得［》=一4

抛物线的函数表达式为y=f-4x-5;

(2y：OB=OC=5,

：.ZABC=ZOCB=45°,

・・・以反C、。三点为顶点的三角形要与△ABC相似，必须要有一个角等于45。.

(i)当点D在点C的下方时,ZBCD=180°-45°=135°,

不会出现45。角，

,此种情况不存在；

(ii)当点。在点C的上方时，NBCD=45°,易得BC=/。8=5陋,AB=OA+OB=1+5=6,

存在两种情况：

①当时，器

5^2_CD

即

6~5121

.*.CD=y

OD=CD-OC二年-5=与,

・・.£>(0,y)；

②当△DQ5s△ABC时，会二翳

CD_5^2

/.CD=6,

OD^CD-0c=6-5=1,

点。(0,1),

二综上所述，点D的坐标为(0,1)或(0,号时，以B,C,。为顶点的三角形与△ABC相似；

⑶令y=-5得/-4工-5=-5,

解彳导X1=0,X2=4,

•••£(4,-5),

?.C£=4,

设H(a,a?一Z-5),点H是在直线CE下方抛物线上的动点，

：.0<a<4.

设直线BC的表达式为y=kx+b,

把点B(5,0)、C(0,-5)代入得

J5左+Z?=0J左=1

jz?=-5，解得b=-51

二直线BC的表达式为y=x-5,

则点F(a,a-5),

FH=a-5-(a2-4a-5)=-a1+5a,

,:CELFHi

2

S四边形CHEF-gcEFH=-2层+10a=-2(a-1,)+z

•・・0<〃<4,

二当a=,时，四边形CH所面积有最大值，最大值是年,

此时H(1,-y).

8.如图，已知抛物线与x轴交于4-1,0),仅3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),抛物线的顶点为尸，

连接AC.

⑴求此抛物线的解析式；

(2)在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点。，求点。的坐标；

(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S^MAP=2S^ACP?若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明

理由.

第8题图

解：⑴设此抛物线的解析式为y=a(x-xi)(x-X2),

:抛物线与X轴交于4-1,0)、2(3,0)两点，

•\y=a(x+l)(x-3),

又：抛物线与v轴交于点C（o,-3）,

a(0+1)(0-3)=-3,=1,

・・.y=(X+1)(X-3),

即y=f-2%-3；

⑵•・,点A(-l,0),点C(0,-3),

：.OA=1,OC=3,

VDC±ACZ

JZDCO+ZOCA=90°,

・・・OC_Lx轴,

：.ZCOA=ZCOQ=90°,ZOAC+ZOCA=90°,

：.ZDCO=ZOAC,

:•△QOCsXCOk,

.OQ_oc加竺_3

"OC~OA，即3_］，

・・・OQ=9,

又・・,点。在』轴的正半轴上,・・・。(9,0),

设直线QC的解析式为y=mx+〃，则

n=-3m=3

<,解得，

9m+n=Qn=-3

；•直线QC的解析式为y=%-3,

•••点D是抛物线与直线QC的交点，

[1

.卜=313

••I/

=x2-2x-3

f7,

%1=3X2=0

解得，（不合题意，应舍去），

7

20y2=-3

9、

二点尾，-y)；

⑶如解图，点M为直线x=1上一点，连接AM,PC,PA,AC,

第8题解图

设点M(],y),直线x=1与无轴交于点E,

，E(1,0),

VA(-1,0),

：.AE=2,

：抛物线y=x2-2x-3的顶点为P,对称轴为直线x=1,

,-4),

；.PE=4,

贝PM=|y+4],

s四边形AEPC=s四边形OEPC+SAAOC=1X1X(3+4)+,X1x3=]x(7+3)=5,

又,•*s四边形AEPC=SAAEP+SAACP,SLAEP=豆AEPE=1x2x4=4,

SAACP=5-4=1,

,*,S4MAP-2S»ACP,

/.1x2x|y+4|=2xlz

，ly+4|=2,

•,-yi=-2,y2=-6,

故抛物线的对称轴上存在点M，使S„MAP=2SAACT，点M的坐标为(1,-2)或(1,-6).

9.如图，抛物线y=,与x轴交于A,C两点（点A在点C的左边）,直线"近+6（丘0份别交

x轴，y轴于A,3两点，且除了点A之外，该直线与抛物线没有其他任何交点.

⑴求A,C两点的坐标；

⑵求k,b的值；

（3）设点P是抛物线上的动点，过点尸作直线产质+6（七0）的垂线，垂足为H,交抛物线的对称轴于点

D,求PH+DH的最小值，并求出此时点P的坐标.

113

解：(1)令y=。，即->+]=0,

解得为=-3,尤2=1,

1,点A在点C的左边，

.•.A(-3,0),C(1,0)；

⑵把A(-3,0)代入y=kx+b,得-3左+6=0,解得b=3k,

1?13

y=-呼+W

联立

y=kx+b

113

得-犷-+kx+b,即/+(2+4k)x-3+4/?=0,

•・•直线y=丘+6与抛物线有唯一公共点,

.,.b2-44c=(2+4上产-4(4/?-3)=0,

才巴》=3%代入(2+4女)2-4(48-3)=0,彳导

(2+4%)2-4(12%-3)=0,

解得ki=k2=l,

.,.b-3；

⑶如解图，过点H作“GL对称轴于点G,过点尸作尸尸，对称轴于点F,设直线AB与对称轴交于点

E,对称轴与x轴父于点

由抛物线解析式知，对称轴为

由(2)知，直线AB的解析式为y=x+3,

由直线AB知NEA。=NEHG=AAEM=Z.FPD=乙PDF=45°,

当x二-1时，y=九+3=2，即石(-1,2),

113

设尸（X,-aP-'X+RZ贝［|尸尸二尸。二-17,

ED=EM+MF+FD

13

2/2T

--\1--+^+

4Xr

11