福建省2025届高三数学（文）模拟考试试题（含解析）

福建省2025届高三数学模拟考试试题文（含解析）

本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

留意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清晰，将条形码精确粘贴在

条形码区域内.

2.选择题必需运用28铅笔填涂；非选择题必需运用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工

整，笔迹清晰.

3.请依据题号依次在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草

稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准运用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集U=R,集合A={x|-2<X<4,XeZ}与5={xI%=2太左eZ}的关系的韦恩

图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有（）.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】

【分析】

由韦恩图确定所求集合为AC（e5）,由交集和补集定义即可求得结果.

【详解】由韦恩图可知所求阴影部分为AC（e5）,

A={-2,-1,0,1,2,3,4},5集合表示全部2的倍数，A（^5）={-1,1,3）.

阴影部分所表示的集合的元素个数为3个.

故选：B.

【点睛】本题考查集合运算中的交集和补集运算，涉及到依据韦恩图确定所求集合，属于基

础题.

。I.

2.若复数2=--eR,则实数。=().

1-Z

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

依据复数的除法运算可整理得到z,依据实数的定义可知虚部为零，由此可求得结果.

、2+cii(2+山)(1+，)2-Q+(2+〃)Z2-〃2+〃.

【详解】••""=7-=(l-f)(l+z)=2=亍+亍"火'

。I

--=0,解得：Q=—2

2

故选：A-

【点睛】本题考查依据复数的类型求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.

3.下列是函数/(x)=tan[的对称中心的是(

A.B.C.(0,0)D.三。

【答案】D

【解析】

【分析】

jTKTT

令2x-]=《-(左eZ)解出x后可得函数的对称中心，对应各个选项可得结果.

【详解】令2x—?=怎左eZ),解得：x=^+^-(keZ),

.,./(%)的对称中心为]兀k7T,

五+彳0,左Z,

71kn3十乃,故是/(%)的一个对称中心.

当&=1时,--1---=

848

故选：D.

【点睛】本题考查正切型函数对称中心的求解问题，关键是娴熟驾驭整体对应的方式，属于

基础题.

4.下图统计了截止到2024年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量状况，关于这5

次统计，下列说法正确的是（）

中国电动汽车充电桩细分产品占比情况

■公共类。私人类

中国电动汽车充电桩细分产品保有量情况（单位：万台）

■公共类。私人类

A.私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2024年

B.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台

C.公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台

D.从2024年起先，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%

【答案】D

【解析】

【分析】

依据统计图表中数据依次推断各个选项即可得到结果.

【详解】对于A，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为空空x100%=687.5%，

0.8

477-232

高于2018年的增长率一-------xlOO%x105.6%,A错误；

23.2

对于B，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4,故中位数为21.4

万台，B错误;

对于C,公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为上_:-----§——-=23.02万

台，C错误；

对于。，从2017年起先，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%,61.4%,57.5%,均

超过50%,。正确.

故选：D.

【点睛】本题考查依据统计图表解决实际问题，涉及到增长率、中位数和平均数的计算，属

于基础题.

5.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，

任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去

掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的

方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…,

如此进行“〃次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达

到初始线段的1000倍，则至少须要通过构造的次数是（）.（取lg3ao.4771,

C.24D.25

【答案】D

【解析】

【分析】

由折线长度改变规律可知“〃次构造”后的折线长度为[g]a，由此得到(q)>1000,利

用运算法则可知n>°।.,由此计算得到结果.

2xlg2-lg3

4

【详解】记初始线段长度为。，则“一次构造”后的折线长度为一。，“二次构造”后的折线

3

长度为[3]a，以此类推，“〃次构造”后的折线长度为[q]a，

若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则a21000a，即>1000,

.,.Ig]]=7zlg1=7z(lg4-lg3)=«(21g2-lg3)>lgl000=3.

3_______

即«24.02,•••至少须要25次构造.

2x0.3010-0.4771

故选：D.

【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构

造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.

6.执行如图所示的程序框图，若输入的。的值为4,则输出的。的值为().

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】

依据程序框图运行程序，直到不满意M>N时输出结果即可.

【详解】依据程序框图运行程序，输入a=4,M=100,N=l,满意M>N,循环;

"=100+4=104,N=1X4=4,«=5,满意M>N,循环;

河=104+5=109,N=4X5=20,。=6,满意M>N,循环;

河=109+6=115,?/=20x6=120,a=7,不满意M>N,输出a=7.

故选：B.

【点睛】本题考查依据程序框图循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.

„c(aa

7.已知直线融+y—1=0将圆C:(x—ir+(y+2)2=4平分，则圆C中以点匕,一耳、为中点

的弦的弦长为().

A.2B.2&C.2A/3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由直线平分圆可知其过圆心，从而求得。，依据圆心与弦中点连线垂直于弦，可利用勾股定理

求得半弦长，进而得到弦长.

【详解】直线依+y—1=0平分圆C,..•直线依+y—1=0过圆C的圆心C。,—2),

—2—1=0,解得：a=3,

.••圆心C。,-2)到点仁，高的距离为｛(1_1『+(_2+1)2=1,

•••所求弦长为2"1=2百.

故选：C.

【点睛】本题考查直线被圆截得弦长的求解，关键是娴熟驾驭圆的性质，即圆心与弦中点连

线垂直于弦.

8.关于函数/(x)=xsinx,xe[-7z-,7r],有下列三个结论：①为偶函数；②/(x)有3

71

个零点；③/(元)在0,-上单调递增.其中全部正确结论的编号是().

I2J

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】

由奇偶性定义可知①正确；令/(x)=0可求得零点，知②正确；依据导函数恒正可确定③正

确.

【详解】f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=/(x),.,./(x)为偶函数，①正确;

令/(九)=0，则x=0或sinx=0,

当sinx=0时，x=0或了=一万或％=万，

，/(九)的零点为％=0或%=-乃或％=乃，共3个，②正确；

/f(x)=sinx+xcosx,

当xe]。,'时，sin%>0,cosx>0,/f(%)>0,

.•./(x)在上单调递增，③正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数性质与零点的相关学问，涉及到奇偶性和单调性的推断、零点的求解

等学问；关键是能够娴熟驾驭奇偶性和函数单调性的推断方法，同时熟识正弦函数的相关学

问.

9.已知圆锥SC的高是底面半径的3倍，且圆锥SC的底面直径、体积分别与圆柱3/的底

面半径、体积相等，则圆锥SC与圆柱31的侧面积之比为().

A.Vio：lB.3:1C.2:1D.V10:2

【答案】A

【解析】

【分析】

设圆锥SC的底面半径为，可求得圆锥的母线长，依据圆锥侧面积公式求得侧面积；由圆锥

体积与圆柱体积相等可构造方程求得圆柱的高，进而依据圆柱侧面积公式求得圆柱侧面积，

从而求得比值.

【详解】设圆锥SC的底面半径为r,贝U高为3r,圆锥SC的母线长/=,产+9产=瓜,

，圆锥SC的侧面积为nrl=A/IO^T2;

圆柱的底面半径为2r，高为〃，

]r

又圆锥的体积V=—〃产,3厂=47r/打二%/,...力=一,

34

「•圆柱OM的侧面积为2兀•2rh-=7ir2，

「•圆锥SC与圆柱的侧面积之比为产:nr1-Vid：i.

故选：A-

【点睛】本题考查圆锥和圆柱侧面积的求解问题，涉及到圆锥和圆柱体积公式的应用，属于

基础题.

（%2—X。）+…+cos?一/）为

10.对于集合{%1，%2,­­•,%„},定义：Q=）+c°s

n

集合｛芯,％2,…，居｝相对于毛的“余弦方差”，则集合（—2厂相对于毛的“余

弦方差”为（）

»1R1c3nV3

4223

【答案】B

【解析】

【分析】

依据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得。的表达式，结合余弦降幕

公式及诱导公式化简，即可求解.

【详解】由题意可知，集合卜布,一二,正,歹,相对于飞的“余弦方差”代入公式可得

71,」3万）

1+cos2--------I1一+COSO2I-y-X1+cos2------1+cos2

I10J,0

+____〔I。r

222

4

41

所以原式Q=—=—,

82

故选：B.

【点睛】本题考查了新定义应用，降塞公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.

lnx-2,x>0

11.已知/(x)=1，则满意2/(/(m))+1=2"'*1的实数机的取值范围是

2---。

I2

().

A.(-oo,-l]B.(-co,-l]

C.(-a),l]D.(-<x),-l]0(0,1]

【答案】B

【解析】

分析】

令t=可求得/⑺=2'+g,知/(m)=/40,分别在机>0和机K0两种状况下解

不等式求得结果.

【详解】令♦=/(m)，则2/(。+1=2'+1,；，二/(加)=/<0,

当相>0时，lnm—2<0,解得：

当机<0时，2"-440,解得：m<-l；

2

综上所述：加的取值范围为(—，―斗(。〃2].

故选：B.

【点睛】本题考查依据方程有解求解参数范围问题，关键是能够采纳换元法将问题转化为函

数不等式的求解问题，进而利用分类探讨构造不等式求得结果.

12.在直四棱柱ABCD-4用£口中，底面ABCD是边长为4正方形，M=5,垂直于AA1

的截面分别与面对角线2A,4A,BXC,2。相交于四个不同的点E，F,G,“，则

四棱锥A-EFGH体积的最大值为().

8125128640

A.-B.---C.---D.---

382581

【答案】D

【解析】

【分析】

由直棱柱的特点和底面为正方形可证得四边形EFGH为矩形，设点4到平面EFGH的距离

为5(0</<1),可表示出ERFG,依据四棱锥体积公式将所求体积表示为关于/的函数，

利用导数可求得所求的最大值.

四棱柱ABCD-AKGR为直四棱柱，..・A&，平面ABC。，A4，平面

平面EFGH//平面ABCD，平面EFGHH平面,

由面面平行性质得：

EF//BXDX//GH,EH//AC//FG,

又用，_LAC,.LLEG,二四边形EEGH为矩形.

设点A到平面EFGH的距离为5/(0<♦<1),

AC=BQ=4形，：.EF=4血Q-t),FG=4®

•••四棱锥A—EEG”的体积V=gx5fx32《lT)=?，2—/3),

.•.V'=^(2f—3/)，.•.当时，V'>0,当时，V'<0,

,2工T,1604__8_640

.•.当时，V^=­x

ax9-27~81

故选：D.

【点睛】本题考查立体几何中的体积最值的求解问题，关键是能够将所求四棱锥的体积表示

为关于某一变量的函数的形式，进而利用导数来求解函数最值，从而得到所求体积的最值.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.曲线/(x)=2工+工在1=1处的切线斜率为.

x

【答案】21rl2—1

【解析】

【分析】

求导后，代入％=1即可求得结果.

【详解】由/''(%)=2*ln2—[得：/'⑴=21n2—1,即在x=l处的切线斜率为21n2—1.

X

故答案为：2山2—1.

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解切线斜率问题，属于基础题.

14.如图,在平行四边形ABCD中，E为的中点，歹为DE的中点，若=+

m

则一=.

【解析】

【分析】

13

依据平面对量线性运算可得到AE=—AB+—AD,由此确定〃〃的值，从而求得结果.

24

【详解】

AF^AD+DF^AD+-DE^AD+-^DC+CE^AD+-(AB+-CB]

=AD+-\AB--AD\=-AB+-AD,

212J24

13m2

AF=mAB+nAD•m=二，〃=7，一

24〃3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查平面对量的线性运算，涉及到平面对量的加减法运算和数乘运算，考查学

生对于平面几何中的向量运算驾驭的娴熟程度.

22

15.已知双曲线C：^与=1()〉0)的左、右顶点分别为4、3,点P在双曲线。上，且直

4b-

线K4与直线P5的斜率之积为1,则双曲线。的焦距为.

【答案】472

【解析】

分析】

设P(餐,％),利用斜率乘积为1和P在双曲线上可构造方程组求得从，进而得到02,求得焦

距.

【详解】由双曲线方程知：4(—2,0),5(2,0),

2

设P(x°,y°),贝=即片一常=4,

x0+2x0-2x0-4

22

又9_4=1,.•方=4，♦•1=。2+/=8，...双曲线。的焦距为2c=4行.

4b

故答案为：40.

【点睛】本题考查双曲线焦距的求解问题，关键是能够利用斜率关系和点在双曲线上构造方

程求得双曲线标准方程中的未知量.

27r

16.已知ABC的内角A、B、。的对边分别为。、b、c,B=—,平分NABC交AC

于点。，若BD=2,2AD=3CD,贝UABC的面积为.

【答案】生叵

6

【解析】

【分析】

2

由角平分线定理可得，设。。=2根，贝IJAD=3%,利用余弦定理表示出

cosZBDC=-cosABDAcosZABC=--,从而构造方程组求得c,代入三角形面积公

2

式即可求得结果.

【详解】

4RAD3即

由角平分线定理得：——a=2c

BC15c23

设CD=2根，则4)=3帆，

4

4+4m92——c29

BD?+CD2-BC2

cosZBDC=________9

2BDCD8m

2BDAD12m

22

4+4m--c2

又cosZ.BDC-cos(1—ZJRDA)=—cosZ.BDA,________9_4+9m之-c,

8m12m

整理得：c2=9m2+6…①

c2+-c2-25m2

笈+叱―1IQ

4AC29

cosZABC二一,整理得：一c?=25/2…②,

2ABBC29

210

①②联立可解得：^=25,即。=5,〃=1。二可,

，加n5」xWx5sin主=2.

••^AABC

22336

故答案：上匕.

6

【点睛】本题考查解三角形的相关学问，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用、角平分

线定理的应用；关键是能够利用互补角的余弦值互为相反数和余弦定理来构造方程组求得未

知量.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.2024年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会、阅兵式、群众游行在北京隆重

实行，这次阅兵编59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1.5万人，各型飞机160余架、

装备580余套，是近几次阅兵中规模最大的一次.某机构统计了观看此次阅兵的年龄在30岁

至80岁之间的100个观众，按年龄分组：第1组［30,40）,第2组［40,50）,第3组［50,60）,

第4组［60,70）,第5组［70,80］,得到的频率分布直方图如图所示.

频率,组距

0.035

0.03

0.01

0.005

u304050607080年份

（1）求。的值及这100个人的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）用分层抽样的方法在年龄为［50,60）、［60,70）的人中抽取5人，再从抽取的5人中随机

抽取2人接受采访，求接受采访的2人中年龄在［50,60）的恰有1人的概率.

3

【答案】（1）a=0.02,平均年龄为54.5岁；（2）-

【解析】

【分析】

（1）依据频率和为1可构造方程求得。；利用频率分布直方图估计平均数的方法可计算得到

平均年龄；

（2）依据分层抽样原则可计算得到从［50,60）抽取3人，从［60,70）抽取2人，采纳列举法可

得到基本领件总数和满意题意的基本领件个数，由古典概型概率公式计算可得结果.

【详解】（1）（0.005+0.035+0.03+a+0.01）x10=1,a=0.02.

平均年龄为35x0.05+45x0.35+55x0.3+65x0.2+75x0.1=54.5（岁）.

n3

（2）依据分层抽样原则可知：从「50,60）中应抽取5x——=3人，从「60,70）中应抽取

设从［50,60）抽取的3人为“力,c,从［60,70）抽取的2人为A8,

则随机抽取2人采访，基本领件有（a,。），（a,c）,（a,A）,

(c,A),(c,B),(AB),共10种,

其中年龄在[50,60)的恰有1人的有(a,A),(a,5),(A,A),(b,B),(c,A),共6

种，

所求概率==

【点睛】本题考查依据频率分布直方图求解参数值和估计平均数、分层抽样的应用和古典概

型概率问题的求解；求解古典概型概率问题的常用方法是采纳列举法列举出全部基本领件总

数，并从中找到符合题意的基本领件个数，进而依据概率公式求得结果.

18.已知数列｛%｝的前1项和为4=1,2Sn-an+l=n-l.

(1)求证：是等比数列；

(2)若6.=4",求数列｛4a也｝的前〃项和7；.

【答案】(1)证明见解析；(2)8”T)+8(4T

113

【解析】

【分析】

(1)利用4,=S〃—和已知等式可得%+]—；=314—g],阅历证〃=1时依旧成立，从

而证得数列为等比数列；

(2)由等比数列通项公式可求得%进而得到得到｛4a,,勿｝通项公式后，采纳分组

求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】(1)2Sn-an+l=n-l,.,.当“22时，2S“_j——2,

两式作差得：—a,+]+a==1,即a“+i=3a“_1,一g=,

当〃=]时，2S]-g=0,即g=2al=2,.[%-]=3一5]，

满意％=

又可一!=工，...数列是以;为首项，3为公比的等比数列.

22I2J2

1=1

（2）由（1）知：tzn——=—,3",■-ci„—^3"+1j,

4a也=2（3"i+1）♦4"=8・12^+2.4,!,

.•工=8x”+12i+...+12"T）+2x（4i+42+...+4"）

-8x4"）_8"TI8（4T）

1-121-4113

【点睛】本题考查等比数列的证明、分组求和法求解数列的前"项和的问题，涉及到凡与S"

关系的应用、利用递推关系式证明数列为等比数列、等比数列求和公式等学问，属于常考题

型.

19.在四棱锥河-A5CD中，底面ABCD是直角梯形，平面ABM,

—BM=AB=AM=AD=4.

2

（1）证明：AM,平面A3CD；

（2）若E是的中点，CD=3,求E到平面AQW的距离.

Q

【答案】（1）证明见解析；（2）j

【解析】

【分析】

（1）由勾股定理和线面垂直性质可得AM_LAB,AD±AM.由线面垂直判定定理可证得

结论；

(2)利用体积桥的方式，首先求得三棱锥C-AEW的体积，进而依据

yE-ACM=yc-AEM=^CM-d可求得所求的距离•

【详解】(1)AB=AM=®BM,：.AB2+AM-=BM->:.AMLAB,

2

AD_L平面ASM，AMu平面ABM,.\AD±AM,

QABIAD=A,43,4。匚平面458,；.3_1_平面4500.

(2)AZ),平面ABM,ABI平面ABM,:.AD±AB,

四边形ABC。为直角梯形，二AB//CD,：.点C到平面ABM的距离等于AD，

又E为物1中点,=S"EM=]SAA5M=5X5AB-AM=4，

.i.VCc一AEM=_3SIAXA/XElLjiVylf,AD=_3x4x4=—3

由(l)知：AM,平面ABCD，又ACu平面ABCD,:.AM±AC,

12

AC=y/CD+AD=79+16=5>S^CM=1-AC-AM=1x5x4=10,

设点E到平面ACM的距离为d,

VE-ACM=VC-AEM=।SAACM,解得：，

Q

即点E到平面ACM的距离为g.

【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、点到面的距离的求解问题；求解点到面

的距离的常用方法是采纳体积桥的方式，将问题转化为三棱锥的高的求解问题.

22

20.已知直线/与椭圆。：二+上=1交于不同的两点A,B.

62

(1)若线段AB的中点为,求直线/的方程;

(2)若/的斜率为左，且/过椭圆。的左焦点R,A5的垂直平分线与％轴交于点N,求证:

\FN\

为定值.

\AB\

【答案】(1)4x+6y-7=0；(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)利用点差法可求得直线/的斜率，进而求得直线/的方程；

(2)设/:y=k(x+2),与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，进而表示出A6中点坐标;

\FN\

当左=0时，易求得匕W的值；当左W0时，可得A5垂直平分线方程，进而求得N点坐标

\AB\

...,\FN\\FN\

和|FN|,利用弦长公式求得进而求得乐j

的值；综合两种状况可\A知B\为定值•

【详解】(1)设A(WK),B(x2,y2),

[22

五+兑=1

62,两式作差得：加二上斗+々

则

22々一七3M+%'

区+近=1

162

QM中点为得,3三「人一、三,

二直线/的方程为：y-1=-|(x-l),即：4x+6y-7=0.

(2)由椭圆方程知：F(-2,0),可设直线/的方程：y=k(x+2),

y=攵(元+2)

联立，2,2_得:

(1+3左2)兀2+12左2九+12k2—6=0,

162

设4(%，%),8(%2,%)，则%+々=~)—,xxx2=2>

ID_LI

,z、〃12k3-4k

/.y,+y=k(x+x)+4k=--------不+4左=-----丁,

7129v]1?2)1+3P1+3V

6k2.X+%_2k

…2一1+34之'21+3左2'

当左=0时，\AB\=2A/6,回曰，户逅

11\AB\6

/

A5的垂直平分线方程为：y--^-r16k21

当左w0时，%+-------7，

Mk1)

、2

4k2'4k22（^+l）

令y=0得：%=—,:.N,0，二|可|=—「

11+3左2

1+3左271+342

12.『4（12.—6）

1+3父J1+3F

2#（尸+1）

1+3/~

2俨+1)_

..网=1+3左2=V|.

"AB\~2A/6(P+1)—6；

1+342

综上所述：粤为定值直.

\AB\6

【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到中点弦所在直线方程、定值问题的求解;

求解中点弦问题的常用方法是点差法的方式；求解定值问题的关键是能够通过某一变量表示

出所求值，通过化简消元得到定值.

21.已知函数/(x)=alnx-x,其中。为常数.

(1)探讨函数y=/(x)的单调性；

(2)当a=e(e为自然对数的底数)，xw[l,+co)时，若方程〃了)=卷二生有两个不等实

x+1

数根，求实数b的取值范围.

【答案】⑴当心0时，/(%)在(0,+8)上单调递减；当a>0时，/(%)在(0,。)上单调

递增，在(a,+8)上单调递减；(2)[—1,1)

【解析】

【分析】

(1)分别在和。>0两种状况下，依据/'(%)的正负确定/(%)的单调性；

(2)将问题转化为当xe[l,a)时，g(x)=e("+l)lnx一-与丁二匕有两个不同交点的问

X

题，通过导数可求得g(x)的单调性和最值，进而得到函数图象，通过数形结合的方式可确定

b的范围.

【详解】⑴由题意得：〃九）定义域为（0,+8）,r（x）=0—1=匕，

XX

当aVO时，r（%）<0,则/（九）在（0,+。）上单调递减；

当a>0时，令/"（X）=0,解得：x=a,

,当xe（0,a）时，/'（%）>0；当xe（a,+co）时，/'（j;）<0,

・・•〃龙）在（0,a）上单调递增，在（a,茁）上单调递减.

综上所述：当a<0时，/（尤）在（0,+e）上单调递减；当a〉0时，/（九）在（0,。）上单调递

增，在（a,+8）上单调递减.

（2）当a=e时，elnx-x=色二^有两个不等实根，方程可化为6=义土1皿二三，

X+1X

令g（x）-a+l）ln—,则g，aL+ex『l*

令//（无）=一/+ex+e-elnx,则=-2x+e，=+"―e,

xx

当尤e［l,+8）时，-2x2+ex-e<-2<0,即"（x）〈0;./7（x）在［1,+℃）上单调递减，

.•./z（x）</z（l）=-l+2e=2e-l,且〃（6）=-/+e2+e—e=O

/?（九）在［1,+°。）上有且仅有一个零点x=e,

,当xe［l,e）时，力（力>0,即g'（x）>0；当尤e（e,+»）时，7z（%）<0,即g'（x）<0,

g（%）在［1,e）上单调递增，在（e,上单调递减,

•••g（xLx=g（e）=e+l—e=Lg⑴=-L

由此可得g（x）图象如下图所示:

则当xe[1,茁）时，方程〃司=色二殳有两个不等实数根等价于当xe[1,茁）时，g（x）与

y=匕有两个不同交点，

由图象可知：/?G[-1,1）.

【点睛】本题考查导数在探讨函数中的应用，涉及到利用导数探讨含参数函数的单调性、依

据方程根的个数求解参数范围的问题；求解方程根的个数问题的关键是能够将问题转化为两

个函数图象交点个数的求解问题，利用数形结合的方式求得结果.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第

一题计分.

1-cos20

22.在平面直角坐标系中，曲线。的参数方程为彳1+COS26（。为参数），以坐标原点为

y-2tan夕

极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为22sin[。-W]+G=0.